Презентация по алгебре на тему"Геометрическая прогрессия"

• 1 слайд

  Геометрическая прогрессия. Формула
  n-го члена
  

• 2 слайд

  Учебная задача
  Изучить определение геометрической прогрессии.
  Научиться определять является ли числовая последовательность геометрической прогрессией или нет.
  Изучить формулу n-го члена геометрической прогрессии.
  Научиться применять формулу n-го члена геометрической прогрессии при решении задач.
  Выявить свойство геометрической прогрессии.
  

• 3 слайд

  Определение
  Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.
  
  

• 4 слайд

  Определение
  Последовательность (b n) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие
  bn ≠ 0 и
  bn+1 = bn . q,
  где q – некоторое число
  

• 5 слайд

  Обозначение геометрической прогрессии
  Для обозначения того, что последовательность (an) является геометрической прогрессией, иногда удобна следующая запись:
  
  
  

• 6 слайд

  Знаменатель геометрической прогрессии
  Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену прогрессии. Его обычно обозначают буквой q.
  

• 7 слайд

  ?
  (an): 1; 3; 5; 7; 5; 9; 11…
  (кn): 20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; - 1; -4; …
  (хn): 8; 8; 8; 8; 8; 8; …
  (bn): 2005; 2010; 2015; 2020;…
  (cn): 4; 9; 16; 25…
  (dn): 16; 13; 10; 7…
  (en): 32; 16; 8; 4…
  

• 8 слайд

  Пример: (b n): 2, 6, 18, 54, 162,...
  
  Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
  2 · 3 = 6;
  6 · 3 = 18
  18 · 3 = 54
  54 · 3 = 162.
  
  

• 9 слайд

  (bn ) – геометрическая прогрессия. Зная b1 и q, найдите последовательно первые пять членов этой прогрессии.
  
  Формула n-го члена геометрической прогрессии
  b2 = b1 . q
  b3 = b2 . q = b1 . q . q = b1 . q2
  b4 = b3 . q = b1 . q2 . q = b1 . q3
  b5 = b4 . q = b1 . q3 = b1 . q3 . q = b1 . q4
  

• 10 слайд

  Пример: (bn ) – геометрическая прогрессия. b1 = 1, q = 0,1. Найдите несколько первых членов этой прогрессии.
  b2 = b1 . q = 1 . 0,1 = 0,1
  b4 = b3 . q = 0,01 . 0,1 = 0,001
  b3 = b2 . q = 0,1 . 0,1 = 0,01
  b5 = b4 . q = 0,001 . 0,1 = 0,0001
  

• 11 слайд

  Дано:
  
  b1 = 2
  q = 1,5
  n = 4
  Найти: b4 - ?
  Пример 1: В геометрической прогрессии,
  b1 = 2, а знаменатель q = 1,5. Найти 4-й член этой прогрессии
  Решение.
  Применяем формулу
   bn = b1 · qn – 1,
  подставляя в нее
  соответствующие значения:
  b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53
   = 2 · 3,375 = 6,75.
  Ответ: 6,75.
  

• 12 слайд

  Решение.
  Найдем знаменатель геометрической прогрессии.
  В качестве первого шага с помощью формулы п-го члена запишем формулу для b3: b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2
  Найдем знаменатель геометрической прогрессии:
             
  или
             
  2) Найдем значение b5.
  Если q = 4, то
  b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.
  При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.
  Ответ: 3072.
  Пример 2: Найти пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
  Дано: b1 = 12, b3 = 192
  Найти: b5 - ?
  

• 13 слайд

  Рассмотрим геометрическую прогрессию 2, 6, 18, 54, 162,...
  Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат: 542 = 2916.
  Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54: 18 · 162 = 2916.
  Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
  
  

• 14 слайд

  Характеристическое свойство
  геометрической прогрессии
  1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: bn2 = bn-1 · bn+1
   Доказательство.
  (bn ) – геометрическая прогрессия. bn = bn-1 . q, bn+1 = bn . q
  т.к. все члены геометрической прогрессии отличны от нуля, то
  , bn2 = bn-1 · bn+1
  
  

• 15 слайд

  Характеристическое свойство
  геометрической прогрессии
  2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией
  

• 16 слайд

  Характеристическое свойство
  b1, b2, b3, b4…
  - среднее геометрическое
  Доказать, что (an) 7, 14, 28, 56, 112… является геометрической прогрессией
  
  
  bn2 = bn-1 · bn+1
  

• 17 слайд

  Домашнее задание
  Пункт 27, выучить все формулы и определения.
  Решить №623(б, в); 625(б, в);626(а); 627(б,в); 630(б)