Презентация по геометрии на тему "Геометрия (7 класс)"

• 1 слайд

  Геометрия на плоскости =
  = планиметрия
  Весь школьный курс. Подготовка к экзамену
  7 класс
  

• 2 слайд

  ОГЛАВЛЕНИЕ
  Простейшие геометрические фигуры и их свойства
  Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков
  Угол. Измерение углов
  Смежные и вертикальные углы
  Перпендикулярные прямые. Угол между пересекающимися прямыми. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой
  Примеры заданий
  Параллельные прямые
  Признаки параллельности прямых
  Свойства параллельных прямых
  Примеры заданий
  Треугольник
  Элементы треугольника. Равные треугольники
  Виды треугольников
  Признаки равенства треугольников
  Свойства равнобедренного треугольника
  Признаки равнобедренного треугольника
  Сумма углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника
  Неравенство треугольника. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
  Признаки равенства прямоугольных треугольников. Свойства прямоугольного треугольника
  Примеры заданий
  Элементы теории доказательств
  

• 3 слайд

  Понятия и условные обозначения:
  Теорема
  Обратная теорема
  Противоположная теорема
  Теорема, обратная противоположной
  Симметрия
  Транзитивность
   — следствие
  Элементы теории доказательств
  I
  

• 4 слайд

  Теоремы:
  «А  В» — данная теорема;
  «В  А» — обратная теорема;
  «не А  не В» — противоположная теорема;
  «не В  не А» —теорема, обратная противоположной
  Если из А следует В, то А достаточно для В, а В необходимо для А.
  Если из А следует В, а из В следует А, то А необходимо и достаточно для В.
  Элементы теории доказательств
  Для того чтобы целое число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
  !!! «Необходимо и достаточно» заменяется на «тогда и только тогда, когда».
  Целое число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
  

• 5 слайд

  Некоторые вопросы логики доказательств
  Определение 1. Если из истинности утверждения А следует истинность утверждения В, то такая логическая цепочка называется теоремой.
  Записывается это так:
  из (А — И) следует, что (В — И),
  или (А — И)  (В — И), где И ― истина.
  Пусть А — утверждение о том, что рассматриваемые углы вертикальны; В — утверждение о том, что рассматриваемые углы равны.
  Рассмотрим пример логической цепочки — «любые вертикальные углы равны». Это теорема.
  1
  2
   1 =  2, так как они являются вертикальными
  

• 6 слайд

  Некоторые вопросы логики доказательств
  Определение 2. Для верной логической цепочки (А — И)  (В — И) [теоремы] говорят, что истинность утверждения А достаточна для истинности утверждения В, а истинность утверждения В необходима для истинности утверждения А.
  

• 7 слайд

  Отношение обладает свойством симметрии, если из того, что А находится в данном отношении к В следует, что и В находится в данном отношении к А.
  Примеры СО:
  || и  прямых, = чисел и фигур
  Отношение обладает свойством транзитивности, если из того, что А находится в данном отношении с В, а В с С следует, что А и С находятся в данном отношении.
  Примеры ТО:
  = чисел,  фигур, </>, || несовпадающих прямых.
  Симметрия
  Транзитивность
  Элементы теории доказательств
  

• 8 слайд

  Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков
  Угол. Измерение углов
  Смежные и вертикальные углы
  Перпендикулярные прямые. Угол между пересекающимися прямыми. Расстояние от точки до прямой
  Примеры заданий
  Простейшие геометрические фигуры
  и их свойства
  II
  

• 9 слайд

  Определения, признаки и свойства геометрических фигур и отношений
  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ ИЛИ ОТНОШЕНИЯ
  (равенство, подобие, параллельность, перпендикулярность и др.)
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  включает в себя характеристические свойства фигуры
  ПРИЗНАК
  позволяет доказать, что рассматриваемые фигуры являются требуемыми или связаны необходимым соотношением (равенство, подобие и т. д.)
  СВОЙСТВА
  

• 10 слайд

  Понятия:
  Аксиома
  Точка. Внутренняя точка
  Прямая. Пересекающиеся, параллельные и совпадающие прямые
  Луч (полупрямая). Начало луча. Дополнительные лучи
  Отрезок. Конец отрезка. Равные отрезки. Единичный отрезок. Длина отрезка. Середина отрезка
  Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков
  Тема
  № 1
  

• 11 слайд

  Условные обозначения:
  ∩ — пересечение (есть только одна общая точка)
   — принадлежность
   — непринадлежность
  : или | — так, что … (такая, что …)
  ! — единственность
   — квантор существование
   — квантор для любого, для всех
  Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков
  Тема
  № 1
  

• 12 слайд

  И наука геометрия, и школьный предмет геометрия строятся на основе ряда принимаемых без доказательства свойств фигур, называемых аксиомами.
  ► Аксиома — бесспорная истина, очевидный факт, ясный сам по себе.
  Понятие аксиомы.
  

• 13 слайд

  Аксиомы планиметрии:
  1) Аксиомы принадлежности
  I1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
  
  
  I2. Через любые 2 точки можно провести прямую, и притом только одну.
  а
  А
  В
  А  а, В  а
   а  А, В: А  а, В  а
  С
  D
  b
  Через точки С и D проходит единственная прямая b.
   b ! : С  b, D  b
  

• 14 слайд

  Аксиомы планиметрии:
  2) Аксиомы взаимного расположения точек на прямой и на плоскости
  II1. Из 3-х точек на прямой одна и только одна лежит между 2-мя другими.
  
  
  II2. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на 2 полуплоскости.
  а
  А
  В
  С
  Точка В лежит между точками А и С
   а  А, В, С: А, В, С  а и AС = AВ + BC  В !
  А
  В
  С
  D
  М
  N
  α
  β
  а
  Прямая а разбивает плоскость на 2 полуплоскости α и β.
  Точки А и В лежат в разных полуплоскостях;
  С и D (или М и N) лежат в одной полуплоскости.
  

• 15 слайд

  3) Аксиомы измерения
  III1. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  
  III2. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
  Аксиомы планиметрии:
  А
  В
  а
  С
  АВ = а > 0, АВ = АС + СВ
  А
  В
  С
  О
  D
  180
  n
  ВОС = n > 0, СOD = 180, АОС = АОВ + ВОС
  

• 16 слайд

  Аксиомы планиметрии:
  4) Аксиомы откладывания
  IV1. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить единственный отрезок заданной длины.
  
  IV2. От любой полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить один угол с заданной градусной мерой, меньшей 180.
  
  
  А
  О
  m
  n
  α
  А
  С
  В
  отрезок ОА = m — единственный
  САВ = n — единственный
  0 < n < 180
  

• 17 слайд

  Аксиомы планиметрии:
  4) Аксиомы откладывания
  IV3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
  
  
  
  5) Аксиома параллельных
  V. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна прямая, параллельная данной.
  А
  С
  В
  В1
  С1
  А1
  Х
  х
  х´
    АВС   А1В1С1:  АВС =  А1В1С1
  Х  х   ! х´: Х  х´, х´ || х
  

• 18 слайд

  Прямая
  Прямую обозначают, указывая и называя две любые её точки. Так, прямую, обозначают одним из двух способов: AB или BA.
  Прямые также обозначают одной строчной латинской буквой (прямые m и n).
  
  m
  В
  А
  n
  

• 19 слайд

  Теорема (о пересекающихся прямых)
  Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися. Изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O.
  O  a
  O  b
   a ∩ b = O (единственная)
  
  Теорема
  ► Любые 2 пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
  a
  b
  O
  
  

• 20 слайд

  Понятие луча
  Проведём прямую AB и отметим на ней произвольную точку O. Эта точка разбивает прямую на две части. Каждую из этих частей вместе с точкой O называют лучом или полупрямой. Точку O называют началом луча.
  Луч обозначают, указывая две его точки: первой указывают начало луча, второй — любую другую точку, принадлежащую лучу. Так, луч с началом в точке O можно обозначить OM или ON.
  O
  А
  B
  O
  M
  N
  

• 21 слайд

  Понятие отрезка
  2 луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными. Например, лучи BC и BA — дополнительные.
  На рисунке изображена прямая a, проходящая через точки A и B. Эти точки ограничивают часть прямой a. Такую часть прямой вместе с точками A и B называют отрезком, а точки A и B — концами этого отрезка.
  А
  B
  C
  B
  А
  a
  

• 22 слайд

  Понятие отрезка
  Отрезок обозначают, указывая его концы. На рисунке изображён отрезок MN.
  
  Два отрезка называют равными, или совпадающими, если их можно совместить наложением.
  Каждый отрезок имеет определённую длину, и для её измерения надо выбрать единичный отрезок. В качестве единичного можно выбрать любой отрезок.
  Длина отрезка |АВ| — расстояние между его концами А и В.
  M
  N
  А
  В
  

• 23 слайд

  Измерение отрезков
  ► Если точка C является внутренней точкой отрезка AB, то отрезок AB равен сумме отрезков AC и CB, т. е.
  AB = AC + CB.
  А
  B
  C
  AB = AC + CB
  

• 24 слайд

  Измерение отрезков
  Точка С называется серединой отрезка АВ, если:
  С лежит между А и В,
  АС = СВ.
  Опираясь на известные аксиомы, определения и свойства, можно доказать важную теорему курса геометрии — неравенство треугольника.
  Теорема
  ► Для любых точек А, В и С, не принадлежащих одной прямой, расстояние АС меньше расстояния АВ и ВС, т.е. АС < АВ + ВС. Запись:  А, В, С  а  АС < АВ + ВС.
  

• 25 слайд

  Задание
  На прямой даны три точки O, P и M. Известно, что OM = 14 см, OP = 8 см, PM = 6 см. Лежит ли точка P между O и M? Может ли точка B принадлежать отрезку PM, если BM = 5 см, PB = 4 см? Объясните ответ.
  Решение:
  Точка P лежит между точками O и M, если OP + PM = = OM. Проверка этого условия: 8 см + 6 см = 14 см   P  OM .
  Точка B принадлежит отрезку PM, если точками P и M, т.е. PB + BM = PM. Проверим: 4 см + 5 см = 9 см, а по условию PM = 6 см  B  PM .
  

• 26 слайд

  Понятия:
  Линейный угол (угол). Стороны и вершина угла. Плоский угол
  Развёрнутый угол. Центральный угол
  Единичный угол. Градусная мера угла
  Равные углы
  Биссектриса угла
  Прямой, острый и тупой, нулевой и полный углы.
  
  Угол. Измерение углов
  Тема
  № 2
  

• 27 слайд

  Условные обозначения:
   — угол
  1 — один градус
  1 — одна минута
  1 — одна секунда
  Угол. Измерение углов
  Тема
  № 2
  

• 28 слайд

  ! Любой линейный угол АОВ определяет два плоских угла АОВ.
  Введение угла
  Линейный угол (угол) — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), исходящими из одной точки (вершины угла). Пространство между двумя лучами — угол.
  Плоский угол — каждая из частей плоскости, на которые линейный угол делит эту плоскость (вместе с самим углом): АОВ = ВОА = О.
  
  

• 29 слайд

  Элементы треугольника. Равные треугольники
  Виды треугольников
  Признаки равенства треугольников
  Свойства произвольного треугольника
  Неравенство треугольника. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника
  Примеры заданий
  Треугольник
  III
  

• 30 слайд

  Понятия:
  Треугольник. Вершины и стороны треугольника
  Периметр
  Равные (конгруэнтные) треугольники
  Углы и сумма углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника
  Высота, биссектриса, медиана, средняя линия и серединный перпендикуляр треугольника
  Элементы треугольника. Равные треугольники
  Тема
  № 1
  

• 31 слайд

  Условные обозначения:
   — треугольник
  P — периметр
   — неравенство (читают: «не равно»)
   — равносильность (читают: «равносильно»)
  Элементы треугольника. Равные треугольники
  Тема
  № 1
  

• 32 слайд

  Знакомство с треугольником
  Треугольник — многоугольник с 3-мя сторонами или замкнутая ломаная линия из 3-х звеньев.
  Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из 3-х точек, не лежащих на одной прямой, и 3-х отрезков, попарно соединяющих эти точки.
  У треугольника три стороны и три внутренних угла. Точку пересечения двух сторон треугольника называют вершиной.
  Элементы треугольника — стороны, вершины и др.
  

• 33 слайд

  Углы треугольника. Внешний угол
  Угол  АВС при вершине А — угол, образованный лучами АВ и АС.
  Внешний угол треугольника при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при данной вершине.
  Угол
  Внешний угол
  А
  С
  В
  

• 34 слайд

  Периметр. Равные треугольники
  Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон:
  РАВС = АВ + ВС + АС,
  РА1В1С1 = А1В1 + В1С1 + А1С1.
  Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением:
   АВС =  А1В1С1.
  ! Порядок записи вершин в обозначении равных треугольников имеет значение!
  А
  В
  С
  А1
  В1
  С1
  

• 35 слайд

  Следствия:
  ! В равных треугольниках соответствующие стороны и углы равны:  АВС =  RQP 
  А = R, В = Q, С = P, АВ = RQ, BC = QP, AC = RP.
  
  А
  В
  С
  P
  Q
  R
  Сходственные (соответствующие) элементы равных треугольников равны.
  

• 36 слайд

  Высота, биссектриса и медиана
  Отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.
  А
  С1
  В1
  С
  В
  

• 37 слайд

  Терминология:
  Треугольник
  Остроугольный
  Прямоугольный. Гипотенуза и катеты
  Тупоугольный
  Разносторонний (произвольный)
  Равнобедренный. Боковые (равные) стороны, основание и вершина
  Равносторонний (правильный)
  Виды треугольников
  Тема
  № 2
  

• 38 слайд

  Треугольники классифицируют по сторонам, а также по углам.
  60
  45
  a
  b
  c
  c
  c
  c
  c
  c
  c
  a
  a
  a
  a
  a
  a
  b
  b
  b
  b
  b
  b
  

• 39 слайд

  Прямоугольный треугольник
  Сторона, противолежащая прямому углу.
  Стороны, прилежащие к прямому углу.
  
  Гипотенуза
  Катеты
  c
  b
  a
  катеты
  гипотенуза
  

• 40 слайд

  Формулы:
  Свойства произвольного треугольника
  Тема
  № 3
  

• 41 слайд

  Дано:  АВС
  Док-ть, что
  А + В + С = 180
  
  Док-во:
  1) Проведём BD || АС.
  2) DBC = ACВ (как внутр. накр. леж. при АС || BD и сек. ВС)  AВC + ACВ = AВC + DBC = АBD.
  3) CAВ + АBD = 180 (внутр. одностор. при АС || BD и сек. АВ)  CAВ + AВC + ACВ = 180. Ч. т. д..
  Теорема: ► Сумма углов треугольника равна 180.
  
  А
  В
  С
  D
  

• 42 слайд

  Следствие
  Из теоремы о свойстве углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей и аксиомы измерения углов следует:
  ► У любого треугольника, по крайней мере, 2 угла острые.
  Действительно, если у треугольника меньше 2 острых углов, то у него есть, по крайней мере, 2 угла, каждый из которых либо прямой, либо тупой. Сумма этих 2-х углов не меньше 180. Следовательно, градусная мера третьего угла не больше 0, что противоречит аксиоме измерения углов.
  

• 43 слайд

  Теорема: ► Внешний угол треугольника равен сумме 2-х других, не смежных с ним.
  Дано:  АВС,
  АBD — внешний
  Док-ть, что
  АBD = CAВ + BАC
  Док-во:
  1) AВC + АBD = 180 (свойство смежных углов)  АBD = 180 ‒ AВC.
  2) AВC + ACВ + CВA = 180 (сумма углов )  CAВ + ВCA = 180 ‒ AВC  АBD = CAВ + ВCA.
  Внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
  Сумма 3-х внешних углов равна 360.
  А
  С
  В
  D
  

• 44 слайд

  Теорема:
  В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — бóльшая сторона, против равных углов — равные стороны.
  A > B  BC > AC
  C = B  AB = AC
  А
  В
  С
  

• 45 слайд

  Неравенство треугольника
  Каждая сторона треугольника меньше суммы 2-х других сторон.
  Из неравенства треугольника следует, что:
  1) если длина одного из трёх данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника;
  2) каждая сторона треугольника больше разности двух других его сторон;
  3) для любых трёх точек А, В и С выполняются неравенства
  AB  AC  CB;
  AC  AB  BC;
  BC  BA  AC.
  a
  b
  c
  a < b + c;
  b < a + c;
  c < a + b;
  
  a ‒ b < c < a + b,
  причём a > b
  А
  В
  С
  

• 46 слайд

  Знать:
  Периметр
  Биссектриса и медиана треугольника
  Признаки равенства треугольников
  Виды треугольников
  Сумма углов в треугольнике
  Свойства внешнего угла
  Неравенство треугольника
  Примеры заданий
  

• 47 слайд

  1. Сколько пар равных треугольников изображено на рисунке?
  2. Отрезок AD — медиана треугольника ABC, изображённого на рисунке. Чему равен периметр треугольника ABC? Ответ дайте в сантиметрах.
  В
  А
  С
  D
  6 см
  8 см
  12 см
  3. Укажите количество верных утверждений.
  1) если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны
  2) если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
  3) если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны
  4. Углы треугольника относятся как 4 : 5 : 9. Чему равна разность между наибольшим и наименьшим углами треугольника? Ответ дайте в градусах.
  

• 48 слайд

  5. Чему равна градусная мера угла АCВ, изображённого на рисунке, если DВА = 45?
  С
  А
  В
  165
  7. Какова градусная мера угла α, если β = 130, γ = 100?
  А
  В
  С
  α
  β
  γ
  8. Треугольник ABC, изображённый на рисунке, — прямоугольный равнобедренный. Лучи BD, BE, BF и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных углов. Какова градусная мера угла α, если известно, что β = 45?
  α
  β
  А
  В
  С
  D
  E
  F
  K
  6. В треугольнике ABC AB= 3 см, BC = 7 см. Какой может быть длина стороны AC?
  
  1) 3 см 3) 8 см 2) 4 см 4) 12 см
  D
  E
  

• 49 слайд

  9. Угол между биссектрисами AD и BD треугольника АВС в пять раз больше угла при вершине С. Чему равен угол при вершине С?
  А
  С
  В
  D
  5х
  х
  10. На рисунке изображены пять лучей с общим началом. Углы между соседними лучами известны. Сколько различных лучей окажется на картинке, если провести биссектрисы всех имеющихся углов?
  О
  30
  30
  20
  10
  11. Дан произвольный треугольник, в котором один из его углов в пять раз меньше суммы двух других, которые относятся друг к другу как 2:1. Найдите все углы этого треугольника.
  12. Радиус окружности с центром в точке О равен 8 см. Отрезок АВ пересекает окружность так, что точка А лежит вне окружности, точка В ― внутри окружности, АО = 13 см. Точка S принадлежит отрезку ОВ и находится между этими точками. Может ли а) отрезок АВ равняться 4 см; б) отрезок АS равняться 6 см?
  

• 50 слайд

  Площади фигур
  Понятие площади
  Площадь прямоугольника
  Площадь параллелограмма
  Площадь трапеции
  Площадь круга
  Площадь треугольника
  Примеры заданий
  
  Тема
  № 3