Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по алгебре " Решение уравнений с параметрами"

Презентация по алгебре " Решение уравнений с параметрами"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Учитель математики гимназии №1925 Дунаева Елена Александровна
Если дано уравнение F(x;a)=0,которое надо решить относительно переменной x и...
ПРИМЕР 1. Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2 при всех х. Обычно корень уравнения bх...
ПРИМЕР 2. Решим уравнение (а-1)х²+2(2а+1)+(4а+3)=0 По виду это уравнение- ква...
3)Если D>0 ,то уравнение имеет 2 корня а>-4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1)...
ПРИМЕР 3. При каких а корни ур-е 2ах² - 2х – 3а – 2=0 меньше 3 . Если а = 0...
Дадим аналитическое описание графика: 1)Ветви вверх , следовательно 2а > 0 2)...
Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему 1)2а=0,аналогично...
ПРИМЕР 4. 8 а (sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение им...
ПРИМЕР 5. При каком а ур-е 2sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных к...
ПРИМЕР 6. При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [-2...
Ситуация 1. Оба корня находятся по разные стороны отрезка , причем первый ко...
Ситуация 2. Оба корня находятся по левую сторону отрезка , причем опять же вт...
Ситуация 3. Оба корня находятся по правую сторону отрезка , причем опять же п...
1 из 19

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Учитель математики гимназии №1925 Дунаева Елена Александровна
Описание слайда:

Учитель математики гимназии №1925 Дунаева Елена Александровна

№ слайда 2 Если дано уравнение F(x;a)=0,которое надо решить относительно переменной x и
Описание слайда:

Если дано уравнение F(x;a)=0,которое надо решить относительно переменной x и в котором буквой а обозначено произвольное действительное число , то F(x;a)=0 называют уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с решением уравнения (и тем более неравенств) с параметром , состоит в том ,что при одних значениях параметра не имеет решений , при других – имеет бесконечное количество, при третьих - оно решается по одним формулам и т.д.

№ слайда 3 ПРИМЕР 1. Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2 при всех х. Обычно корень уравнения bх
Описание слайда:

ПРИМЕР 1. Решим уравнение 2а(а-2)х=а-2 при всех х. Обычно корень уравнения bх=с мы находим без труда : х=с:b.Поскольку b отличен от нуля ,то мы можем смело на него делить . В заданном уравнении коэффициент при х равен 2а(а-2) . Значение параметра может быть любым, поэтому сначала следует рассмотреть ситуацию, при которой этот коэффициент равен нуля. 1)при 2а=0 получаем 0х=0-2; 0=-2, из этого следует , что при а=0 уравнение не имеет решений. 2)При а -2=0 ,т.е а=2 , получаем 0х=2-2; 0=0, из этого следует , что при а=2 уравнение бесконечно много решений. 3)Осталось рассмотреть остальные случаи, т.е а ≠{0;2} . В этом случае коэффициент отличен от нуля ,и поэтому на него можно делить. Получим х = ( а-2 )/2а(а-2), т.е а=1/2а. При записывании ответа нужно быть очень внимательным, чтоб не потерять решения. ОТВЕТ : при а =0-х € ø , при а =2 - х € R, при а € (-∞;0)(2;+∞) х=1/2а.

№ слайда 4 ПРИМЕР 2. Решим уравнение (а-1)х²+2(2а+1)+(4а+3)=0 По виду это уравнение- ква
Описание слайда:

ПРИМЕР 2. Решим уравнение (а-1)х²+2(2а+1)+(4а+3)=0 По виду это уравнение- квадратное, но т.к. значение параметра а нам не известно , то коэффициент при х² а-1 может быть равным 0,следовательно а=1,то уравнение будет уже линейным. Рассматриваем 2 случая: а=1 и а ≠1. 1)При а=1 ур-е принимает вид: 0∙х² + 2∙3х + 7 = 0,т.е. 6х = -7,х = -7/6. 2)При а ≠1 мы имеем квадратное ур-е (а-1)х² + 2(2а+1)х + (4а+3)=0 Дискриминант = (2(2а+1))² - 4(4а+3)(а-1)= 4 (5а+4). 1)Если D<0, то квадратное ур-е не имеет корней При 4(5а+4)<0; а<-4/5 х €ø 2)Если D=0 ,то ур-е имеет один корень а=-4/5, то х = - 1/3

№ слайда 5 3)Если D&gt;0 ,то уравнение имеет 2 корня а&gt;-4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1)
Описание слайда:

3)Если D>0 ,то уравнение имеет 2 корня а>-4/5 (но а≠1) , то х х1,2=(-2(2а+1) ± √ (4(5а+4)) )/( 2(а-1) ) Упростив, получаем х1,2 = ( -(2а+1)± √ (5а+4) )/( а-1) Ответ:1)при а=1 , х = -7/6; 2) При а <-4/5 , х €ø; 3) При а =-4/5, х = - 1/3; 4) При а > - 4/5 и а ≠1 , х1,2 = ( -(2а+1 ) ± √ (5а+4) )/( а-1)

№ слайда 6 ПРИМЕР 3. При каких а корни ур-е 2ах² - 2х – 3а – 2=0 меньше 3 . Если а = 0
Описание слайда:

ПРИМЕР 3. При каких а корни ур-е 2ах² - 2х – 3а – 2=0 меньше 3 . Если а = 0 ,то ур-е принимает вид -2х-2=0 ; х = -1 удовлетворяет условию , он меньше 3. Если а ≠ 0 , то заданное ур-е является квадратным . Графиком ф-ии у = 2ах² - 2х – 3а – 2 является парабола с ветвями вверх, если 2а > 0 , и ветвями вниз, если 2а < 0 . Поскольку корни уравнения должны быть меньше 3, то парабола должна располагаться так :

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Дадим аналитическое описание графика: 1)Ветви вверх , следовательно 2а &gt; 0 2)
Описание слайда:

Дадим аналитическое описание графика: 1)Ветви вверх , следовательно 2а > 0 2)Парабола должна пересекаться или касаться с осью абсцисс , иначе у уравнения я не будет корней . Корни есть , значит дискриминант неотрицателен D>=0 3)В точке х=3 имеем ƒ(3)>0. Если будет задан ещё и второй конец промежутка, то на том конце тоже надо определять знак. 4)Также обычно анализируют положение точки вершины параболы , но в данном случае это совершенно неважно, т . к . оба корня должны находиться на этом отрезке. Итак, объединяем в систему. 1)2а>0 ; а> 0 2)D>=0 ; D= 24а² +16а +4; 24а² +16а +4 > = 0 ; дискриминант уравнения 24а² +16а +4 = 0 меньше 0, следовательно а€R 3) ƒ(3)>0; 15а-8>0 ; а>8/15 ; решение этой системы : а>8/15

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему 1)2а=0,аналогично
Описание слайда:

Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую систему 1)2а<0 ;а< 0; 2)D>=0,аналогично а € R 3)ƒ(3)<0 ; а<8/15 Решение системы: а< 0 Решение совокупности двух смстем: а< 0 или а>8/15 Ответ: а € ( -∞; 0); (8/15;+∞)

№ слайда 11 ПРИМЕР 4. 8 а (sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение им
Описание слайда:

ПРИМЕР 4. 8 а (sin⁶ х + cos⁶ х) = (а ² +4) cos 4 х , при каких а уравнение имеет хотя бы одно решение. Преобразуем выражение sin⁶ х + cos⁶ х Т.к sin² х + cos² х=1, то возведем в куб, из этого следует что 1= sin⁶ х + cos⁶ х+3sin²cos²х ; отсюда sin⁶ х + cos⁶ х = 1 - 3/4 sin²2х. Преобразуем cos 4 х cos 4 х = 1 – 2 sin ² 2x Подставляем все в выражение и получаем 8 а(1 - 3/4 sin²2х ) = (а ² +4) (1 – 2 sin ² 2x) Раскрыв скобки , приведем подобные и получаем sin ² 2x( 2а ² +8-6а ) = а² + 4 - 8а Т.к 0 <= sin ² 2x<=1 ,то 0 <= (а² + 4 - 8а)/ ( 2а ² +8-6а ) <=1 Я думаю, что решить это двойное неравенство не составит труда, поэтому перехожу к ответу Ответ: а € ( -∞; 4-2√3]; [4+2√3;+∞)

№ слайда 12 ПРИМЕР 5. При каком а ур-е 2sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных к
Описание слайда:

ПРИМЕР 5. При каком а ур-е 2sin ²3x – (2a+1)sin3x + a = 0 имеет 3 различных корня на промежутке [2π/3;π] ? Сделаем замену: sin3x = T ; Т € [-1 ; 1 ] 2t² - (2a+1) t + a = 0 Найдем дискриминант : D=(2a+1) ² -8a ; сократив , получаем 4а² - 4а +1 .Это полный квадрат, следовательно, √ D= 2а -1 T1=(2a+1 -2a +1)/4= 0.5 T2=(2a+1+2a-1)/4= a Сделав обратную замену ,получаем Sin3x=0.5 ; это ур-е имеет 2 решения , следовательно нам нужен ещё один корень. Sin3x=а из этого ур-я нам надо получить одно решение, а это будет при а=-1,0,-1. Делаем подстановку: При а =1 sin3x =1; х= π/6+2π/3 , проверяем, входит ли он в промежуток. Входит, значит это значение пойдет в ответ. При а =-1 sin3x =-1; ; х= -π/6+2π/3, проверяем , не входит . При а=0 sin3x =0; х= π/6, тоже не входит . Ответ : а=1.

