Презентация по алгебре 11 класс «Применение производной к исследованию функций»

• 1 слайд

  ЕГЭ – 2015
  задание №8
  «Применение производной к исследованию функций»
  

• 2 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке х0=4.
  Значение производной равно угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона.
  Рассмотрим прямоугольный треугольник к катетами 4 и 1.
  Касательная составляет с положительной полуосью тупой угол, значит производная будет отрицательной.
  Находим тангенс угла: - ¼= -0,25
  Первый способ:
  

• 3 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке х0=4.
  Значение f′(x) равно коэффициенту k уравнения касательной в точке х0 к графику функции f(x). 
  Уравнение прямой: y = kx + b.  
  Из рисунка видно, что прямая проходит через точки ( 0;3) и (4;2).
  Подставим сначала в общее уравнение прямой  координаты первой точки:
  3 = k*0 + b.
  b = 3.
  Подставим в общее уравнение прямой х0 = 4, у0 = 2, b = 3.
  2 = k•4 + 3,
  отсюда k = -1/4 = -0,25 - это и будет f′(x0).
  Второй способ:
  

• 4 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке х0. Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке х0.
  Нужно найти производную функции y= 2f(x)-1 в точке х0. 
  у′ = (2f(x)-1)′ = 2f′(х) - 0 = 2f′(x) в точке х0.
  Вспомним, что f′(х0) равно коэффициенту при х в уравнении касательной у = 1,5х + 3,5 к графику функции f(x) в точке  х0. 
  Значит f’(x0) = 1,5. Подставим это значение в  у′:
   у′ = 2f′(x0) = 2 * 1,5 = 3 - это и есть искомое значение производной функции y= 2f(x)-1 в точке х0.
  

• 5 слайд

  На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
  
  Найдем количество значений х на интервале (-1; 13), в которых функция f(x) возрастает (так как именно в этих точках производная положительна).
  Всего целых точек на интервале (-1; 13) - 13
  х=2:  f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
  х=3:  f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
  х=4:  f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
  х=10:  f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
  х=11:  f(x) возрастает, значит f′(x) > 0, подходящая целая точка.
  

• 6 слайд

  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [-7; 0].
  Точка экстремума - это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.
  По графику определим, где на отрезке [-7; 0] производная равна нулю.
  Мы видим, что она равна нулю в точке х = -3, это и есть точка экстремума функции.
  

• 7 слайд

  Функция y=f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y= f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней.
  Для наглядности нарисуем указанную прямую y= 3x - 5.
  Найдем для этого две точки, через которые она проходит и проведем через них прямую. 
  Прямая проходит через точки (2;1) и (3;4), проведем через них прямую:
  Теперь определим, сколько может быть касательных к нарисованному графику, параллельных нарисованной прямой ( сама она не является касательной, поэтому условие "совпадает с ней" нам не подходит). 
  Из рисунка видно, что таких прямых, параллельных данной и являющихся касательной, три, а остальные прямые, параллельные данной, будут пересекать график функции, а не будут касаться.
  

• 8 слайд

  На рисунке изображен график первообразной y=F(x) некоторой функции y=f(x), определенной на интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-14;-8].
  По определению первообразной имеем F′(x) = f(x).
  Значит, нужно найти количество точек, в которых f(x) = 0,
  то есть F′(x) = 0.
  Производная этой функции F′(x) равна нулю в точках максимума и минимума. 
  На отрезке [-14; -8] таких точек всего две: х1 = -13 - точка минимума и
  х2 = -9 - точка максимума.
  Поэтому F′(x) равно нулю в этих точках на отрезке [-14; -8].
  Значит, количество решений уравнения f(x) = 0 будет иметь 2 решения.
  

• 9 слайд

  На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл от 1 до 6 f(x)dx.
  Искомый определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми  х = 1 и х = 6.
  Найдем эту площадь. 
  Нужная фигура (это заштрихованная часть на рисунке) - это трапеция с основаниями 4 (сторона а) и 5 (сторона b) и
  высотой h = 3. 
  S = ½ (4+5) * 3 = 13,5
  - искомый интеграл.
  

• 10 слайд

  На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x) —  одна из первообразных функции f (x).
  Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная.
  Тогда:                                                         
  Задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8).
  Её можно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох.
  Разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.
  

• 11 слайд

  На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).  
  Функция F (x) = –x3–27x2–240x– 8 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
  Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:
  

Краткое описание документа:

Данную методическую разработку можно использовать в качестве подготовки к Единому Государственному Экзамену по темам «Производная функции, касательная» и «Первообразная и интеграл».

Она поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по данным темам, при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника.

Задания № 8 требуют хорошего понимания производной и первообразной, их геометрического и физического смысла, умения применять понятие производной для исследования функций и понятие интеграла для нахождения площади фигуры. В большинстве случаев такие задания не требуют письменных выкладок, решаются практически устно.