Презентация по физике на тему "Преобразования Лоренца"

• 1 слайд

  Преобразования Лоренца
  

• 2 слайд

  Общие сведения
  Преобразования Лоренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.
  Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры 𝑛−1, 1 находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).
  

• 3 слайд

  Преобразования Лоренца в математике
  Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).
  Определение
  Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства 𝐿 — это линейное преобразование 𝐴:𝐿→𝐿, сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов 𝑥, 𝑦∈𝐿 выполняется равенство 𝐴 𝑥 ,𝐴 𝑦 = 𝑥,𝑦 ,
  где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение 𝑥,𝑦 в псевдоевклидовом пространстве 𝐿.
  Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).
  Общие свойства
  Так как любое аффинное преобразование является композицией параллельного переноса (очевидным образом, сохраняющего расстояние между точками) и преобразования, имеющего неподвижную точку, то группа преобразований Лоренца аффинного пространства (группа Пуанкаре) получается из группы преобразований Лоренца векторного пространства (группа Лоренца) такой же размерности путём добавления к ней всевозможных параллельных переносов.
  Если в псевдоевклидовом векторном пространстве 𝐿 выбран некоторый базис 𝑒 1 ,…, 𝑒 𝑛 , то для индефинитного скалярного произведения 𝑥,𝑦 определена матрица Грама 𝐺. Тогда матрица 𝐴 преобразования Лоренца удовлетворяет соотношению
  𝐴 𝑇 𝐺𝐴=𝐺, ∗
  И обратно, любая матрица 𝐴, удовлетворяющая соотношению ∗ , является матрицей преобразования Лоренца. Всегда можно выбрать базис 𝑒 1 ,…, 𝑒 𝑛 таким образом, что индефинитное скалярное произведение имеет вид
  𝑥,𝑦 = 𝑥 1 𝑦 1 +…+ 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘 − 𝑥 𝑘+1 𝑦 𝑘+1 −…− 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 ,
  и в равенстве ∗ матрица 𝐺 ― диагональная с элементами 1 (первые 𝑘) и −1 (последние 𝑛−𝑘).
  

• 4 слайд

  Преобразования Лоренца в математике (продолжение)
  Явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости
  Лоренцевы преобразования псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, используя базис 𝑒,𝑔, состоящий из двух изотропных векторов:
  𝑒,𝑒 =0, 𝑔,𝑔 =0, 𝑒,𝑔 = 1 2 .
  Именно, в зависимости от знака определителя 𝐴 =±1, матрица преобразования в данном базисе имеет вид:
  𝐴= 𝑎 0 0 1/𝑎 <=> 𝐴 =+1, 𝐴= 0 𝑎 1/𝑎 0 <=> 𝐴 =−1, 𝑎≠0
  Знак числа 𝑎 определяет то, оставляет ли преобразование 𝐴 части светового конуса на месте 𝑎>0 , или меняет их местами 𝑎<0 .
  Другой часто встречающийся вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получается при выборе базиса, состоящего из векторов 𝑒 ′ =𝑒+𝑔 и 𝑔 ′ =𝑒−𝑔:
  𝑒 ′ , 𝑒 ′ =+1, 𝑔 ′ , 𝑔 ′ =−1, 𝑒 ′ , 𝑔 ′ =0.
  В базисе 𝑒 ′ , 𝑔 ′ матрица преобразования 𝐴 имеет одну из четырёх форм: chφ shφ shφ chφ , −ch𝜑 −sh𝜑 −sh𝜑 −ch𝜑 , −chφ −shφ shφ chφ , ch𝜑 sh𝜑 −sh𝜑 −ch𝜑 , 0
  где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
  

• 5 слайд

  Преобразования Лоренца в физике
  Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡 каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.
  Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.
  Преобразования Лоренца векторного пространства (т.е. без сдвигов начала отсчёта) образуют группу Лоренца, а преобразования Лоренца аффинного пространства (т.е. со сдвигами) — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.
  С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами, преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.
  Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.
  Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях
  Если ИСО 𝐾 ′ движется относительно ИСО 𝐾 с постоянной скоростью 𝑣 вдоль оси 𝑥, а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:
  𝑥 ′ = 𝑥−𝑣𝑡 1− 𝑣 2 𝑐 2 ,
  𝑦 ′ =𝑦,
  𝑧 ′ =𝑧,
  𝑡 ′ = 𝑡− 𝑣 𝑐 2 𝑥 1− 𝑣 2 𝑐 2 ,
  где 𝑐— скорость света, величины со штрихами измерены в системе 𝐾 ′ , без штрихов — в 𝐾.
  Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемая иногда бустом или
  

• 6 слайд

  Преобразования Лоренца в физике (продолжение)
  лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает, по сути, всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности, хотя и делает формулы более громоздкими.
  

• 7 слайд

  История
  Данный вид преобразований, по предложению А. Пуанкаре, назван в честь голландского физика Х. А. Лоренца, который в серии работ (1892, 1895, 1899 годы) опубликовал их приближённый вариант (с точностью до членов порядка 𝑣 2 𝑐 2 ). Позднее историки физики обнаружили, что эти преобразования были опубликованы независимо другими физиками:
  1.1887 год: В. Фогт, при исследовании эффекта Доплера.
  2.1897 год: Дж. Лармор, его целью было обнаружить преобразования, относительно которых уравнения Максвелла инвариантны.
  Лоренц исследовал связь параметров двух электромагнитных процессов, один из которых неподвижен относительно эфира, а другой движется.
  Современный вид формулам преобразования придали французский математик А. Пуанкаре (1900 год) и (параллельно и независимо) А. Эйнштейн (1905 год). Пуанкаре первым установил и детально изучил одно из самых важных свойств преобразований Лоренца — их групповую структуру, и показал, что «преобразования Лоренца представляют ничто иное как поворот в пространстве четырёх измерений, точки которого имеют координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑖𝑡 ». Пуанкаре ввёл термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца» и показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (то есть системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея.
  Эйнштейн в своей теории относительности (1905 год) распространил преобразования Лоренца на все физические (не только электромагнитные) процессы и указал, что все физические законы должны быть инвариантны относительно этих преобразований. Геометрическую четырёхмерную модель кинематики теории относительности, где преобразования Лоренца играют роль вращения координат, открыл Герман Минковский.
  В 1910 году В. С. Игнатовский первым попытался получить преобразование Лоренца на основе теории групп и без использования постулата о постоянстве скорости света.
  

• 8 слайд

  Литература
  Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
  Физическая энциклопедия, т. 2 — М.: Большая Российская Энциклопедия стр. 608 и стр. 609.
  Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.
  Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представление группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.
  Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит , 2009.
  

• 9 слайд

  Спасибо за внимание