№ слайда 13 ПРИМЕР 6. При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [-2
Описание слайда:

ПРИМЕР 6. При каких значениях а , для которых при каждом х из промежутка [-2 , -1) значение выражения х ⁴- 2 х² неравно значению выражения ах ²+ 5 . То есть х ⁴- 2 х² ≠ ах ²+ 5 . Перенесём все в одну сторону и вынесем х ² из второго и третьего слагаемых х ⁴- х²(2+ а) + 5 ≠0 Сделаем замену х ² =t ,но так как на х наложены условия , то на t тоже надо наложить условия: так как заменяем х ² ,то и промежуток надо возвести в квадрат и получаем t € ( 1 ; 4 ]. t ²- t (2+а) + 5 ≠0 Найдем дискриминант D= (2+а)²+ 4*5= (2+а)²+ 20 , так как это сумма квадрата и положительного числа , то и сумма будет положительной, а, следовательно , у этого уравнения 2 различных корня. Таким образом, t ²- t (2+а) + 5 ≠0 в трех случаях , которые объединены совокупностью . Но сначала введем функцию и найдем область определения , которую мы и будем рассматривать : у = t ²- t (2+а) + 5 ; D (y) = R .

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15 Ситуация 1. Оба корня находятся по разные стороны отрезка , причем первый ко
Описание слайда:

Ситуация 1. Оба корня находятся по разные стороны отрезка , причем первый корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , так как в промежутке единица строго не включена (напоминаю , что задание найти а ,где выражение неравно нулю , поэтому график функции может проходить через единицу ),а через 4 он не может проходить ,так как 4 включена в промежуток. Ранее я рассматривала примере 3 метод анализа графиков , так же и этот график надо анализировать , но так дискриминант мы анализировали уже , а коэффициент при t² больше нуля ,поэтому t вершинное может находиться только как показано на графике , и поэтому эти положения не нужно исследовать. Таким образом , нужно анализировать только знаки на конце отрезка: У(1)≤0 и у(4)<0 у(1)=1-(2+а)-5=1-2-а-5=-6-а; у(4)=16-4(2+а)-5=16-8-4а-5=3-4а Получаем систему из двух неравенств: 1)-6-а≤0; а≥-6 2)3-4а<0; а>0.75 Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а >0.75 . Это решение первого уравнения из совокупности , остальные два рассмотрим дальше.

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 Ситуация 2. Оба корня находятся по левую сторону отрезка , причем опять же вт
Описание слайда:

Ситуация 2. Оба корня находятся по левую сторону отрезка , причем опять же второй корень может проходить через 1 ,а может и на проходить , а первый корень должен находиться левее второго . В этом случае нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться левее 1 , иначе если вершина будет больше 1 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 1 и получаем систему опять же из двух уравнений: У(1)≥0 и t вершинное<1; у(1) мы уже посчитали - это -6-а , теперь посчитаем t вершинное = -b/2a= (2+a)/2 Получаем систему из двух неравенств: 1)-6-а≥0; а≤-6 2) (2+a)/2 <1; Переносим 1 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а<0 . Решением этой системы является пересечение этих множеств , а именно а ≤-6 . Это решение второго уравнения из совокупности .

№ слайда 18
Описание слайда:

№ слайда 19 Ситуация 3. Оба корня находятся по правую сторону отрезка , причем опять же п
Описание слайда:

Ситуация 3. Оба корня находятся по правую сторону отрезка , причем опять же первый корень не может проходить через 4 . Второй корень должен находиться правее первого . в этом случае так же нам надо рассматривать положение вершины , так как данном случае вершина должна находиться правее 4 ,иначе если вершина будет меньше 4 ,то это будет соответствовать другому случаю . И опять же рассматриваем знак на конце отрезка ,а именно в 4 и получаем систему опять же из двух уравнений: У(4)>0 и t вершинное>4; у(4) мы уже посчитали - это 3-4а ,теперь посчитаем t вершинное мы тоже уже подсчитали - это (2+a)/2 . Получаем систему из двух неравенств: 1) 3-4а >0; а<0.75 2) (2+a)/2 >4; Переносим 4 в левую сторону ,приводим к общему знаменателю и делим на 2 . Получаем а>6. У этой системы нет решения ,так как лучи не пересекаются . В ответ пойдёт объединение двух лучей: а >0.75 и а ≤-6 . Ответ : а € (-∞ ; -6] ; (0.75 ; +∞).


Автор
Дата добавления 16.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров188
Номер материала ДВ-067784
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх