Презентация по алгебре на тему "Дифференциальные уравнения" (10 класс)

• 1 слайд

  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ
  
  РЕШЕНИЕ
  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
  УРАВНЕНИЙ
  
  
  СИСТЕМЫ
  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
  УРАВНЕНИЙ
  
  ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ
  МАТЕРИАЛ
  

• 2 слайд

  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  Уравнения, которые содержат аргумент, функцию этого аргумента и производные этой функции (до некоторого порядка включительно) называют дифференциальными.
  mx״ = -kx΄;
  х״+ω2х=0;
  m΄=-km.
  

• 3 слайд

  Определение1. Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, при подстановке которой в это уравнение получается тождество.
  Определение2. Функцию у=φ(х,С),
  С- постоянная, называют общим решением дифференциального уравнения
  у΄=f(х,у) в области Ω, если для любого С она является решением этого уравнения.
  Определение3. Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называют частным решением этого уравнения.
  

• 4 слайд

  РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
  УРАВНЕНИЙ
  Пример 1. Решить уравнение
  у ״= х3.
  Решение.
  Имеем: у΄= ∫ у ״dх=∫х3dх=х4/4+С1,
  откуда у = ∫ (х4/4+С1)dх=х5/20+С1х+С2
  
  В решение уравнения первого порядка входит одна произвольная постоянная, а в решение уравнения второго порядка – две произвольные постоянные. Общее решение дифференциального уравнения
  n-го порядка зависит от n произвольных постоянных.
  
  
  

• 5 слайд

  Пример 2. Найти общее решение уравнения
  х״ = - g, описывающего свободное падение материальной точки, и частное решение этого уравнения, отвечающее начальным условиям х(0)=10, v(0)=5.
  Решение. Полагая х΄=v, имеем: v΄=-g. Отсюда
  v=∫(-gdt)=-gt+C1. (1)
  Значит, х΄=v=-gt+C1, и потому
  х=∫(-gt+С1)dt=-gt2/2+С1t+С2. (2)
  Чтобы найти значения постоянных С1и С2, положим в (1) и (2) t=0. Получаем равенства С1=v(0)=5,
  С2=х(0)=10. Значит, частное решение имеет вид:
  х=-gt²/2+5t+10.
  
  

• 6 слайд

  Пример 3. Найдите частное решение дифференциального уравнения
  удовлетворяющее условию у(1)=-2.
  Решение.
  Общим решением этого уравнения является
  у = ±√С-х2. Чтобы найти частное решение, положим в этом равенстве х=1, у=-2.
  Получаем С=5.
  Поскольку значение у=-2 отрицательно, то получаем частное решение
  у = -√5 – х2.
  
  
  

• 7 слайд

  ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
  Решите дифференциальные уравнения
  1. у΄=4+у2; 2. у΄=ху4;
  
  3. ; 4. ;
  
  
  5. у΄ = х6√1-у2; 6. √1-х2 у΄=2√у ;
  
  7. у ״+4у = 0; 8. у ״ + 36у = 0.