Презентация по алгебре на тему "Графический метод в решении задач с параметрами"

• 1 слайд

  «Графический метод в решении задач с параметрами»
  Учитель математики МОУ «ООШ п.Ивановский Саратовского района Саратовской области» Вентерева Светлана Анатольевна
  

• 2 слайд

  Цель:
  Обобщение и передача личного профессионального опыта изучения темы: «Решение задач с параметрами»
  Задачи:
  1. Совместная отработка с коллегами графического метода решения задач с параметрами.
  2. Повышение профессионального мастерства и квалификации учителей математики.
  
  
  
  

• 3 слайд

  Содержание:
  1. Система задач с параметрами в УМК А.Г.Мерзляка (алгебра 7-9 классы).
  2. Графический метод решения задач с параметрами.
  3. Применение графического метода в решении заданий школьного курса, задания 23 ОГЭ по математике и олимпиадных задач с параметром.
  
  
  

• 4 слайд

  Параметр (от греческого слова parametron - отмеривающий) - величина, значения которой служат для различения некоторого множества между собой.
  
  Под задачами с параметрами понимают задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными.
  
  
  

• 5 слайд

  Система задач с параметрами в УМК А.Г.Мерзляка (алгебра 7-9 классы):
  Линейное уравнение с одной переменной
  (61. При каком значении а уравнение 3−а х=4 не имеет корней?
  64. Решите уравнение: в+1 х=9)
  
  Квадратные уравнения (650.Определите, при каком значении а один из корне корней квадратного уравнения равен 0, и найдите второй корень уравнения:
  ах²+ах+а−4=0)
  Квадратный трёхчлен (768. Для каждого значения а решите уравнение
  а 2 +7а−8 х=а²+16а+64)
  Уравнения, сводящиеся к квадратным (797. При каких значениях а уравнение х²−ах+5 х−1 =0 имеет единственный корень?)
  Система линейных неравенств с одной переменной
  (212. При каких значениях а множество решений системы неравенств
  х≥7, х<а содержит ровно четыре целых числа?
  
  
  

• 6 слайд

  В учебниках А. Г. Мерзляка углубленного уровня реализован фундаментальный подход к изучению темы. Дано непосредственное понятие «параметр», рассматриваются примеры, особое внимание уделяется графическому методу решения задач с параметром.
  
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  Графический метод решения задач с параметром:
  
  1. Метод «движущейся» прямой.
  Данный метод заключается в том, что мы мысленно двигаем прямую у=а вдоль оси ОУ и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график. Этот метод очень удобно применять учащимся при решении задания 23 огэ по математике:
  
  
  
  

• 9 слайд

  Пример: Постройте график функции у= 𝑥² + 3 𝑥 − 3 𝑥+2 +2 и определите при каких значениях m прямая у= m имеет с графиком ровно три общие точки.
  Решение: Построим график функции
  у= 𝑥² + 3 𝑥 − 3 𝑥+2 +2.
  При х<−2 функция принимает вид
  у=х²+6х+8,
  при х≥−2, у= х 2 −4 .
  Передвигаем прямую у=𝑚 вдоль оси ОУ
  и смотрим количество точек пересечения
  прямой с графиком функции.
  Зафиксируем все положения прямой у=𝑚,
  при которых количество точек пересечения
  меняется.
  Ровно три общие точки с графиком функции
  у= 𝑥² + 3 𝑥 − 3 𝑥+2 +2
  имеют прямые у 1 =−1, у 2 =0.
  Ответ: −1;0.
  

• 10 слайд

  
  
  
  
  2. Метод «вращающейся» прямой.
  Метод «вращающейся» прямой состоит в том, что мы мысленно поворачиваем прямую у=ах вокруг начала координат (либо прямую у=ах вокруг точки с координатами 0;в для линейной функции у=ах+в) и смотрим, в каких точках она пересекает построенный график. Метод также применяется в решении 23 задания ОГЭ, может применяться в решении олимпиадных задач с параметром.
  

• 11 слайд

  Пример 1: Постройте график функции у= ( х 2 +4)(х+1) −1−х и определите, при каких значениях 𝑘 прямая у=𝑘𝑥 имеет с графиком ровно одну общую точку.
  
  Решение: При условии
  х≠−1, у= ( х 2 +4)(х+1) −1−х =− х 2 −4.
  График прямой пропорциональности у=𝑘𝑥
  проходит через точку О(0;0). Вращаем
  прямую у=𝑘𝑥 вокруг точки О(0;0) и
  смотрим количество точек пересечения.
  Также фиксируем положения прямой у=𝑘𝑥,
  при которых количество точек пересечения с
  графиком функции у=− х 2 −4, х≠−1 меняется.
  Так как у графиков должна быть единственная
  точка пересечения , то уравнение − х 2 −4=кх
  должно иметь одно решение, отсюда k=±4.
  Так же одну точку пересечения с графиком
  функции у=− х 2 −4, х≠−1 имеет
  прямая у=𝑘𝑥, проходящая через точку
  с координатами −1;−5 , отсюда k=5.
  Ответ: −4;4;5.
  

• 12 слайд

  Пример 2: При каких значениях m на плоскости найдется круг, содержащий все точки, удовлетворяющие данной системе неравенств:
  2у−х≤2, у+2х≤2, у+𝑚х≥−1.
  
  Решение: у≤ х 2 +1, у≤−2х+2, у≥−𝑚х−1.
  Построим графики функций у= х 2 +1,
  у=−2х+2 и заштрихуем области,
  соответствующие неравенствам.
  Вращая прямую у=−𝑚х вокруг точки с
  координатами 0;−1 получаем два случая:
  1)область выше прямой представляет собой
  треугольник, а следовательно найдется круг,
  содержащий все точки этой области;
  2)Область выше прямой представляет собой
  неограниченную часть плоскости,
  не удовлетворяющую условию задачи.
  Определим пограничные положения прямой:
  −2<−𝑚< 1 2 , − 1 2 <𝑚<2.
  Ответ: − 1 2 <𝑚<2.
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  3. Плоскость «переменная-параметр».
  Данный метод заключается в том, что точки с координатами (х;а), удовлетворяющие данному уравнению или неравенству, изображают на плоскости ХОА, где ординатой является значение а (или на плоскости АОХ, где значение а является абсциссой).
  

• 14 слайд

  Пример: Решить уравнение 2 х + а =х+1.
   
  Пример: Решить уравнение 2 х + а =х+1.
   
  
  
  
  
  
  Пример 1: Решить уравнение 2 х + а =х+1.
   
  
  Решение: Изобразим эту линию на
  плоскости АОХ.
  Раскроем знаки модулей отдельно в
  каждой четверти.
  Получим в первой четверти часть
  прямой х=−а+1, во второй х=а+1,
  в третьей х=− 1 3 а− 1 3 ,
  в четвнертой х= 1 3 а− 1 3 .
  Проводя вертикальные прямые,
  определяем решения для
  данного значения а.
  По чертежу видно, что при а >1
  решений нет;
  при а =1, х=0; при 0≤а<1, х=1−а,
  х= 1 3 а− 1 3 ;
  при −1<а<0, х=1+а, х=− 1 3 а− 1 3 .
  
  

• 15 слайд

  Пример 2: Решить систему неравенств:
  х²+2х+а≤0, х²−4х−6а≤0.
  Решение: Изобразим параболы
  а=− х 2 −2х, а= 1 6 х²− 2 3 х в плоскости ХОА.
  Найдем точки пересечения: х 1 =0, а 1 =0;
  х 2 =− 8 7 , а 2 = 48 49 .
  Заштрихуем область, удовлетворяющую системе
  неравенств.
  Проводя горизонтальные прямые, определяем
  решения для данного значения а.
  При а<0 решений нет; при а=0, х=0;
  при а∈(0; 48 49 получается отрезок, лежащий между
  меньшим корнем уравнения х²−4х−6а=0 и
  большим корнем уравнения х²+2х+а=0:
  х∈ 2− 4+6а ; −1+ 1−а ;
  при а∈ 48 49 ;1) получаем отрезок, лежащий между
  меньшим и большим корнями уравнения
  х²+2х+а=0:х∈ −1− 1−а ; −1+ 1−а ;
  при а=1, х=−1;при а>1 решений нет.
  
  

• 16 слайд

  4.Построение на плоскости ОХУ.
  Метод помогает решать системы уравнений и неравенств с параметром и двумя переменными. Он состоит в том, чтобы строить графики функций, задающих уравнения или неравенства системы.
  
  

• 17 слайд

  Пример: При каких значениях параметра а система х²+у²=а², х+у =2. имеет ровно два решения?
  
  Решение: х²+у²=а²-окружность
  с центром в точке 0;0 и радиусом а .
  х+у =2 – две прямые х+у=2 и
  х+у=−2.
  Окружность будет иметь с прямыми
  ровно две общих точки, если она
  касается прямых.
  Из прямоугольного равнобедренного
  треугольника АОМ находим
  радиус окружности: а = 2.
  Ответ: − 2 ; 2.
  

• 18 слайд

  В общеобразовательных классах тема «Решение задач с параметром» не изучается отдельно, некоторые задания предлагаются учащимся в процессе изучения других тем школьного курса. Как правило, этим заданиям уделяется очень мало внимания, изучение поверхностное; в математических классах предполагается более глубокое изучение темы, но отсутствуют точные определения рассматриваемых объектов.
  В моей педагогической практике данная тема входит в программу спецкурса «Избранные вопросы математики», который изучают учащиеся с 7 по 9 класс.
  Я считаю, что этой теме нужно уделять более пристальное внимание и задачи с параметрами должны составлять самостоятельную линию школьного курса математики.