Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Другое / Презентации / Презентация по дисциплине "Элементы математической логики" на тему "Логика предикатов"

Презентация по дисциплине "Элементы математической логики" на тему "Логика предикатов"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Другое
КГБ ПОУ «Хабаровский машиностроительный техникум»
Понятие предиката Высказывания, которые нельзя формализовать на языке логике...
Введём специальные обозначения: Специальные переменные, значениями которых яв...
Субъект – это то, о чем что-то утверждается. Предикат – это то, что утверждае...
Примеры: 1) Луна есть спутник Венеры – ложное высказывание, не являющееся пре...
Операции логики предикатов Предикат Р(х), определенный на множество M называе...
Конъюнкция Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат...
Дизъюнкция Дизъюнкцией двух предикатов P(x),Q(x) называется новый предикат P(...
Отрицание Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат P(x), который п...
Импликация Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)→...
Эквиваленция Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P...
Примеры 1) На множестве M={3,4,5,6,7,8} заданы два предиката P(x):«х – просто...
2) Найти область истинности предиката и изобразить на плоскости. Неравенство,...
3) На множестве M={1,2,3…20} заданы предикаты A(x): «х не делиться на 5», B(x...
Кванторные операции Кванторные операции могут рассматриваться как обобщение о...
Кванторные операции Словесная интерпретация: «для каждого х P(x) истинно». Пе...
В обычных выражениях квантор всеобщности выражается следующим образом: P(x),...
Квантор существования Ǝ (exist-существовать) Пусть P(x)- предикат,xєM. Под вы...
В обычных выражениях квантор существования выражается следующим образом: для...
Если предикат является функцией нескольких переменных, то он называется n-мес...
В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказыв...
Пример: 1) Пусть P(x,y) означает что х является матерью для у. Тогда выражени...
2) Установить истинность или ложность высказывания Исходное высказывание прео...
Формулы логики предикатов и интерпретация В логике предикатов используется си...
Формулой логики предикатов называется всякое выражение, содержащее символику...
Интерпритация Формулы имеют смысл тогда, когда имеется какая-нибудь интерпрет...
Пример: 1) Является ли данное выражение формулой логики предикатов? 					– не...
2) Даны следующие утверждения A(n): «число n делится на 3»;B(n): «число n дел...
Формулы Формула 			содержит только связанную переменную х. Эта формула являет...
Применение языка логики предикатов для записи математических предложений Опре...
Определение выпуклости (вогнутости) функции f(x) Если во всех точках интервал...
1 из 31

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 КГБ ПОУ «Хабаровский машиностроительный техникум»
Описание слайда:

КГБ ПОУ «Хабаровский машиностроительный техникум»

№ слайда 2 Понятие предиката Высказывания, которые нельзя формализовать на языке логике
Описание слайда:

Понятие предиката Высказывания, которые нельзя формализовать на языке логике высказываний: Каждый любит сам себя. Значит кто-то кого-то любит. Перья есть только у птиц. Ни одно млекопитающее не является птицей. Значит, все млекопитающие лишены перьев.

№ слайда 3 Введём специальные обозначения: Специальные переменные, значениями которых яв
Описание слайда:

Введём специальные обозначения: Специальные переменные, значениями которых являются объекты из соответствующих предметных областей:x и y. Свойства объектов и бинарные отношения между объектами: , . Фраза вида «Все х обладают свойством Р» записывать символически: «некоторые х обладают свойством P» записывать символически Введём специальные обозначения: Специальные переменные, значениями которых являются объекты из соответствующих предметных областей:x и y. Свойства объектов и бинарные отношения между объектами: , . Фраза вида «Все х обладают свойством Р» записывать символически: «некоторые х обладают свойством P» записывать символически

№ слайда 4 Субъект – это то, о чем что-то утверждается. Предикат – это то, что утверждае
Описание слайда:

Субъект – это то, о чем что-то утверждается. Предикат – это то, что утверждается о субъекте. Логика предикатов – это расширение логики высказываний за счет исполнения предикатов в роли логических функций. Предикатом называется функция, определённая на множестве M и принимающая значение «истина» или «ложь», то есть Множество M – контекст, или предметная область, или область определения предиката. Множество всех , при которых , называется множеством истинности предиката

№ слайда 5 Примеры: 1) Луна есть спутник Венеры – ложное высказывание, не являющееся пре
Описание слайда:

Примеры: 1) Луна есть спутник Венеры – ложное высказывание, не являющееся предикатом, так как в нем нет аргумента – переменного х. 2) - то же самое. 3) - предикат. Здесь:

№ слайда 6 Операции логики предикатов Предикат Р(х), определенный на множество M называе
Описание слайда:

Операции логики предикатов Предикат Р(х), определенный на множество M называется тождественно истинным, если область определения предиката , и называется тождественно ложным, если Говорят, что предикат Р(х) является следствием предиката Q(x) (Q(x)→Р (x)), если , и предикаты P(x) и Q(x) равносильны ( ), если

№ слайда 7 Конъюнкция Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат
Описание слайда:

Конъюнкция Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)^Q(x) , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях xєM, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката P(x)^Q(x) является

№ слайда 8 Дизъюнкция Дизъюнкцией двух предикатов P(x),Q(x) называется новый предикат P(
Описание слайда:

Дизъюнкция Дизъюнкцией двух предикатов P(x),Q(x) называется новый предикат P(x)vQ(x) , который принимает значение «ложь», при тех и только тех значениях xєM , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката P(x)vQ(x) является

№ слайда 9 Отрицание Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат P(x), который п
Описание слайда:

Отрицание Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат P(x), который принимает значение «истина» при всех значениях xєM, при которых P(x) принимает значение «ложь» и наоборот. Областью истинности предиката P(x) является

№ слайда 10 Импликация Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)→
Описание слайда:

Импликация Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)→Q(x) , который являются ложными при тех и только тех значениях xєM , при которых P(x) одновременно принимает значение «истина», а Q(x) – значение «ложь», во всех остальных случаях это «истина».

№ слайда 11 Эквиваленция Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P
Описание слайда:

Эквиваленция Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)↔Q(x) , который являются истинным при тех и только тех значениях xєM, при которых одновременно P(x) и Q(x) принимает одинаковые значения значение «истина» или «ложь», и ложным во всех остальных случаях.

№ слайда 12 Примеры 1) На множестве M={3,4,5,6,7,8} заданы два предиката P(x):«х – просто
Описание слайда:

Примеры 1) На множестве M={3,4,5,6,7,8} заданы два предиката P(x):«х – простое число»,Q(x):«х – нечетное число». Составить их таблицы истинности. Равносильны ли предикаты P(x) и Q(x) на множествах L={2,3,4,5,6,7,8},K={3,4,5,6,7,8,9} ? Очевидно,что , . Таким образом, на множестве М P(x)=Q(x). На L и K предикаты не равносильны, ибо на L, например, 2 – простое число и четное, а на К число 9 – нечетное, но составное число.

№ слайда 13 2) Найти область истинности предиката и изобразить на плоскости. Неравенство,
Описание слайда:

2) Найти область истинности предиката и изобразить на плоскости. Неравенство, составляющее исходный предикат, ограничивает часть плоскости, заключенной между ветвями параболы y=x2.

№ слайда 14 3) На множестве M={1,2,3…20} заданы предикаты A(x): «х не делиться на 5», B(x
Описание слайда:

3) На множестве M={1,2,3…20} заданы предикаты A(x): «х не делиться на 5», B(x): «х –четное чиcло»,C(x): «х – число простое», D(x): «х кратно трем». Найти множества истинности предикатов A(x)^B(x)^C(x), A(x)vB(x),D(x)→C(x). 1. A(x)^B(x)^C(x)= {х не делится на 5 и х – четное число и х кратно трем} = {х не делится на 5 и х делится на 6}. Действительно, 2. A(x)vB(x)= {х не делится на 5 или х – четное число}. 3. D(x)→C(x)= D(x)vC(x). = {х не кратно трем или х – непростое число}. Здесь рассуждения сложнее, однако, если перебрать все элементы множества М, то легко установить, что

№ слайда 15 Кванторные операции Кванторные операции могут рассматриваться как обобщение о
Описание слайда:

Кванторные операции Кванторные операции могут рассматриваться как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции в случае бесконечных областей. Квантор всеобщности (all - всякий) Под выражением xP(x) понимают высказывание, истинное, если P(x) истинно для каждого xєM, и ложное в противоположном случае.

№ слайда 16 Кванторные операции Словесная интерпретация: «для каждого х P(x) истинно». Пе
Описание слайда:

Кванторные операции Словесная интерпретация: «для каждого х P(x) истинно». Переменная х в предикате P(x) является свободной (х – любое из М), в высказывании хP(x) является связанной переменной, т.е. переменную, к которой относится квантор наз. связной, остальные переменные наз. свободными. Рассмотрим предикат P(x) , определенный на множестве M:{a1,…,an}. Справедлива равносильность

№ слайда 17 В обычных выражениях квантор всеобщности выражается следующим образом: P(x),
Описание слайда:

В обычных выражениях квантор всеобщности выражается следующим образом: P(x), при произвольном х; P(x), при какого бы не было х; для каждого х верно P(x); всегда имеет место P(x); каждый обладает свойством P; всё удовлетворяет P.

№ слайда 18 Квантор существования Ǝ (exist-существовать) Пусть P(x)- предикат,xєM. Под вы
Описание слайда:

Квантор существования Ǝ (exist-существовать) Пусть P(x)- предикат,xєM. Под выражением Ǝx P(x) понимают высказывание, истинное, если существует xєM, для которого P(x) истинно, и ложное в противоположном случае. Переменная х в предикате является свободной (х – любое из М), в высказывании Ǝx P(x)- х является связанной переменной. Словесная интерпретация: «существует х, при котором P(x) истинно». Справедлива равносильность

№ слайда 19 В обычных выражениях квантор существования выражается следующим образом: для
Описание слайда:

В обычных выражениях квантор существования выражается следующим образом: для некоторых х имеет место P(x); для подходящего х верно P(x); имеется х, для которого P(x); у некоторых вещей есть признак Р; кто-нибудь относится к (есть) Р.

№ слайда 20 Если предикат является функцией нескольких переменных, то он называется n-мес
Описание слайда:

Если предикат является функцией нескольких переменных, то он называется n-местным или n-арным предикатом. Кванторные операции могут применять и к многоместным предикатам. Например, применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной х ставит в соответствие ему одноместный предикат xP(x,y) или ƎxP(x,y), зависящий от y и не зависящий от x. К двухместному предикату при применении кванторов по обеим переменным получается 8 высказываний: xyP(x,y) yxP(x,y) ƎxyP(x,y) ƎyxP(x,y) xƎyP(x,y) yƎxP(x,y) ƎxƎyP(x,y) ƎyƎxP(x,y)

№ слайда 21 В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказыв
Описание слайда:

В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логических значений, то есть, например, высказывания и различны. Квантор существования можно выразить через квантор всеобщности применительно к предикату A(x) следующим образом Квантор всеобщности можно выразить через квантор существования применительно к предикату A(x)следующим образом

№ слайда 22 Пример: 1) Пусть P(x,y) означает что х является матерью для у. Тогда выражени
Описание слайда:

Пример: 1) Пусть P(x,y) означает что х является матерью для у. Тогда выражение означает, что у каждого человека есть мать – это истинное утверждение. Выражение означает, что существует мать всех людей. Истинность этого утверждения зависит от множества значений, которые могут принимать y: если это множества братьев и сестер, то оно истинно, в противном случае ложно.

№ слайда 23 2) Установить истинность или ложность высказывания Исходное высказывание прео
Описание слайда:

2) Установить истинность или ложность высказывания Исходное высказывание преобразуем к виду: Исходное высказывание истинно.

№ слайда 24 Формулы логики предикатов и интерпретация В логике предикатов используется си
Описание слайда:

Формулы логики предикатов и интерпретация В логике предикатов используется символика: Символы p1, q2, r3, … – переменные высказывания; Предметные переменные и предметные константы; ,niєN, - предикатные символы, – ni-местный предикатный символ; , - функциональные символы, – nj-местный функциональный символ; Символы логических операций: Символы кванторных операций: ,Ǝ Вспомогательные символы: скобки, запятые.

№ слайда 25 Формулой логики предикатов называется всякое выражение, содержащее символику
Описание слайда:

Формулой логики предикатов называется всякое выражение, содержащее символику 1…7 и удовлетворяющее следующим требованиям: атомарная формула есть формула; если A и B – формула, то A→B,A↔B ,AvB ,A^B - тоже формулы при условии, что одна и та же предметная переменная не является в А свободной, а в В связанной или наоборот; если А – формула, то и Ā - тоже формула; если A(x)- формула, то ƎxA(x) и xA(x) являются формулами, причем если в A(x) х – свободная переменная, то в ƎxA(x) и xA(x) будет уже связанной переменной.

№ слайда 26 Интерпритация Формулы имеют смысл тогда, когда имеется какая-нибудь интерпрет
Описание слайда:

Интерпритация Формулы имеют смысл тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в неё символов. Под интерпретацией понимается всякая пара, состоящая из непустого множества М, названного областью интерпретации, и какого-либо отображения, относящему каждому предикатному символу арности N некоторое n-местное отношение на M.

№ слайда 27 Пример: 1) Является ли данное выражение формулой логики предикатов? 					– не
Описание слайда:

Пример: 1) Является ли данное выражение формулой логики предикатов? – не является формулой, так как квантор существования употреблен для уже связной квантором всеобщности переменной y. - является формулой; x – связанная переменная; y – свободная; - не является формулой, ибо в первом логическом слагаемом х – связанная переменная, а во втором слагаемом свободная.

№ слайда 28 2) Даны следующие утверждения A(n): «число n делится на 3»;B(n): «число n дел
Описание слайда:

2) Даны следующие утверждения A(n): «число n делится на 3»;B(n): «число n делится на 2»; С(n): «число n делится на 4»;D(n): «число n делится на 6»; E(n): «число n делится на 12». Указать, какие из следующих утверждений истинны, а какие ложны: а) A(n)^B(n): «число n делится на 6», A(n)^B(n)→E(n): «если n делиться 6, то оно делится на 12». При n=6 импликация ложна, следовательно, исходная формула в общем ложна. б) B(n)^C(n):«число делится на 4»,B(n)^C(n)→¬D(n): «если число делиться на 4, то оно не делиться на 6». Такое может быть, например, при n=16. Следовательно, B(n)^C(n)→¬D(n) - не тождественно ложная формула, а тогда - истинная формула алгебры предикатов.

№ слайда 29 Формулы Формула 			содержит только связанную переменную х. Эта формула являет
Описание слайда:

Формулы Формула содержит только связанную переменную х. Эта формула является тождественно истинным высказыванием в любой интерпретации. Напротив, формула - тождественно ложная формула в любой интерпретации.

№ слайда 30 Применение языка логики предикатов для записи математических предложений Опре
Описание слайда:

Применение языка логики предикатов для записи математических предложений Определение экстремума функции (минимума в точке х0) , где

№ слайда 31 Определение выпуклости (вогнутости) функции f(x) Если во всех точках интервал
Описание слайда:

Определение выпуклости (вогнутости) функции f(x) Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная , то f(x) на (a,b) выпукла.


57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 08.10.2016
Раздел Другое
Подраздел Презентации
Просмотров36
Номер материала ДБ-244311
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх