Презентация по алгебре на тему "Исследование функции"

• 1 слайд

  Исследование функции.
  Выполнила:
  учитель математики и информатики
  Изотова Ирина Юрьевна
  

• 2 слайд

  План:
  Определение функции.
  Область определения. Область значений.
  Способы задания функции.
  Возрастание, убывание функции.
  Ограниченность функции.
  Наибольшее, наименьшее значения функции.
  Выпуклость, вогнутость функции.
  Четность, нечетность функции.
  Элементарные функции, их свойства и графики.
  
  

• 3 слайд

  Определение функции
  
  Зависимость между двумя переменными х и у,
  при котором каждому значению переменной х соответствует
  единственное значение переменной у называют функцией .
  
  Обозначают у = f(х),
  где х – независимая переменная (аргумент),
  у = f(x) – зависимая переменная (функция).
  х2
  х1
  у2
  у1
  у
  х
  О
  у
  х
  хо
  у1
  у2
  О
  хо
  у1
  у2
  у
  х
  О
  Не является функцией
  Не является функцией
  Является функцией
  

• 4 слайд

  х
  у
  О
  Область значений функции
  Множество всех значений функции у = f(х),
  где х принадлежит Х (области определения).
  
  Обозначение: Е(f) = [m;n]
  
  Область определения функции
  Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл.
  Обозначение: D(f) = [а;b]
  
  
  
  b
  a
  х
  у
  О
  n
  m
  

• 5 слайд

  Способы задания функции
  Табличный.
  
  
  
  
  Аналитический (формулой)
  у = 2х + 5;
  
  f(x) =
  
  Описанием (с помощью естественного языка)
  Например:
  «Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1»
  
  
  Графический
  
  
  х
  у
  

• 6 слайд

  Свойства функции
  Возрастание
  Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
  (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
  
  
  
  
  Убывание
  Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f), если для любых двух точек х1 и х2 области определения, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
  (Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)
  
  у
  x
  О
  Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.
  x
  у
  О
  

• 7 слайд

  Ограниченность функции
  Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве D(f), если все значения функции на области определения больше некоторого числа.
  (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) > m.)
  Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f), если все значения функции на области определения меньше некоторого числа.
  (Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) < m.)
  Если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m.
  Если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m.
  у
  x
  О
  m
  Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной.
  у
  x
  О
  m
  

• 8 слайд

  Наибольшее (наименьшее) значения функции
  Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f), если:
  в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = m;
  для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
  Обозначение: У наим. = у(хо) = m.
  
  M
  хо
  х
  О
  у
  хо
  m
  Если у функции существует У наим, то она ограничена снизу.
  Если функция не ограничена снизу, то У наим. не существует.
  Если у функции существует У наиб., то она ограничена сверху.
  Если функция не ограничена сверху, то У наиб. не существует.
  Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множествеD(f), если:
  в области определения существует такая точка хо , что f(хо ) = M;
  для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f(хо).
  Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.
  у
  х
  О
  

• 9 слайд

  Выпуклость, вогнутость функции
  Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
  О
  x
  у
  Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
  x
  у
  О
  

• 10 слайд

  Четность, нечетность функции
  Функция у = f(х) называют четной, если:
  Область определения ее симметрична относительно начала координат;
  Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = f(x).
  Функция у = f(х) называют
  нечетной, если:
  Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
  Для любого х из D(у) выполняется равенство f(-x) = - f(x).
  у
  x
  О
  График симметричен относительно оси ОУ.
  График симметричен относительно начала координат.
  О
  у
  x
  

• 11 слайд

  Алгоритм исследования функции
  Область определения.
  Область значений.
  Четность, нечетность функции.
  Возрастание, убывание функции.
  Ограниченность функции.
  Наибольшее, наименьшее значения функции.
  Непрерывность функции.
  Выпуклость, вогнутость функции.
  

• 12 слайд

  Линейная функция
  1. D(f) = R;
  2. Не является ни четной ни нечетной;
  3. Если k > 0, возрастает,
  если k < 0 убывает;
  4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
  5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
  6. Функция непрерывна;
  7.
  8. Не имеет выпуклости.
  
  
  х
  у
  K < 0
  О
  У = kx + m
  m
  У = kx + m
  О
  у
  х
  K > 0
  m
  

• 13 слайд

  
  Функция
  1.
  2. Нечетная функция;
  3. Если k > 0, то функция убывает на D(f),
  если k < 0, то функция возрастает на D(f);
  4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
  5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
  6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
  7.
  8. Если k > 0, то функция выпукла вверх при х < 0,
  и выпукла вниз при х > 0;
  Если k < 0, то функция выпукла вверх при х > 0,
  и выпукла вниз при х < 0.
  K > 0
  x
  О
  у
  у
  K < 0
  О
  х
  

• 14 слайд

  Функция
  1. D(f) = [0; + ∞);
  2. Не является ни четной ни нечетной;
  3. Возрастает;
  4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
  5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;
  6. Функция непрерывна;
  7. Е(f) = [0; + ∞)
  8. Выпукла вверх.
  
  у
  х
  О
  

• 15 слайд

  Функция
  1. D(f) = R;
  2. Функция четная;
  3. Возрастает на [0; + ∞);
  убывает ( - ∞; 0]
  4. Не ограничена сверху,
  ограничена снизу;
  5. Наибольшего значения нет,
  наименьшее значение 0, при х = 0;
  6. Функция непрерывна;
  7. Е(f) = [0; + ∞)
  8. Выпукла вниз.
  
  
  О
  у
  х
  

• 16 слайд

  Функция
  1. D(f) = R;
  2. Функция четная;
  3. Возрастает на [0; + ∞); убывает ( - ∞; 0]
  4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
  5. Наибольшего значения нет,
  наименьшее значение 0, при х = 0;
  6. Функция непрерывна;
  7. Е(f) = [0; + ∞)
  8. Выпукла вниз.
  
  1. D(f) = R;
  2. Функция четная;
  3. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0]
  4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
  5. Наименьшего значения нет,
  наибольшее значение 0, при х = 0;
  6. Функция непрерывна;
  7. Е(f) = ( - ∞; 0];
  8. Выпукла вверх.
  
  О
  у
  х
  a > 0
  у
  О
  х
  у
  a < 0
  

• 17 слайд

  Исследуйте функцию по графику