Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ЕГЭ – 2015
задание №8
«Применение производной к исследованию функций»
2 слайд
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке х0=4.
Значение производной равно угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона.
Рассмотрим прямоугольный треугольник к катетами 4 и 1.
Касательная составляет с положительной полуосью тупой угол, значит производная будет отрицательной.
Находим тангенс угла: - ¼= -0,25
Первый способ:
3 слайд
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке х0=4.
Значение f′(x) равно коэффициенту k уравнения касательной в точке х0 к графику функции f(x).
Уравнение прямой: y = kx + b.
Из рисунка видно, что прямая проходит через точки ( 0;3) и (4;2).
Подставим сначала в общее уравнение прямой координаты первой точки:
3 = k*0 + b.
b = 3.
Подставим в общее уравнение прямой х0 = 4, у0 = 2, b = 3.
2 = k•4 + 3,
отсюда k = -1/4 = -0,25 - это и будет f′(x0).
Второй способ:
4 слайд
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке х0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке х0.
Нужно найти производную функции y= 2f(x)-1 в точке х0.
у′ = (2f(x)-1)′ = 2f′(х) - 0 = 2f′(x) в точке х0.
Вспомним, что f′(х0) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = 1,5х + 3,5 к графику функции f(x) в точке х0.
Значит f’(x0) = 1,5. Подставим это значение в у′:
у′ = 2f′(x0) = 2 * 1,5 = 3 - это и есть искомое значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке х0.
5 слайд
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Найдем количество значений х на интервале (-1; 13), в которых функция f(x) возрастает (так как именно в этих точках производная положительна).
Всего целых точек на интервале (-1; 13) - 13
х=2: f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
х=3: f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
х=4: f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
х=10: f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
х=11: f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
6 слайд
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-7; 0].
Точка экстремума - это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
По графику определим, где на отрезке [-7; 0] производная равна нулю.
Мы видим, что она равна нулю в точке х = -3, это и есть точка экстремума функции.
7 слайд
Функция y=f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y= f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней.
Для наглядности нарисуем указанную прямую y= 3x - 5.
Найдем для этого две точки, через которые она проходит и проведем через них прямую.
Прямая проходит через точки (2;1) и (3;4), проведем через них прямую:
Теперь определим, сколько может быть касательных к нарисованному графику, параллельных нарисованной прямой ( сама она не является касательной, поэтому условие "совпадает с ней" нам не подходит).
Из рисунка видно, что таких прямых, параллельных данной и являющихся касательной, три, а остальные прямые, параллельные данной, будут пересекать график функции, а не будут касаться.
8 слайд
На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции y=f(x), определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-14;-8].
По определению первообразной имеем F′(x) = f(x).
Значит, нужно найти количество точек, в которых f(x) = 0,
то есть F′(x) = 0.
Производная этой функции F′(x) равна нулю в точках максимума и минимума.
На отрезке [-14; -8] таких точек всего две: х1 = -13 - точка минимума и
х2 = -9 - точка максимума.
Поэтому F′(x) равно нулю в этих точках на отрезке [-14; -8].
Значит, количество решений уравнения f(x) = 0 будет иметь 2 решения.
9 слайд
На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.
Искомый определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми х = 1 и х = 6.
Найдем эту площадь.
Нужная фигура (это заштрихованная часть на рисунке) - это трапеция с основаниями 4 (сторона а) и 5 (сторона b) и
высотой h = 3.
S = ½ (4+5) * 3 = 13,5
- искомый интеграл.
10 слайд
На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) — одна из первообразных функции f (x).
Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная.
Тогда:
Задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8).
Её можно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох.
Разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.
11 слайд
На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).
Функция F (x) = –x3–27x2–240x– 8 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данную методическую разработку можно использовать в качестве подготовки к Единому Государственному Экзамену по темам «Производная функции, касательная» и «Первообразная и интеграл».
Она поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по данным темам, при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника.
Задания № 8 требуют хорошего понимания производной и первообразной, их геометрического и физического смысла, умения применять понятие производной для исследования функций и понятие интеграла для нахождения площади фигуры. В большинстве случаев такие задания не требуют письменных выкладок, решаются практически устно.
6 653 507 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Демьянова Елена Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.