Презентация по алгебре и математическому анализу за 11 класс по теме: "Предел последовательности"

• 1 слайд

  Предел последовательности
  27.12.2021
  

• 2 слайд

  Что такое числовая последовательность?
  Какие бывают виды числовых последовательностей?
  Как задаётся числовая последовательность?
  Что такое предел числовой последовательности?
  Как находить предел числовой последовательности?
  

• 3 слайд

  Цели:
  

• 4 слайд

  Что такое числовая последовательность?
  Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое действительное число хп , то говорят,
  что задана числовая последовательность.
  Числовая последовательность – это функция,
  область определения которой есть множество N
  всех натуральных чисел. Множество значений этой функции – совокупность чисел хп , п ϵ Ν, называют множеством значений последовательности.
  

• 5 слайд

  Способы задания последовательности
  Рекуррентный (от лат. слова
  recurrens – «возвращающийся»)
  Аналитический
  Словесный
  Рекуррентный
  

• 6 слайд

  Словесный способ.
  
  Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
  Пример 1. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
  Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
  Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .
  

• 7 слайд

  Аналитический способ.
  
  с помощью формулы.
  Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n;
  2, 4, 6, 8, …, 2п,… .
  Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n2;
  1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
  Пример 3. Последовательность y = 2n;
  2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
  

• 8 слайд

  Рекуррентный способ.
  
  Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известны её предыдущие элементы.
  
  Пример 1. a1=a, an+1=an+d, где a и d – заданные числа. Пусть a1=5, d=0,7, тогда последовательность будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
  
  Пример 2. b1= b, bn+1= bn q, где b и q – заданные числа. Пусть b1=23, q=½, тогда последовательность будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
  

• 9 слайд

  Предел числовой последовательности
  Рассмотрим две числовые последовательности:
  
  : 2, 4, 6, 8, 10, …, 2п ,…;
  
  : 1, , , , , … , …
  
  Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых.
  Обратите внимание как ведут себя члены
  последовательности.
  

• 10 слайд

  Замечаем, что члены последовательности уп как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности хп таковой точки не наблюдается.
  
  
  
  Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет, поэтому математики придумали следующее…
  

• 11 слайд

  Определение 1.
  Пусть a - точка прямой, а r положительное число. Интервал (a-r, a+r) называют окрестностью точки a ,
  а число r радиусом окрестности.
  
  
  
  Геометрически это выглядит так:
  

• 12 слайд

  Теперь можно перейти к определению точки
  «сгущения», которую математики назвали
  «пределом последовательности».
  Например
  (-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.
  

• 13 слайд

  Число b называется пределом последовательности {уп } если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
  Пишут: .
  Читают:
  стремится к .
  Либо пишут: .
  Читают: предел последовательности уп при
  стремлении п к бесконечности равен b.
  

• 14 слайд

  Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
  

• 15 слайд

  Рассмотрим последовательность:
  – гармонический ряд
  Если │q│< 1, то
  Если │q│> 1, то последовательность уn = q n
  расходится
  Если mN, kR, то
  

• 16 слайд

  Свойства пределов
  Если , ,
  
  предел частного равен частному пределов:
  предел произведения равен произведению пределов:
  предел суммы равен сумме пределов:
  
  постоянный множитель можно вынести за знак
  предела:
  

• 17 слайд

  Примеры:
  

• 18 слайд

  Это равенство означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика последовательности yn = f(n), то есть графика функции y = f(х), х N
  Горизонтальная асимптота графика
  функции
  х
  у
  y = f(x)
  0
  у = b
  

• 19 слайд

  Предел функции в точке
  Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a,
  если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ,
  имеет место неравенство |f(x) − b| < ε.
  х
  y = f(x)
  0
  b
  у
  а
  

• 20 слайд

  Непрерывность функции в точке
  Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке
  x = a, если выполняется условие
  Примеры:
  

• 21 слайд

  Понятие непрерывности функции
  На рисунке изображен график функции, состоящий из двух «кусков». Каждый из них может быть нарисован без отрыва от бумаги. Однако эти «куски» не соединены непрерывно в точке х =1.
  
  Поэтому все значения х, кроме х =1, называют точками непрерывности функции у = f(х), а точку х =1 – точкой разрыва этой функции.
  

• 22 слайд

  Стр. 62-63 Свойства функций непрерывных на отрезке
  № 14, 16
  

• 23 слайд

• 24 слайд

• 25 слайд

• 26 слайд