Презентация по алгебре на тему "Числовые неравенства и их свойства"

• 1 слайд

  Числовые неравенства и их свойства
  Подготовила:
  учитель математики Кутоманова Е.М.
  
  2015-2016 учебный год
  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
  

• 2 слайд

  1.Числовые неравенства
  Если а>в, то а-в>0.
  Если а<в, то а-в<0.
  Если а=в, то а-в=0.
  
  
  Например:
  1) Если р-q=-6,
  то р<q, т.к. -6<0.
  2) Если р-q=4,
  то р>q, т.к. 4>0.
  
  
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Доказательство неравенств.
  1)Докажем, что при любых а верно неравенство (а-3)(а-5) <(а-4)2
  Доказательство.
  Найдём разность левой и правой частей неравенства:
  (а-3)(а-5)-(а-4)2 =
  =а2 - 3а - 5а + 15 – а2 +8а -16
  = -1,
  -1<0, значит, (а-3)(а-5)<(а-4)2 .
  
  
  
  
  
  
  2) Докажем, что а2 + в2 ≥2ав.
  Доказательство.
  Найдём разность левой и правой частей неравенства:
  а2 + в2 -2ав =
  =(а-в)2
  (а-в)2 ≥0 при любых а и в,
  значит, а2 + в2 ≥2ав.
  
  
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Ещё один пример
  К каждому из чисел 1,2,3,4 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов с произведением средних членов получившейся последовательности чисел.
  Решение.
  1+а, 2+а, 3+а, 4+а – получившаяся последовательность.
  (1+а)(4+а) – (2+а)(3+а)=
  =4+4а+а+а2_ 6-3а-2а-а2=
  =-2,
  -2<0, значит (1+а)(4+а)< (2+а)(3+а).
  Произведение крайних членов меньше произведения средних членов получившейся последовательности чисел.
  

• 5 слайд

  1)х2 -8х +18>0.
  Выделим квадрат двучлена:
  х2 -8х +18=
  =(х2 – 2·х·4 + 42)- 16+18=
  =(х-4)2 +2,
  (х-4)2≥0 при любом х,
  (х-4)2 +2>0 при любом х.
  Значит,
  х2 -8х +18>0 при любом х.
  
  2) 2х2 + 4х +3>0.
  Выделим квадрат двучлена:
  2х2 + 4х +3=
  =2(х2 + 2х +1,5)=
  = 2((х2 + 2х +1)-1+1,5)=
  =2((х +1)2 +0,5)=
  =2 (х +1)2 +1,
  2 (х +1)2≥0 при любом х,
  2 (х +1)2 +1>0 при любом х.
  Значит, 2х2 + 4х +3>0 при любом х.
  
  

• 6 слайд

  2.Свойства числовых неравенств
  Если а>в, то в<а.
  Если а<в, то в>а.
  Если а<в и в<с, то а<с.
  Если а<в и с-любое число, то а+с<в+с.
  Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получиться верное неравенство.
  Если а<в и с>0, ас<вс.
  Если обе части неравенство умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получиться верное неравенство.
  Если а<в и с<0, ас>вс.
  Если обе части неравенство умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получиться верное неравенство.
  
  
  

• 7 слайд

  Например:
  
  1)10>-2,
  10+1>-2+1,
  11>-1.
  2)10<20,
  10-3<20-3,
  7<17.
  3)-5<-4,
  -5·2<-4·2,
  -10<-8.
  4)-5<-4,
  -5·(-4)>-4·(-4).
  20>16.
  
  

• 8 слайд

  Следствие
  Если а>0, в>0 и а<в, то 1/а >1/в.
  
  Например:
  
  5<7, т.е. 1/5>1/7.
  
  10>3, т.е. 1/10<1/3.
  
  

• 9 слайд

  1) 5 < а < 6,
  5·3<3а<6·3,
  15<3а<18.
  2) 5 < а < 6,
  5+2< а+2 <6+2,
  7< а+2 <8.
  3) 5 < а < 6,
  -6 < - а <-5,
  2-6 < 2- а <2-5,
  -4< 2- а <-3.
  Ещё примеры
  

• 10 слайд

  3.Сложение и умножение числовых неравенств
  Если а<в и c<d, то a+b<c+d.
  Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
  Если а<в и c<d, a>0,b>0,c>0,d>0,
  то ac<bd.
  Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.
  
  

• 11 слайд

  Например:
  1)Оцените сумму х+у.
  5< х < 8,
  3< у < 6,
  5+3<х+у<8+6,
  8<х+у<14.
  2)Оцените разность х-у.
  3< у < 6, -6< -у <-3,
  5< х < 8,
  -6<-у <-3,
  5-6<х-у<8-3,
  -1 <х-у<5.
  3)Оцените произведение ху.
  5< х < 8,
  3< у < 6,
  5·3<ху<8·6,
  15<ху<48.
  4)Оцените частное х:у.
  3< у < 6, 1/6<1/у<1/3,
  12< х < 15,
  1/6<1/у<1/3,
  12:6<х:у<15:3,
  2<х:у<5.