Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по геометрии "Многогранники"

Презентация по геометрии "Многогранники"

  • Математика

Документы в архиве:

5.74 МБ 10456_-__1-show0_PC1.avi
3.74 МБ многогранники.ppt

Название документа многогранники.ppt

Поделитесь материалом с коллегами:

Многогранники
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечн...
Многогранники выпуклые невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Тела Кеплера- Пу...
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоск...
Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от пл...
Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все...
Правильные многогранники Сколько же их существует?
Тетраэдр Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонни...
Октаэдр- Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме полу...
Икосаэдр Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертк...
Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360°...
Куб или правильный гексаэдр Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из...
Додекаэдр- Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина до...
Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому пр...
Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных мно...
Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр
Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.  ...
Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число...
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 ве...
Эти тела еще называют телами Платона Платон связал с этими телами формы атомо...
огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная   додека...
Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Дальне...
Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпукл...
Тела Архимеда
Тела Кеплера - Пуансо Среди невыпуклых однородных многогранников существуют а...
Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр
Многогранники в архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетск...
Многогранники в архитектуре Москвы Собор непорочного зачатия Девы Марии на ма...
Малый Ржевский пер. Новоарбатский замок Многогранники в архитектуре Москвы
Казанская церковь в Москве Многогранники в архитектуре Москвы
Александрийский маяк.     Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Сред...
Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основан...
Многогранники в искусстве Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбр...
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для...
Применения икосаэдров Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе»....
На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими ученик...
Чудо природы – кристаллы куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl...
Многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И п...
 Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их мнениях относительно формы...
Многогранники в химии
Строение молекулы метана .
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет однокл...
Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранник...
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и ха...
 ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»
Правильная форма алмаза.
Кубик Рубика- головоломка Обязательно попробуй!
Тестирование. А теперь проверьте свои знания по изученному материалу
1. Поверхность, составленная из четырех треугольников А) ТЕТРАЭДР С) КВАДРАТ...
2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое...
3. Многоугольник, из которого составлен многогранник А) СТОРОНА С) ГРАНЬ B) Р...
4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани А) ДИАГОНАЛ...
5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины А) ДИА...
6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольнико...
7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников А) КВАДРАТ С) КУБ B) ТЕТРАЭ...
8. Стихия тетраэдра А) ВОДА С) ЗЕМЛЯ B) ВОЗДУХ D) ОГОНЬ
9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам А) 8-МИ УГОЛЬНИК С) 4-Х УГОЛЬНИК B)...
Проверь себя. 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B
По горизонтали: 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдр...
1 из 62

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Многогранники
Описание слайда:

Многогранники

№ слайда 2
Описание слайда:

№ слайда 3 Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечн
Описание слайда:

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

№ слайда 4 Многогранники выпуклые невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Тела Кеплера- Пу
Описание слайда:

Многогранники выпуклые невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Тела Кеплера- Пуансо

№ слайда 5 Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоск
Описание слайда:

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

№ слайда 6 Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от пл
Описание слайда:

Невыпуклый многогранник – многогранник, расположенный по разные стороны от плоскости одной из его граней.

№ слайда 7 Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все
Описание слайда:

Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

№ слайда 8 Правильные многогранники Сколько же их существует?
Описание слайда:

Правильные многогранники Сколько же их существует?

№ слайда 9 Тетраэдр Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонни
Описание слайда:

Тетраэдр Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани.

№ слайда 10 Октаэдр- Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме полу
Описание слайда:

Октаэдр- Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Октаэдр-восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

№ слайда 11 Икосаэдр Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертк
Описание слайда:

Икосаэдр Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками

№ слайда 12 Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360°
Описание слайда:

Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

№ слайда 13 Куб или правильный гексаэдр Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из
Описание слайда:

Куб или правильный гексаэдр Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник. Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

№ слайда 14 Додекаэдр- Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина до
Описание слайда:

Додекаэдр- Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому останавливаемся. Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками.

№ слайда 15 Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому пр
Описание слайда:

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

№ слайда 16 Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных мно
Описание слайда:

Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» - 12

№ слайда 17 Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр
Описание слайда:

Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр

№ слайда 18 Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.  
Описание слайда:

Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.   Правильный многогранник   Число граней вершин рёбер   Тетраэдр     Куб     Октаэдр     Додекаэдр     Икосаэдр

№ слайда 19 Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число
Описание слайда:

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его рёбер и Г --- число граней. Тогда верно равенство В+Г=2+Р   Правильный многогранник   Число граней Г вершин В рёбер Р   Тетраэдр   4 4 6   Куб   6 8 12   Октаэдр   8 6 12   Додекаэдр   12 20 30   Икосаэдр 20 12 30

№ слайда 20 История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 ве
Описание слайда:

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Историческая справка Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

№ слайда 21 Эти тела еще называют телами Платона Платон связал с этими телами формы атомо
Описание слайда:

Эти тела еще называют телами Платона Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы.

№ слайда 22 огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная   додека
Описание слайда:

огонь тетраэдр вода икосаэдр воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная   додекаэдр

№ слайда 23 Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Дальне
Описание слайда:

Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Дальнейшее развитие математики связано с именами Платона, Евклида, Архимеда, Кеплера

№ слайда 24 Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпукл
Описание слайда:

Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

№ слайда 25 Тела Архимеда
Описание слайда:

Тела Архимеда

№ слайда 26 Тела Кеплера - Пуансо Среди невыпуклых однородных многогранников существуют а
Описание слайда:

Тела Кеплера - Пуансо Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо. Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

№ слайда 27 Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр
Описание слайда:

Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр

№ слайда 28 Многогранники в архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетск
Описание слайда:

Многогранники в архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности.   Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц.

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30 Многогранники в архитектуре Москвы Собор непорочного зачатия Девы Марии на ма
Описание слайда:

Многогранники в архитектуре Москвы Собор непорочного зачатия Девы Марии на малой Грузинской Исторический музей

№ слайда 31 Малый Ржевский пер. Новоарбатский замок Многогранники в архитектуре Москвы
Описание слайда:

Малый Ржевский пер. Новоарбатский замок Многогранники в архитектуре Москвы

№ слайда 32 Казанская церковь в Москве Многогранники в архитектуре Москвы
Описание слайда:

Казанская церковь в Москве Многогранники в архитектуре Москвы

№ слайда 33 Александрийский маяк.     Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Сред
Описание слайда:

Александрийский маяк.     Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

№ слайда 34 Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основан
Описание слайда:

Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

№ слайда 35 Многогранники в искусстве Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбр
Описание слайда:

Многогранники в искусстве Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия '‘ на переднем плане изобразил додекаэдр.  

№ слайда 36 Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для
Описание слайда:

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972)создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

№ слайда 37 Применения икосаэдров Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе».
Описание слайда:

Применения икосаэдров Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе». Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери.

№ слайда 38 На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими ученик
Описание слайда:

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.

№ слайда 39 Чудо природы – кристаллы куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl
Описание слайда:

Чудо природы – кристаллы куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сернокислый натрий - тетраэдр, бор - икосаэдр. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников:

№ слайда 40 Многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И п
Описание слайда:

Многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Кристалл сульфата меди II Кристалл алюмокалиевых квасцов Кристалл сульфата никеля II

№ слайда 41  Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека.
Описание слайда:

Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека.

№ слайда 42 Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их мнениях относительно формы
Описание слайда:

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их мнениях относительно формы вирусов. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра.

№ слайда 43 Многогранники в химии
Описание слайда:

Многогранники в химии

№ слайда 44 Строение молекулы метана .
Описание слайда:

Строение молекулы метана .

№ слайда 45 Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет однокл
Описание слайда:

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

№ слайда 46 Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранник
Описание слайда:

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.

№ слайда 47 Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и ха
Описание слайда:

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

№ слайда 48  ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»
Описание слайда:

ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»

№ слайда 49 Правильная форма алмаза.
Описание слайда:

Правильная форма алмаза.

№ слайда 50 Кубик Рубика- головоломка Обязательно попробуй!
Описание слайда:

Кубик Рубика- головоломка Обязательно попробуй!

№ слайда 51 Тестирование. А теперь проверьте свои знания по изученному материалу
Описание слайда:

Тестирование. А теперь проверьте свои знания по изученному материалу

№ слайда 52 1. Поверхность, составленная из четырех треугольников А) ТЕТРАЭДР С) КВАДРАТ
Описание слайда:

1. Поверхность, составленная из четырех треугольников А) ТЕТРАЭДР С) КВАДРАТ B) ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД D) ШАР

№ слайда 53 2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое
Описание слайда:

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничива- ющая некоторое геометрическое тело А) МНОГОУГОЛЬНИК С) ТРЕУГОЛЬНИК B) МНОГОГРАННИК D) КВАДРАТ

№ слайда 54 3. Многоугольник, из которого составлен многогранник А) СТОРОНА С) ГРАНЬ B) Р
Описание слайда:

3. Многоугольник, из которого составлен многогранник А) СТОРОНА С) ГРАНЬ B) РЕБРО D) ВЕРШИНА

№ слайда 55 4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани А) ДИАГОНАЛ
Описание слайда:

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани А) ДИАГОНАЛЬ С) ВЫСОТА B) МЕДИАНА D) АПОФЕМА

№ слайда 56 5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины А) ДИА
Описание слайда:

5. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины А) ДИАГОНАЛЬ С) КАТЕТ B) АПОФЕМА D) ГИПОТЕНУЗА

№ слайда 57 6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольнико
Описание слайда:

6. Этот правильный многогранник составлен из 8-ми равносторонних треугольников А) КВАДРАТ С) ДОДЕКАЭДР B) ТЕТРАЭДР D) ОКТАЭДР

№ слайда 58 7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников А) КВАДРАТ С) КУБ B) ТЕТРАЭ
Описание слайда:

7. Составлен из 6-ти правильных четырехугольников А) КВАДРАТ С) КУБ B) ТЕТРАЭДР D) ПИРАМИДА

№ слайда 59 8. Стихия тетраэдра А) ВОДА С) ЗЕМЛЯ B) ВОЗДУХ D) ОГОНЬ
Описание слайда:

8. Стихия тетраэдра А) ВОДА С) ЗЕМЛЯ B) ВОЗДУХ D) ОГОНЬ

№ слайда 60 9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам А) 8-МИ УГОЛЬНИК С) 4-Х УГОЛЬНИК B)
Описание слайда:

9. Многоугольник, подобный пчелиным сотам А) 8-МИ УГОЛЬНИК С) 4-Х УГОЛЬНИК B) 6-ТИ УГОЛЬНИК D) ТРЕУГОЛЬНИК

№ слайда 61 Проверь себя. 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B
Описание слайда:

Проверь себя. 1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B

№ слайда 62 По горизонтали: 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдр
Описание слайда:

По горизонтали: 1. Количество сходящихся ребер у октаэдра. 2. Грань додекаэдра. 3. Боковая грань усеченной пирамиды. 4. Правильный многогранник. По вертикали: 2. Граница многогранника. 5. Правильная треугольная пирамида. 6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. 1 2 2 3 4 6 5 ч е т ы р е п я т и у г о л ь н и к т р а п е ц и я о о к т а э д р о в е х н с т ь т т р э д р в с т а

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров313
Номер материала ДВ-435305
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх