Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Ранг матрицы» - урок 6-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Ранг матрицы» - урок 6-ой. Рекомендовано для выпускников СПО.

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Ранг матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евген...
Основное понятие Ранг матрицы - это наивысший из порядков миноров этой матриц...
Рассмотрим пример 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 D = 3 х 3 Пусть тогда rang(A)= 1 потом...
Рассмотрим пример 2 Задание. Посчитать миноры матрицы С = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0...
Методы нахождения ранга матрицы 1. Метод окаймляющих миноров 2. Метод элемент...
Суть метода окаймляющих миноров выражается следующей схемой Ранг равен k Можн...
Метод окаймления миноров Найти ранг матрицы А методом окаймления миноров     ...
2. Рассмотрим миноры 2-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = М...
3. Рассмотрим миноры 3-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 3 х 4...
Эквивалентные преобразования Эти преобразования называются эквивалентными при...
Рассмотрим пример эквивалентных преобразований Пусть задана матраца А = 3 3 3...
2) Поменяем первую и вторую строки матрицы местами Пусть задана матраца В = 6...
Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца С = 3 2 2 2 6 6 3) От перво...
Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 4)...
Метод элементарных преобразований Задание. Найти ранг матрицы 0 4 10 1 4 8 18...
Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на число четыре ( прео...
Шаг 4. К второй строки прибавим первую, умноженную на число тять ( преобразов...
Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки. Далее четвертую и первую строк...
Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К...
1 из 19

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Ранг матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евген
Описание слайда:

Ранг матрицы ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.1. Матрицы и определители. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 6 УРОК ШЕСТОЙ

№ слайда 2 Основное понятие Ранг матрицы - это наивысший из порядков миноров этой матриц
Описание слайда:

Основное понятие Ранг матрицы - это наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля Обозначают: r, rang(A), r(A). 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 7 -1 9 0 2 3 -2 8 4 6 5 А = 3 х 4 Пусть 7 -1 0 2 3 8 4 6 М3 = 1 = 1(12-12) + 8(21+2) = 184 = 0 так как ее минор старшего порядка М3 отличен от нуля, тогда rang(A)= 3 1 Рассмотрим пример

№ слайда 3 Рассмотрим пример 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 D = 3 х 3 Пусть тогда rang(A)= 1 потом
Описание слайда:

Рассмотрим пример 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 D = 3 х 3 Пусть тогда rang(A)= 1 потому что все миноры 3-го порядка равны нулю, все миноры 2-го порядка тоже равны нулю и только один минор −1 = −1 ≠ 0 , а он первого порядка. М3 = 0 М2 = 0 М1 = φ φ 1 −1 = −1 ≠ 0 Если матрица A нулевая, т. е. все ее элементы равны нулю, то и все миноры матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы считается равным нулю. ПРИМЕЧАНИЕ

№ слайда 4 Рассмотрим пример 2 Задание. Посчитать миноры матрицы С = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0
Описание слайда:

Рассмотрим пример 2 Задание. Посчитать миноры матрицы С = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 Самый старший минор для этой матрицы –это минор 3-го порядка. Таких миноров три. И каждый равен нулю. Среди миноров 2-го порядка есть один - отличный от нуля Решение. М2 = 1 0 0 3 ≠ = 3 – 0 ≠ 0 Ответ: rang(С) = 2. 4 х 3 вывод: чем больше в матрице нулей, тем легче считать ее определитель

№ слайда 5 Методы нахождения ранга матрицы 1. Метод окаймляющих миноров 2. Метод элемент
Описание слайда:

Методы нахождения ранга матрицы 1. Метод окаймляющих миноров 2. Метод элементарных преобразований Пусть в матрице А найден ненулевой минор k -го порядка . Рассмотрим все миноры  k+1 -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор Мk   ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется. φ Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

№ слайда 6 Суть метода окаймляющих миноров выражается следующей схемой Ранг равен k Можн
Описание слайда:

Суть метода окаймляющих миноров выражается следующей схемой Ранг равен k Можно ли составить окаймляющие миноры? Минор k-го порядка не равен нулю да нет Проверяем окаймляющие миноры. Это будут миноры (k+1) – го порядка. Среди них есть хоть один не равный нулю? Ранг равен k k: = k + 1 нет да

№ слайда 7 Метод окаймления миноров Найти ранг матрицы А методом окаймления миноров     
Описание слайда:

Метод окаймления миноров Найти ранг матрицы А методом окаймления миноров                                 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = Задание. Решение. 3 х 4 1. Рассмотрим миноры 1-го порядка матрицы А М1 = 1 = 1 1 ≠ 0 ( условие выполнено )

№ слайда 8 2. Рассмотрим миноры 2-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = М
Описание слайда:

2. Рассмотрим миноры 2-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 А = М2 = 1 1 2 2 4 = 1 4 - 2 2 = 4 – 4 = 0 ( не подходит ) М2 = 2 -1 3 = 1 3 – 2 (-1) = 3 + 2 = 5 ≠ 0 ( условие выполнено) 3 х 4

№ слайда 9 3. Рассмотрим миноры 3-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 3 х 4
Описание слайда:

