Презентация по геометрии "Медиана и биссектриса в треугольнике"

• 1 слайд

  Теорема о биссектрисе и медиане треугольника
  

• 2 слайд

  Теорема о медиане
  В произвольном треугольнике ABC длину медианы CM можно выразить через длины сторон этого треугольника следующим образом:
  CM=1/2•√(2•AC² + 2•CB² - AB²)
  

• 3 слайд

  Теорема о медиане
  
  
  
  Дано:
  ABC
  CM – медиана ABC
  Доказать:
  
  C
  B
  A
  M
  CM=1/2•√(2•AC² + 2•CB² - AB²)
  

• 4 слайд

  Теорема о медиане
  
  
  
  1)Достроим ABC до параллелограмма ADBC
  CD – диагональ ADBC
  2)AB2+CD2=2AC2+2CB2 (по св-ву п/г)
  3)CD=2CM(т.к. СD-диаг. п/г по постр.)
  4)(2CM)2=2AC2+2CB2-2AB2
  C
  B
  A
  M
  D
  Доказательство:
  CM=1/2•√(2•AC² + 2•CB² - AB²)
  Ч.т.д!
  

• 5 слайд

  Задача
  Найдите длины отрезков, на которые делится медиана CM треугольника ABC точкой пересечения медиан O, если AC =√3, BC=2, AB=√5.
  

• 6 слайд

  Задача
  Дано:
  ABC
  CM – медиана ABC
  AC =√3 см, BC=2 см, AB=√5 см
  Найти: CO, OM
  
  A
  B
  C
  M
  O
  Решение:
  1)CM=1/2•√(2•AC² + 2•CB² - AB²)=1.5 см
  2)CO:OM=2/1 CO=1 см, OM= 0,5 см.
  Ответ: CO=1 см, OM= 0,5 см.
  
  

• 7 слайд

  Теорема о биссектрисе
  
  
  
  В произвольном треугольнике ABC длину биссектрисы CD можно выразить через длины сторон этого треугольника следующим образом:
  AD= 1/(AB+AC)√AB*AC*(AB+AC+BC)(AB+AC-BC)
  

• 8 слайд

  Дано:
  ABC
  CD – биссектриса ABC
  Доказать:
  Теорема о биссектрисе
  C
  B
  A
  D
  AD= 1/(AB+AC)√AB*AC*(AB+AC+BC)(AB+AC-BC)
  

• 9 слайд

  Теорема о биссектрисе
  C
  B
  A
  D
  Доказательство:
  1)CD/AC=BD/AB(по св-ву бисс-сы ) CD*AB=BD*AC
  2)CD+DB=CB(по акс. изм. отр.)
  3) (CB-BD)*AB=BD*AC BD=AB*CB/(AB+AC)
  (CB-CD)*AC=CD*AB CD=AC*CB/(AB+AC)
  
  
  

• 10 слайд

  4)BD2 =AD2+AB2-2AD*AB*cos BAD
  CD2=AD2+AC2-2AD*AC*cos CAD
  
  BD2-AD2-AB2=-2AD*AB*cos BAD
  CD2-AD2-AC2=-2AD*AC*cos CAD
  
  BD2-AD2-AB2 AB
  CD2-AD2-AC2 AC
  
  Теорема о биссектрисе
  C
  B
  A
  D
  Воспользуемся теоремой косинусов для треугольников ACD и ADB
  =
  

• 11 слайд

  Теорема о биссектрисе
  C
  B
  A
  D
  BD2AC-AD2AC-AB2AC=CD2AB-AD2AB-AC2AB
  CD2AB-BD2AC+AC*AB(AB-AC)
  AB-AC
  AD2=
  CD*AB=BD*AC(по док.)
  CD*BD*AC-BD*CD*AB+AC*AB(AB-AC)
  AB-AC
  AD2=
  

• 12 слайд

  Теорема о биссектрисе
  C
  B
  A
  D
  CD*BD*AC-BD*CD*AB+AC*AB(AB-AC)
  AB-AC
  AD2=
  -BD*CD*(AB-AC)+AC*AB(AB-AC)
  AB-AC
  AD2=
  AD2=AC*AB-BD*CD
  BD=AB*CB/(AB+AC) (по док.)
  CD=AC*CB/(AB+AC) (по док.)
  AB*AC*(AB+AC-BC)(AB+AC+BC)
  (AB+AC)2
  AD2=
  AD= 1/(AB+AC)*√AB*AC*(AB+AC+BC)(AB+AC-BC)
  Ч.т.д!
  

• 13 слайд

  Задача
  Найдите площадь квадрата, стороной которого является биссектриса AD треугольника ABC, где AC=2 см, AB=3 см, BC=4 см
  

• 14 слайд

  Задача
  
  
  
  Дано:
  ABC
  AD – биссектриса ABC
  AC=2 см, BC=3 см, AB=4 см
  DANH-квадрат
  Найти: S DANH
  Решение:
  
  C
  B
  A
  D
  N
  H
  AD= 1/(AB+AC)*√AB*AC*(AB+AC+BC)(AB+AC-BC)=3√18/5
  S DANH = DA2= 6.48 см2
  Ответ: 6.48 см2
  

• 15 слайд

  Спасибо за внимание