Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Миноры и алгебраические дополнения» - урок 5-ый. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

• 1 слайд

  Миноры и алгебраические дополнения.
  ГБОУ СПО МО «ЛПТ»
  Преподаватель математики
  Осипова Людмила Евгеньевна
  Mila139139 @ yandex.ru
  
  Тема 1.1.
  Матрицы и определители.
  Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
  Лекция № 5
  УРОК ПЯТЫЙ
  

• 2 слайд

  Основное понятие минора
  
  а11 а12 а13
  a21 а22 а23
  а31 а32 а33
  Пусть detA =
  Минором любого элемента этого определителя называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.
  
  Обозначается Мij , где i – номер строки, j – номер столбца.
  тогда
  а12 а13
  а22 а23
  а11 а13
  a21 а23
  М31 =
  а11 а13
  а31 а33
  М32 =
  М22 =
  а12 а13
  а22 а23
  

• 3 слайд

  Рассмотрим пример 1
  Задание.
  Задан определитель А. Найти минор M23 к элементу a23 определителя
  Решение.
  
  Вычеркиваем в заданном определителе вторую
  строку и третий столбец:
  Тогда
  ОТВЕТ:
  detA =
  

• 4 слайд

  Алгебраическое дополнение
  А ij = ( -1)
  i + j
  М ij
  Алгебраическое дополнение элемента аij данного определителя называют минор этого же элемента, взятый со знаком (-1) , где i,j –номера соответственно строки и столбца, на пересечение которых находится элемент.
  i + j
  а11 а12 а13
  a21 а22 а23
  а31 а32 а33
  Пусть задан detA =
  тогда
  Обозначается Аij , где i – номер строки, j – номер столбца
  и задаётся формулой (1)
  (1)
  где Мij – минор этого же элемента
  

• 5 слайд

  Рассмотрим пример 2
  Решение.      
  Ответ:
  Задание.
  
  Найти алгебраическое дополнение А23 к
  элементу а23
  1
  

• 6 слайд

  Теорема о вычислении определителя
  ТЕОРЕМА
  Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
  а11 а12 а13
  a21 а22 а23
  а31 а32 а33
  Пусть задан detA =
  , тогда
  det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
  ПРИМЕЧАНИЕ
  Обычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули.
  ( 2)
  

• 7 слайд

  Разложение определителя по строке
  а11 а12 а13
  a21 а22 а23
  а31 а32 а33
  Пусть задан detA =
  , тогда
  det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
  (2)
  = а11 (-1)
  а22 а23
  а32 а33
  1+1
  А11
  +
  + а12 (-1)
  1+2
  a21 а23
  а31 а33
  А12
  + а13 (-1)
  1+3
  a21 а22
  а31 а32
  А13
  

• 8 слайд

  Разложение определителя по столбцу
  а11 а12 а13
  a21 а22 а23
  а31 а32 а33
  Пусть задан detA =
  , тогда
  det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
  (2)
  = а11 (-1)
  а22 а23
  а32 а33
  1+1
  А11
  +
  + а21 (-1)
  2+1
  a12 а13
  а32 а33
  А21
  + а31 (-1)
  1+3
  a12 а13
  а22 а23
  А31
  

• 9 слайд

  Рассмотрим пример 3
  Задание.
  Вычислить определитель, разложив его по первой строке
  Решение.
  Ответ:
  

• 10 слайд

  Примечание
  Заметим, что понятие минора применяется и по отношению к матрице. Это определитель любой квадратной подматрицы для данной.
  Пусть дана матрица А .
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  Определителя у этой матрицы нет, т.к. она не квадратная, но для нее можно составить очень много миноров
  3 х 4
  Рассмотрим их
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  3 х 4
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  3 х 4
  

• 11 слайд

  Миноры 3-го порядка матрицы А
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  3 х 4
  Образуются с помощью вычеркивания любого из столбца
  7 -1
  0 2 3
  8 4 6
  7 9
  0 2 -2
  8 4 5
  7 -1 9
  2 3 -2
  4 6 5
  -1 9
  0 3 -2
  8 6 5
  М3 =
  1
  М3 =
  2
  М3 =
  3
  М3 =
  4
  

• 12 слайд

  Миноры 2-го порядка матрицы А
  Миноры 1-го порядка матрицы А
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  3 х 4
  7 -1 9
  0 2 3 -2
  8 4 6 5
  А =
  3 х 4
  Вывод. Минор – это определитель любой квадратной подматрицы для данной.
  М2 =
  1
  7
  0 2
  М2 =
  2
  3
  4 6
  М2 =
  3
  9
  8 5
  Миноров 2-го порядка этой матрицы А по количеству будет еще больше.
  М1 =
  1
  1
  М1 =
  4
  2
  М1 =
  5
  4
  М1 =
  -2
  3
  = 1
  = -2
  = 4
  = 5
  

• 13 слайд

  Основные источники
  Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
  Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
  Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.