3. Рассмотрим миноры 3-го порядка матрицы А 1 2 -1 -2 2 4 3 0 -1 -2 6 6 3 х 4 А = М3 = 1 2 -1 2 4 3 -1 -2 6 = 1 (24+12) – 2(12-2) – 1(12+4) = 36 – 20 – 16 = 0 1 ( не подходит ) М3 = 2 1 2 -2 2 4 0 -1 -2 6 = -2 (-4+4) + 6 (4-4) = 0 ( не подходит ) М3 = 3 1 -1 -2 2 3 0 -1 6 6 = 0 ( не подходит ) М3 = 4 2 -1 -2 4 3 0 -2 6 6 = 0 ( не подходит ) Ответ: rang ( A ) = 2

№ слайда 10 Эквивалентные преобразования Эти преобразования называются эквивалентными при
Описание слайда:

Эквивалентные преобразования Эти преобразования называются эквивалентными при этом ранг матрицы не изменяется употребляется знаки: ~; ⇔ ; ↔ умножение строки на ненулевое число перестановка двух строк прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число при транспонировании матрицы 1 2 3 4

№ слайда 11 Рассмотрим пример эквивалентных преобразований Пусть задана матраца А = 3 3 3
Описание слайда:

Рассмотрим пример эквивалентных преобразований Пусть задана матраца А = 3 3 3 2 2 2 х 3 1) Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку А = 3 3 3 2 2 ⇔ В = 1 2 3 2 3 2 3 2 2 6 6 3 2 2 = В = 6 6 3 2 2 Получили матрицу такую, что А В ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 1 2 х 3

№ слайда 12 2) Поменяем первую и вторую строки матрицы местами Пусть задана матраца В = 6
Описание слайда:

2) Поменяем первую и вторую строки матрицы местами Пусть задана матраца В = 6 6 3 2 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2 В = 6 6 3 2 2 ⇔ С = 3 2 2 2 6 6 С = Получили матрицу такую, что В С ⇔ 3 2 2 2 6 6 эквивалентные преобразования 2 х 3

№ слайда 13 Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца С = 3 2 2 2 6 6 3) От перво
Описание слайда:

Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца С = 3 2 2 2 6 6 3) От первой строки матрицы отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу D 2 х 3 С = 3 2 2 2 6 6 ⇔ ⇔ D = 3-2 2-6 2-6 2 6 6 D = 1 -4 -4 2 6 6 = 1 -4 -4 2 6 6 Получили матрицу такую, что C D 2 х 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 2 х 3

№ слайда 14 Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 4)
Описание слайда:

Эквивалентные преобразования Пусть задана матраца D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 4) Проведём транспонирование матрицы D, получаем эквивалентную матрицу F D = 1 -4 -4 2 6 6 2 х 3 ⇔ F = 1 2 -4 6 -4 6 3 х 2 Вывод: Матрицы А F , так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками. ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 4

№ слайда 15 Метод элементарных преобразований Задание. Найти ранг матрицы 0 4 10 1 4 8 18
Описание слайда:

Метод элементарных преобразований Задание. Найти ранг матрицы 0 4 10 1 4 8 18 4 18 40 17 1 7 17 3 А = Решение. Шаг 1. Из третий строчки вычтем вторую, умножив её на число два ( преобразование 3) 0 4 10 1 4 8 18 4 18 40 17 1 7 17 3 0 4 10 1 4 8 18 4 10-4 2 18-8 2 40-18 2 17-7 2 1 7 17 3 0 4 10 1 4 8 18 4 2 2 4 3 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

№ слайда 16 Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на число четыре ( прео
Описание слайда:

Шаг 2. От второй строки отнимаем четвертую, умноженную на число четыре ( преобразование 3) 0 4 10 1 4 8 18 4 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 4-1 4 8-7 4 18-17 4 4-3 3 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2 2 4 3 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3 Шаг 3. От третий строки отнимаем четвертую, умноженную на число два ( преобразование 3) 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2 2 4 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 2-1 2 2-7 2 4-17 2 3-3 2 1 7 17 3 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 ⇔ ⇔

№ слайда 17 Шаг 4. К второй строки прибавим первую, умноженную на число тять ( преобразов
Описание слайда:

Шаг 4. К второй строки прибавим первую, умноженную на число тять ( преобразование 3) ⇔ 0 4 10 1 0 -20 -50 -5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0-0 5 -20+4 5 -50+10 5 -5+1 5 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 ⇔ Шаг 5. К третий строки прибавим первую, умноженную на число три ( преобразование 3) 0 4 10 1 0 0 0 0 0 -12 -30 -3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0+0 3 -12+ 4 3 -30+10 3 -3+1 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 17 3 ⇔ ⇔ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3

№ слайда 18 Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки. Далее четвертую и первую строк
Описание слайда:

Шаг 6. Меняем местами первую и вторую строчки. Далее четвертую и первую строки ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 2 0 0 0 0 0 4 10 1 0 0 0 0 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 17 3 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⇔ ⇔ 4 х 4 С помощью элементарных преобразований над строками матрицу А привели к ступенчатому виду 1 7 17 3 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 х 4 1 7 17 3 0 4 10 1 2 х 4 rang (A) = 2 Ответ: rang (A) = 2

№ слайда 19 Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К
Описание слайда:

Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 16.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров172
Номер материала ДВ-345711
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх