Презентация по алгебре на тему "Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно" (10 класс)

• 1 слайд

  Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
  
  

• 2 слайд

  Градусная мера угла.
  
  Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было... Веков 40 назад... И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус - это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее... Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?
  

• 3 слайд

  Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак... Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно... Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя... В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926... раз.
  

• 4 слайд

  Это и есть число "Пи". Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой - бесконечное число цифр без всякого порядка... Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.
  Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:
  
  

• 5 слайд

  Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в "Пи" раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:
  
  Где L - длина окружности, а d - её диаметр.
  

• 6 слайд

  Для общего образования добавлю, что число "Пи" сидит не только в геометрии... В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.
  Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь... Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие - 360? И в каком варианте этих делителей нацело - больше? Людям такое деление очень удобно. Но...
  

• 7 слайд

  Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся... Высшая математика - дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: "Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245... И что мне делать? Нет уж..." Пришлось послушаться. Природу не обманешь...
  Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь - радиан!
  

• 8 слайд

  Радианная мера угла.
  Что такое радиан? В основе определения радиана - всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R). Смотрим картинки.
  Будем считать, что этот малюсенький угол имеет величину 1 градус:
  Маленький такой угол, почти и нет его...
  

• 9 слайд

  Видим примерно один радиан. L = R
  Чувствуете разницу?
  Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?
  

• 10 слайд

  Смотрим следующую картинку. На которой нарисован полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.
  А теперь нарежем этот полукруг радианами! И видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.
  Кто угадает, чему равен этот хвостик!?
  Да! Этот хвостик - 0,1415926.... Здравствуй, число "Пи", мы тебя ещё не забыли!
  

• 11 слайд

  Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926... радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926... неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:
  
  А вот в Интернете число
  
  писать неудобно... Поэтому я в тексте пишу его по имени - "Пи". Не запутаетесь, поди?...
  Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:
  
  Или точное равенство:
  
  

• 12 слайд

  Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 3,14:
  
  

• 13 слайд

  Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.
  Но главное умение этой темы - перевод градусов в радианы и обратно.
  Если угол задан в радианах с числом "Пи", всё очень просто. Мы знаем, что "Пи" радиан = 180°. Вот и подставляем вместо "Пи" радиан - 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан? Вот и пишем:
  

• 14 слайд

  Или, более экзотическое выражение:
                                                          
  

• 15 слайд

  Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?
  Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = "Пи" радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 180. Представлять "Пи" как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:
  

• 16 слайд

  Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:
  

• 17 слайд

  Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы - это очень просто. Да и перевод без проблем... И "Пи" - вполне терпимая штука... Так откуда путаница!?
  Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов - пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов. А значок радианов (рад) - не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что... Но решили не писать. Если внутри синуса - котангенса нет никаких значков, то угол - в радианах! Например, cos3 - это косинус трёх радианов.
  

• 18 слайд

  Это и приводит к непоняткам... Человек видит "Пи" и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры - стандартные. Но "Пи" - это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это "Пи" радиан = 180°!
  Ещё раз: "Пи" - это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно "Пи" шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить "Пи" килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся...
  "Пи" - это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?
  

• 19 слайд

            
           
   
  Или, что меньше?
  cos4°
  или
  cos4 ?
  или
  

• 20 слайд

  Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: "Пи" - это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол - в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° - нельзя! "Пи" градусов - это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:
                                               
  

• 21 слайд

  Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там - радианы! Вот здесь замена "Пи" на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:
  

• 22 слайд

  Переведите эти углы из градусной меры в радианную:
  360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
  

• 23 слайд

  0
  

• 24 слайд

  Переведите эти углы из радианной меры в градусную:
  
  

• 25 слайд

  У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):
  

Краткое описание документа:

Данная презентация поможет разобраться в понятиях градусной меры и радианной меры угла. Так же научит переводить градусы в радианы и обратно. Презентацию хорошо использовать на первых вводных уроках в раздел математики "Тригонометрия". Информация излагается в легкой форме для восприятия учащихся.