Презентация по дисциплине «Элементы высшей математики» на тему: «Решения систем линейных уравнений методом Крамера» - урок 12-ый. Рекомендовано для выпускников СПО.

• 1 слайд

  Метод решения систем линейных уравнений методом Крамера ГБОУ СПО МО «ЛПТ» Преподаватель математики Осипова Людмила Евгеньевна Mila139139 @ yandex.ru Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений. Раздел 1. Элементы линейной алгебры. Лекция № 10 УРОК ДВЕННАДЦАТЫЙ

• 2 слайд

  Габриель Крамер швейцарский математик. 31.08.1704 – 04.01.1752 Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Самая известная из работ Крамера —трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера

• 3 слайд

  Рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений а11x1 + а12x2 + ... + а1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………….. am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 1 Количество неизвестных равно числу уравнений m = n

• 4 слайд

  Вспомним такие понятия как: А – основная матрица системы, Х – матрица-столбец неизвестных, В – матрица-столбец свободных членов. А = а11 а12 ... a1n a21 a22 … a2n ..................... am1 am2 … amn X = X1 X2 …. Xn B = b1 b2 …. bm АХ = В - запись СЛАУ в матричном виде

• 5 слайд

  Метод Крамера Решение системы квадратных линейных уравнений AX= B , где количество неизвестных равно количеству уравнений данной системы, с невырожденной квадратной матрицей А - единственно и имеет вид : Х1 = Δ1 Δ , Х2 = Δ2 Δ , Х3 = Δ3 Δ , .... , Хn = Δn Δ Где : Х1, Х2 , Х3 ,…, Хn - неизвестные переменные, значения которых надо найти, а Δ ; Δ1 ; Δ2 ; Δ3 ; .... ; Δn – определители, которые нужно составить по методу Крамера, а затем вычислить

• 6 слайд

  Δ = а11 а12 ... a1n a21 a22 … a2n ..................... am1 am2 … amn - определитель системы, определитель основной матрицы. Δ1 = b1 а12 ... a1n b2 a22 … a2n ..................... bm am2 … amn -получается из главного определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. 1) Составим главный определитель - Δ 2) Составим определитель - Δ1

• 7 слайд

  3) Составим определитель - Δ2 Δ2 = а11 b1 ... a1n a21 b2 … a2n ..................... am1 bm … amn -получается из главного определителя заменой 2-го столбца столбцом свободных членов. 3) Составим определитель - Δn Δn = а11 а12 ... b1 a21 a22 … b2 ..................... am1 am2 … bm -получается из главного определителя заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

• 8 слайд

  Рассмотрим пример 1 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2Х1 – Х2 = 0 Х1 + 3Х2 = 7 Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = -1 1 3 Δ = -1 1 3 = 6 + 1 = 7 Δ - отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

• 9 слайд

  2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 0 -1 7 3 = 7 ; Δ2 = = 14 ; 0 1 7 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = 7 7 = 1 Х2 = Δ2 Δ = 14 7 = 2 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 2.

• 10 слайд

  Рассмотрим пример 2 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель

• 11 слайд

  Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 3 -1 -2 1 2 0 2 = -36 + 6 + 0 – 4 – 18 – 0 = - 52 Δ2 = 2 9 -1 1 3 1 1 2 2 = 12 + 9 – 2 + 3 -18 – 4 = 0 Δ3 = 2 3 9 1 -2 3 1 0 2 = -8 + 9 + 0 +18 – 6 – 0 = 13

• 12 слайд

  3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ = -52 -13 = 4 Х2 = Δ2 Δ = 0 -13 = 0 Х3 = Δ3 Δ = 13 -13 = -1 Ответ: Х1 = 4, Х2 = 0, Х3 = -1.

• 13 слайд

  Рассмотрим пример 3 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = -1 1 1 -1 1 -2 1 Δ = -1 1 1 -1 1 -2 1 = 2 - 2 + 1 - 1 - 4 + 1 = -3

• 14 слайд

  Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. 2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = 4 -1 1 2 1 -1 1 -2 1 = -6 Δ2 = 2 4 1 1 2 -1 1 1 1 = -3 Δ3 = 2 -1 4 1 1 2 1 -2 1 = -2 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 2 ; = 1 ; = 1 Ответ: Х1 = 2, Х2 = 1, Х3 = 1.

• 15 слайд

  Рассмотрим пример 4 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера Решение. Основная матрица системы имеет вид                       1) Вычислим ее определитель А = 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ = = 31 1 5 -1 2 -1 1 1 2 -3 Δ - отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

• 16 слайд

  2) Составим и вычислим необходимые определители Δ1 = = 31 Δ2 = = 0 Δ3 = = 31 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х1 = Δ1 Δ Х2 = Δ2 Δ Х3 = Δ3 Δ = 1 ; = 0 ; = 1 Ответ: Х1 = 1, Х2 = 0, Х3 = 1. 0 5 -1 3 -1 1 -2 2 -3 1 0 -1 2 3 1 1 -2 -3 1 5 0 2 -1 3 1 2 -2 31 31 = 0 31 = 31 31 =

• 17 слайд

  Основные источники Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование ) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил. Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с. http://mathsun.ru/ - История математики. Биографии великих математиков