Презентация по алгебре на тему "Арифметический корень"

• 1 слайд

  Арифметический корень степени n
  

• 2 слайд

  Корнем степени n, (n ≥ 2) из числа b называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого равна b.
  Для нечётного n существует только один корень из любого числа b. Понятия корня степени n из неотрицательного числа b и арифметического корня той же степени из того же числа b совпадают.
  

• 3 слайд

  Корнем степени n, (n ≥ 2) из числа b называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого равна b.
  Для чётного n существуют два корня из положительного числа b. Один из них положительный :
  это арифметический корень степени n из числа b.
  это не арифметический
  корень.
  
  

• 4 слайд

  Утверждения
  1. Если b — неотрицательное число, а n— любое натуральное число (n ≥ 2), то запись
  означает арифметический корень степени n из числа b.
  2. Если b- отрицательное число, а n = 2m+ 1 (m ≥ 1) — нечётное число, то запись означает корень степени 2 m + 1 из числа b, но этот корень не является арифметическим корнем.
  3. Если b — отрицательное число, а n = 2m (m ≥ 1)— четное число,
  то запись не имеет смысла.
  

• 5 слайд

  Пример 1.
  а) Записи
  - это записи арифметических корней.
  б) Записи
  это записи корней,
  не являющихся арифметическими.
  в) Записи
  - не имеют смысла.
  

• 6 слайд

  Утверждение
  Например:
  

• 7 слайд

  Теорема 1. Для натурального числа n (n ≥ 2) и неотрицательного числа а справедливы равенства
  

• 8 слайд

  Доказательство.
  Т. к. а – неотрицательной число, то
  есть по определению неотрицательное число,
  n-я степень которого есть а.
  Это и выражается равенством 1).
  

• 9 слайд

  
  Доказательство.
  Т. к. а – неотрицательной число, то аn ≥ 0
  и есть по определению неотрицательное число, n-я степень которого есть аn. Таким числом является а.
  Это и выражается равенством 2).
  

• 10 слайд

  Пример 2.
  

• 11 слайд

  Теорема 2. Для натурального числа n (n ≥ 2) и неотрицательных чисел а и b из равенства
  аn = bn следует равенство а = b.
  Доказательство.
  Известно, что существует только один корень n-й степени из неотрицательного числа. Поэтому для неотрицательных чисел из их равенства корней n-й степени из них, т. е. из равенства аn = bn следует равенство
  Учитывая, что а ≥ 0 и b ≥ 0, и используя
  равенство 2)
  получаем, что
  Следовательно, а = b.
  

• 12 слайд

  Теорема 3. Для натурального числа n (n ≥ 2) и неотрицательных чисел а, b и с (с ≠ 0) справедливы равенства
  

• 13 слайд

  Доказательство.
  Из равенства имеем
  
  
  
  
  Правые части полученных равенств равны. Следовательно, равны и левые их части:
  Т. к. числа неотрицательны, то, применяя теорему 2, получаем, что справедливо равенство (3).
  Аналогично доказывается равенство
  

• 14 слайд

  Пример 3.
  

• 15 слайд

  Замечание. 1). Если n – нечётное число, то теоремы 1, 2, 3 справедливы для любых действительных чисел а, b и с (с≠0).
  2). Для натурального числа m и любого действительного числа а справедливо равенство
  потому, что
  

• 16 слайд

  Пример 4.
  

• 17 слайд

  Вынесение множителя из под знака корня.
  Пример 5.
  

• 18 слайд

  Вопросы
  1.Что называют корнем степени n, (n ≥ 2)
  из числа b? Привести примеры.
  Корнем степени n, (n ≥ 2) из числа b называют такое число a (если оно существует), n-я степень которого равна b.
  2. Что называют арифметическим корнем степени n, (n ≥ 2) из числа b? Привести примеры.
  Неотрицательный корень степени n, (n ≥ 2) из неотрицательного числа b называют арифметическим корнем степени n из числа b.
  

• 19 слайд

  Вопросы
  7. Является ли записью
  арифметического корня выражение ?
  нет
  нет
  да
  нет
  да
  

• 20 слайд

  Верны ли утверждения
  Нет
  2). Если аn ≥ b n , то а ≥ b.
  Нет
  3) Для каких значений а и b утверждения 1) и 2) будут верными?
  Для неотрицательных
  

• 21 слайд

  Вычислите
  

• 22 слайд

  Ответы
  

• 23 слайд

  Литература
  Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений.
  С. М. Никольский, М. К. Потапов,
  Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин.