Презентация по дисциплине Математика "Текстовые задачи"

• 1 слайд

  Текстовая задача
  Структура текстовой задачи
  Методы и способы решения
  Этапы решения
  Решение задач на «части»
  Решение задач на движение
  Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
  «Педагогический колледж №8»
  
  Маркина О.А.
  

• 2 слайд

  Структура текстовой задачи
  В любом математическом курсе есть задачи.
  В обучении младших школьников преобладают такие, которые называют арифметическими, текстовыми, сюжетными.
  
  Эти задачи сформулированы на естественном языке (поэтому текстовые); в них обычно описывается количественная сторона каких-то явлений, событий (поэтому арифметические или сюжетные); они представляют собой задачи на разыскание искомого и сводятся к вычислению неизвестного значения некоторой величины (поэтому вычислительные)
  

• 3 слайд

  Рассмотрим одну задачу из начального курса математики: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»
  В задаче речь идет о расходовании шерсти на свитер, и шапку и шарф. Относительно этих объектов имеются определению утверждения и требования.
  
  Утверждения:
  1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.
  2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.
  3. На шарф израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.
  Требования:
  1. Сколько шерсти израсходовали на свитер?
  2. Сколько шерсти израсходовали на шапку?
  3. Сколько шерсти израсходовали на шарф?
  Высказывательная модель задачи – это система взаимосвязанных утверждений (условий) и требований
  

• 4 слайд

  Пример 1. Сформулируйте условия и требования задачи:
  
  Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30с?
  Условия задачи:
  1. Две девочки бегут навстречу друг другу.
  2. Движение они начали одновременно.
  3. Расстояние, которое они пробежали, - 420 м.
  4. Одна девочка пробежала на 60 м больше, чем другая.
  5. Девочки встретились через 30 с.
  
  Требования задачи:
  1. С какой скоростью бежала 1-я девочка?
  2. С какой скоростью бежала 2-я девочка?
  

• 5 слайд

  По отношению между условиями и требованиями различают:
  
  а) определенные задачи - в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;
  б) недоопределённые задачи - в них условий недостаточно для получения ответа;
  в) переопределенные задачи - в них имеются лишние условия.
  «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?»
  «Из зала вынесли сначала 12 стульев, потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?»
  

• 6 слайд

  Смысл термина «решение задачи». Так сложилось, что этим термином обозначают разные понятия:
  
  решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;
  
  2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, причём этот процесс рассматривают двояко: и как метод нахождения результата (например, говорят о решении задачи арифметическим способом) и как последовательность тех действий, которые выполняет решающий, применяя тот или иной метод (т.е. в данном случае под решением задачи понимается вся деятельность человека, решающего задачу).
  

• 7 слайд

  Есть ли среди нижеприведённых задачи с лишними данными:
  
  а) Объем комнаты равен 72 м3. Высота комнаты 3 м. Найдите площадь пола комнаты, если её длина 6 м.
  
  б) Для посадки леса выделили участок, площадь которого
  
  300 га. Дубы посадили на участка, а сосны на участка.
  
  Сколько гектаров занято соснами?
  
  В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решите задачу.
  7
  10
  3
  10
  

• 8 слайд

  В следующих задачах выделите условия и требования:
  
  а) Сумма двух чисел равна 199. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 61.
  
  б) Два автобуса отправились одновременно из города в село, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в село на 15 мин раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км/ч больше скорости другого?
  Решите задачи.
  32 км/ч; 36 км/ч
  69; 130
  

• 9 слайд

  Структура задачи
  
  Условие Требование
  Методы решения задачи
  
  
  Практичес- Арифмети- Алгебраи- Геометри- Логи-
  кий ческий ческий ческий ческий
  
  
  
  
  3 + 2 = 5 3 + х = 5 рассужде-
  Методы и способы решения текстовых задач
  ния
  

• 10 слайд

  Методы и способы решения текстовых задач
  Основными методами решения текстовых задач являются арифметический и алгебраический.
  Арифметический метод - это решение задачи при помощи выполнения арифметических действий над числами.
  
  Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.
  1 способ
  1)4 ∙ 3 = 12 (м) - столько было ткани;
  2) 12 : 2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить из 12 м ткани.
  2 способ
  1) 4 : 2 = 2 (раза) - во столько раз больше идёт ткани на платье, чем
  на кофту;
  2) 3 • 2 = 6 (кофт) - столько кофт можно сшить.
  «Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько кофт можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну кофту 2 м?»
  

• 11 слайд

  Алгебраический метод - это решение задачи при помощи уравнения или системы уравнений.
  Если для одной и той же задачи можно составить различные уравнения (системы уравнений), то это означает, что данную задачу можно решить различными алгебраическими способами.
  Задачу о массе шерсти, израсходованной на свитер шапку и шарф, можно решить тремя различными способами.
  
  1 способ
  Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шапку. Тогда на шарф будет израсходовано (х + 100) г, а на свитер ((х + 100) + 400) г. Так как на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение
  х + (х + 100) + ((х + 100) + 400) = 1200.
  Выполнив преобразования, получим, что х = 200. Таким образом, на шапку было израсходовано 200 г, на шарф - 300 г, так как 200 +100=300, на свитер - 700 г, так как (200 + 100) + 400 = 700.
  
  

• 12 слайд

  2 способ
  Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на шарф. Тогда на шапку будет израсходовано (х - 100) г, а на свитер –
  (х + 400) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение!
  х + (х-100)+ (х +400) = 1200.
  Выполнив преобразования, получим, что х = 300. Таким образом, если на шарф израсходовали 300 г, то на шапку 200 г (300 - 100 = 200), а на свитер 700 г (300 + 400 = 700).
  
  3 способ
  Обозначим через х (г) массу шерсти, израсходованной на свитер. Тогда на шарф будет израсходовано (х - 400) г, а на шапку
  (х - 400 - 100) г. Поскольку на все три вещи израсходовано 1200 г, то можно составить уравнение:
  х + (х- 400) + (х- 500) = 1200. Выполнив преобразования, получим, что х = 700. Таким образом, если на свитер израсходовано 700 г, то на шарф пошло 300г (700 – 400 = 300), а на шапку – 200г(700 – 400 – 100 = 200).
  

• 13 слайд

  Упражнения
  
  1. Решите различными арифметическими способами задачи:
  а) Боковая сторона равнобедренного треугольника на 10 см больше основания. Периметр треугольника равен 26 см. Найдите основание треугольника.
  
  б) Расстояние между двумя городами по железной дороге 720 км. Два поезда одновременно выходят навстречу друг другу и встречаются через 10 ч. Скорость одного поезда на 8 км/ч больше скорости второго поезда. Найдите скорость каждого поезда.
  
  в) Ученик затратил на подготовку уроков 1 ч 50 мин. Занятия русским языком заняли на 15 мин больше, чем географией, и на 20 мин меньше, чем математикой.
  Сколько времени ушло на подготовку каждого предмета отдельно?
  
  2. Решите различными алгебраическими способами задачу о девочках, которые бегут навстречу друг другу.
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Этапы решения задачи и приёмы их выполнения
  Деятельность по решению задачи арифметическим методом включает следующие основные этапы:
  
  1. Анализ задачи.
  
  2. Поиск плана решения задачи.
  
  3. Осуществление плана решения задачи.
  
  4. Проверка решения задачи.
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.
  1. Анализ задачи.
  Анализ задачи всегда направлен на её требования.
  Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требования можно, если задать специальные вопросы и ответить на них:
  О чём задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идёт речь в
  задаче, какими величинами характеризуется этот процесс?
  Что требуется найти в задаче?
  Что обозначают те или иные слова в тексте задачи?
  Что в задаче известно о названных величинах?
  Что неизвестно?
  Что является искомым?
  

• 17 слайд

  Задача:
  
  «По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика.
  Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого.
  С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч.
  От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом.
  Какое расстояние пробежит за все это время собака?»
  

• 18 слайд

  1) О чем эта задача?
  - Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.
  2) Что требуется найти в задаче?
  - В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за всё время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом, т.е. второй не догонит первого.
  3) Что в задаче известно о движении каждого из его участников?
  В задаче известно, что:
  а) мальчики идут в одном направлении;
  б) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км;
  в) скорость первого мальчика, идущего впереди, 4 км/ч;
  г) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч;
  д) скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч;
  е) время движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи.
  4) Что в задаче неизвестно?
  - В задаче неизвестно время, за которое второй мальчик догонит первого, т.е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.
  5) Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?
  - Искомым является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи.
  

• 19 слайд

  Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой приём - перефразировка текста задачи.
  Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.
  Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице.
  Например, рассматриваемую задачу можно записать с помощью таблицы такого вида:
  Скорость
  Расстояние 
  1-й мальчик 4 км/ч
  2-й мальчик 5 км/ч
  Собака 8 км/ч
  ?
  ?
  ?
  одинаковое
  ?
  

• 20 слайд

  Построением схематического чертежа может быть завершён анализ задачи о массе шерсти, израсходованной на шапку, шарф и свитер.
  Для этого условимся массу шерсти, израсходованной на шапку, изобразить в виде отрезка произвольной длины.
  Шапка
  ? 100 г
  Шарф 1200 г
  ? 400 г
  Свитер
  
  ?
  Таблица, схематический чертеж и т.п. являются вспомогательными моделями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана её решения.
  Требования к вспомогательной модели :
  1) все ли объекты задачи и их величины показаны на модели;
  2) все ли отношения между ними отражены;
  3) все ли числовые данные приведены;
  4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.
  

• 21 слайд

  2. Поиск и составление плана решения задачи.
  Назначение этого этапа: установить связь между данными и искомыми объектами, наметить последовательность действий.
  План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.
  Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен.
  Одним из наиболее известных приёмов поиска плана решения задачи арифметическим способом является разбор задачи по тексту или по её вспомогателъной модели.
  Проведем такой разбор по тексту задачи:
  «На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»
  Рассуждения ведем от данных к вопросу задачи.
  Разбор задачи от вопроса к данным.
  Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.
  

• 22 слайд

  3. Осуществление плана решения задачи
  Назначение данного этапа - найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.
  Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, используются следующие приемы:
  - запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);
  - запись в виде выражения.
  Примеры различных записей плана решения задачи: «На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»
  1. Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию.
  1)56 ∙ 6 = 336 (км) - турист проехал за 6 ч
  2) 336 ∙ 4 = 1344 (км) - осталось проехать туристу
  3) 336 + 1344 = 1680 (км) - должен был проехать турист.
  
  Ответ: 1680 км
  

• 23 слайд

  2. Запись решения по действиям с вопросами:
  Сколько километров проехал турист на поезде?
  56∙6 = 336 (км)
  2) Сколько километров осталось проехать туристу?
  336∙4= 1344 (км)
  3) Сколько километров турист должен был проехать?
  336+ 1344= 1680 (км)
  3. Запись решения в виде выражения.
  56 ∙ 6 + 56 ∙ 6 ∙ 4= 1680 (км)
  
  Ответ: 1680 км
  
  
  
  

• 24 слайд

  4. Проверка решения задачи
  Назначение данного этапа - установить правильность или ошибочность выполненного решения.
  1. Установление соответствия между результатом и условиями задачи.
  2. Решение задачи другим способом.
  

• 25 слайд

  5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
  Математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.
  Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.
  В процессе решения задачи чётко выделяются три этапа математического моделирования:
  I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;
  II этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение значение выражения, выполнение действий, решение уравнения);
  III этап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.
  

• 26 слайд

• 27 слайд

  Задача. «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»
  Решить задачу поэтапно арифметическим способом.
  

• 28 слайд

  Задача. «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»
  Приём моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект.
  Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.
  -3
  +7
  ?
  ?
  1в.
  2в.
  7+3=10(ч) – 2 вагон
  10×2=20(чел) – 1 вагон
  
  Проверка:
  2х – 3 = х + 7
  

• 29 слайд

  Модели
  Схематизированные
  Знаковые
  

• 30 слайд

  Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.
  Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают
  Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.)
  Графические модели используются, как правило, для обобщённого, схематического воссоздания ситуации задачи.
  К графическим следует отнести следующие виды моделей:
  1) рисунок;
  2) условный рисунок;
  3) чертеж;
  4) схематичный чертеж (или просто схема).
  Вспомогательные модели
  

• 31 слайд

  Рассмотрим эти модели на примере задачи:
  «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»
  Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид:
  Л.
  
  В.
  
  ?
  Условный рисунок может быть таким:
  Л.
  
  В.
  
  ?
  Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертёжных инструментов с соблюдением заданных отношений:
  Л. 1д.
  В.
  
  ?
  

• 32 слайд

  Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем указываются все данные и искомые:
  4 д.
  Л. 3 д.
  В.
  
  ?
  Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке.
  К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы.
  Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:
  Л. – 4 д.
  В. - ?, на 3 д. больше, чем
  Все схематизированные и знаковые модели, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели.
  

• 33 слайд

  Решение задач «на части»
  При решении таких задач арифметическим методом чаще всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.
  Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять на 10 кг ягод?
  Решение. В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара, чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.
  Изобразим при помощи отрезка данную массу ягод:
  В.
  10 кг
  С.
  ?
  Запишем решение по действиям с пояснением:
  1)10:2 = 5 (кг) - столько килограммов ягод приходится на каждую часть;
  2) 5 • 3 = 15 (кг) - столько надо взять сахара.
  

• 34 слайд

  Вспомогательную модель к данной задаче можно было выполнить при помощи прямоугольников:
  ?
  10 кг
  
  Вишня Сахар
  
  Задача 2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
  Решение. В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. В одной пачке тетрадей на 10 больше, чем во второй. Требуется узнать, сколько тетрадей было в каждой пачке.
  I
  ?
  70 т.
  II
  ?
  10 т.
  

• 35 слайд

  Запишем решение задачи по действиям с пояснением
  1) 70 - 10 = 60 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну - столько, сколько во второй пачке.
  2) 60 : 2 = 30 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько тетрадей было во второй пачке.
  3) 30 + 10 = 40 (тетр.) - столько тетрадей было в первой пачке.
  
  Ответ: 30 и 40 тетрадей
  
  
  
  Второй способ решения данной задачи:
  1) 70 + 10 = 80 (тетр.)
  2) 80 : 2 = 40 (тетр.)
  3) 40 - 10 = 30 (тетр.)
  Третий арифметический способ:
  1) 10 : 2 = 5 (тетр.) - столько тетрадей надо переложить из первой пачки во вторую, чтобы в них тетрадей стало поровну.
  2) 70 : 2 = 35 (тетр.) - столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить во вторую 5 тетрадей.
  3) 35 + 5 = 40 (тетр.) - столько тетрадей в первой пачке.
  4) 35 - 5 = 30 (тетр.) - столько тетрадей во второй пачке.
  

• 36 слайд

  Задача 3. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
  
  Задача 4. В двух кусках ткани одинаковое количество материи. После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?
  Используя модели, решите задачи:
  а) В двух пакетах было 15 яблок. Когда из одного пакета взяли 3 яблока, в нём осталось в 2 раза меньше яблок, чем в другом. Сколько яблок было в каждом пакете?
  б) В трех пакетах лежит 20 яблок, причем в одном пакете их в 2 раза меньше, чем в каждом из двух других. Сколько яблок в каждом пакете?
  в) У двух мальчиков было 8 яблок. Когда один съел одно яблоко, а другой - 3 яблока, у них осталось яблок поровну. Сколько яблок было у каждого?
  
  
  
  

• 37 слайд

  Решение задач на движение
  Движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (S), скорость (v), время (t); основное отношение (зависимость) между ними:
  S = v  t
  1. Задачи на встречное движение двух тел
  Пусть движение первого тела характеризуется величинами S 1 , v 1 , t 1 ; движение второго S 2 , v 2 , t 2 . Такое движение можно представить на схематическом чертеже:
  v 1 v2
  t 1 t 2
  А S 1 t встр S 2 В
  ?
  Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t 1 = t 2 = t встр.
  

• 38 слайд

  Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. v сбл. = v 1 + v 2 .
  Всё расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: S = v сбл. ∙ t встр .
  
  Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?
  18
  ?
  ?
  одинаковое
  1) 5 + 4 = 9 (км/ч)
  2) 18 : 9 = 2(ч)
  
  Ответ: 2 часа
  
  
  

• 39 слайд

  Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 часов встретились. Один из них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.
  Запишем решение задачи по действиям с пояснением:
  1) 600 : 5 = 120 (км/ч) - это скорость сближения автомобилей.
  2) 120 - 16 = 104 (км/ч) - это скорость сближения, если бы скорости автомобилей были одинаковыми и равными скорости первого
  3) 104 : 2 = 52 (км/ч) - скорость первого автомобиля.
  4) 52 + 16 = 68 (км/ч) - скорость второго автомобиля.
  Ответ: 52 и 68 км/ч
  
  Есть и другие арифметические способы решения данной задачи:
  
  1) 600 : 5 = 120 (км/ч) 1) 16 ∙ 5 = 80 (км) 2) 120 + 16 = 136 (км/ч) 2) 600 - 80 = 520 (км) 3) 136 : 2 = 68 (км/ч) 3) 520 : 2 = 260 (км)
  4) 68 - 16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)
  5) 52+ 16 = 68 (км/ч)
  

• 40 слайд

  2. Задачи на движение двух тел в одном направлении
  Среди них следует различать два типа задач:
  1) движение начинается одновременно из разных пунктов;
  2) движение начинается в разное время из одного пункта.
  Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами S 1 , v 1 , t 1, а движение второго - S 2 , v 2 , t 2 .
  Такое движение можно представить на схематическом чертеже:
  А
  В
  S1
  v 1 v2
  
  t 1 t 2
  
  S S2
  Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v 1 > v 2
  Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние
  v 1 - v 2. Это расстояние называют скоростью сближения: v сбл. = v 1 - v 2.
  Расстояние S, представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:
  S= S 1 - S 2 и S = v сбл. ∙ t встр .
  

• 41 слайд

  
  Задача 3. Из двух пунктов, удалённых друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?
  Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж или таблица.
  
  50 км/ч 40 км/ч
  
  30 км
  t встр - ?
  Запишем решение задачи по действиям:
  1) 50 - 40 = 10 (км/ч) - скорость сближения мотоциклистов
  2) 30 : 10 = 3 (ч) - за это время первый мотоциклист догонит второго.
  Ответ: 3 часа
  
  

• 42 слайд

  3. Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
  В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки:
  а) одновременно; б) в разное время.
  А могут начинать своё движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.
  
  Общим теоретическим положением для них будет следующее:
  vудал. = v 1 + v 2, где v 1 и v 2 соответственно скорости первого и второго
  тел, а vудал. - это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.
  v 1 v2
  
  S1 S2
  А
  В
  t 1 t 2
  
  

• 43 слайд

  Задача 4. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?
  Вспомогательные модели могут быть такими схематический чертеж или таблица.
  
  60км/ч 70 км/ч
  3 ч 3 ч
  ?
  Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:
  1) 60 ∙ 3= 180 (км)
  2) 70 ∙ 3 = 210 (км)
  3) 180 + 210 = 390 (км)
  Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:
  1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов
  2) 130 ∙ 3 = 390 (км) -расстояние между поездами через 3 ч.
  

• 44 слайд

  Задача 5. От станции А отправился поезд со скоростью 60 км /ч.
  Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 часа после выхода второго поезда?
  60 км/ч 70 км/ч
  
  3 ч 2 ч 3 ч
  
  ?
  1 способ
  1) 2 + 3 = 5 (ч) - столько времени в пути был первый поезд.
  2) 60 ∙ 5 = 300 (км) - расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд.
  3) 70 ∙ 3 = 210 (км) - расстояние, которое прошел второй поезд.
  4) 300 + 210 = 510 (км) - расстояние между поездами.
  2 способ
  1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов.
  2) 130 ∙ 3 = 390 (км) - расстояние, на которое удалились поезда за 3 ч.
  3) 60 ∙ 2 = 120 (км) -расстояние, пройденное первым поездом за 2 ч.
  4) 390+ 120 = 510 (км) - расстояние между поездами.
  

• 45 слайд

  Упражнения
  
  1. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
  2. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, а другой подъем на движущихся лестницах метро, поравнялись через 30 с.
  Вычислите длину лестницы, если скорость ее движения 1 м/с.
  3.С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в секунду, а другой 6 м в секунду?
  4. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если один проходил в час на 16 км больше другого.
  5. Два теплохода отправились одновременно от пристани в одном и том же направлении. Скорость одного теплохода 25 км/ч другого 20 км/ч. Первый пришёл к конечной остановке на 4 ч раньше чем второй. Найдите расстояние между пристанью и конечной остановкой.
  
  
  

• 46 слайд

  4. Задачи на движение по реке
  При решении таких задач различают: собственную скорость движущегося тела, скорость течения реки, скорость движения тела по течению и скорость движения тела против течения.
  Зависимость между ними выражается формулами:
  vпо теч. = v соб + v теч.р.;
  vпр. теч. = v соб - v теч.р.;
  
  

• 47 слайд

  Задача 6. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двигается против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?
  1) 360 : 12 = 30 (км/ч) - скорость катера по течению реки.
  2) 360 : 15 = 24 (км/ч) - скорость катера против течения реки.
  3) 24 + 30 = 54 (км/ч) - удвоенная собственная скорость катера.
  4) 54 : 2 = 27 (км/ч) - собственная скорость катера
  135 : 27 = 5 (ч) - время, за которое проплывет катер 135 км.
  Ответ: 5 часов
  
  

• 48 слайд

  
  1. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Собственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки 2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км. Через сколько часов теплоходы встретятся?
  2. Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а скорость течения 2 км/ч?
  Упражнения (арифметическим методом)
  
  16 часов
  5 часов
  

• 49 слайд

  Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению.
  Найдите скорость течения весной (в км/ч).
  5 км/ч
  

• 50 слайд

  5. Задачи «на работу»
  (алгебраическим методом)
  А = p· t
  1. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если первый печник будет работать 2 часа, а второй 3 часа, то они выполнят только 20% всей работы.
  За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?
  1 печник – 20 часов; 2 печник – 30 часов
  2. Две машины, работая вместе, могут расчистить каток за 20 минут. Если первая машина будет работать 25 минут, а затем её сменит вторая, то она закончит расчистку катка через 16 минут.
  За сколько времени может расчистить каток каждая из машин, работая отдельно?
  1 машина – 45 мин; 2 машина – 36 минут
  

• 51 слайд

  Структура задачи
  
  Условие Требование
  Методы решения задачи
  
  
  Практичес- Арифмети- Алгебраи- Геометри- Логи-
  кий ческий ческий ческий ческий
  
  
  
  
  3 + 2 = 5 3 + х = 5 рассуждения
  Опорные конспекты к теме «Текстовые задачи»
  
  

• 52 слайд

  Структура задачи
  
  Условие Требование
  Методы решения задачи
  
  
  Практичес- Арифмети- Алгебраи- Геометри- Логи-
  кий ческий ческий ческий ческий
  
  
  
  
  3 + 2 = 5 3 + х = 5 рассуждения
  Опорные конспекты к теме «Текстовые задачи»