Презентация по геометрии на тему "История тригонометрии" - 8 класс

Выберите документ из архива для просмотра:

История математики на первых уроках тригонометрии(1).pdf История тригонометрии.ppt PYRAMID2.AVI

Выбранный для просмотра документ История математики на первых уроках тригонометрии(1).pdf

История математики на первых уроках

тригонометрии

И ИсторияИ Историяс с _тт _оо _рр _ии _яя (При поддержке компьютерной тригонометриитригонометрии программой PowerPoint)

т р _{и г о н о м е т р и и}т р и г о н о м е т р и и

Пояснительная записка

С тригонометрическими понятиями учащиеся средней школы впервые знакомятся в курсе планиметрии. На этом этапе учитель вводит тригонометрические соотношения и дает им названия: «синус», «косинус» и т.д., учащиеся выводят значения функций основных углов и далее отрабатывают тему «Решение треугольников».

При изучении любой учебной темы учителя волнует мотивация обучения, а точнее, мотивация учебной деятельности учащихся. Мотивация начинается тогда, когда учитель пытается объяснить, как возникло то или иное математическое понятие, как открыли математический факт, какие задачи практики привели к их появлению, какой путь прошло человечество, прежде чем формулировка изучаемого понятия стала современной. Говоря проще, учителю надо ответить на стандартный детский вопрос: «Кто впервые придумал рассматривать изучаемое математическое понятие и зачем?».

Готовя данный урок, я сделала попытку, привлекая историкоматематические сведения, заинтересовать учащихся на этапе первого знакомства с тригонометрическим знанием.

Итак, впервые тригонометрические соотношения вводятся в курсе геометрии следующим образом. Рассматривается прямоугольный треугольник, и на уровне определений утверждается:

sin__противолежащий катет , cos__прилежащий катет ,

гипотенуза гипотенуза

tg_ противолежащий катет , ctg_ прилежащий катет

прилежащий катет противолежащий катет (*)

Представленные определения и используемая для них символика являются необычными и сложными для учащихся, поэтому понимание учебного материала во многом зависит от иллюстрации глубинной сущности понятий, а для этого полезно обратиться к истории математики.

В первую очередь нас будут интересовать вопросы: «Откуда появилась необходимость рассматривать представленные выше соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».

Ход урока.

«Откуда появилась необходимость рассматривать представленные на пошлом уроке соотношения сторон прямоугольного треугольника?» и «Как появилась символика, используемая в определениях (*)?».

Ключ к отгадке надо искать в практической деятельности людей, причем речь идет о временах настолько далеких (может второе тысячелетие до н.э., а может и ранее), что никакими письменными свидетельствами, позволяющими дать однозначный ответ, мы не располагаем. Поэтому позволим себе высказать некоторые догадки.

В древние времена строительство сооружений велось

Гарпедонапты

примерно таким образом и такими Г Гарпедонаптыа _{р п е д о н а п т ы}

Г а р п е д о н а п т ы

средствами, как и сегодня строят nn ЛЛюдиЛЛюдию ю д д и и сспециальной профессии в Древнем сспециальной профессии в Древнем п п е е ц ц и и а а л л ь ь н н о о й й п п р р о о ф ф е е с с с с и и и и в в Д Д р р е е в в н н е е м м

небольшие дома и подсобные ЕЕгипте ЕЕгипте г г и и п п т т е е –– ннатягиватели верѐвки.ннатягиватели верѐвки.а а т т я я г г и и в в а а т т е е л л и и в в е е р р ѐ ѐ в в к к и и . .

помещения. При этом строители используют нехитрые инструменты: веревку, отвес, колышки и пр. Между прочим, в Древнем Египте сущест-

вовали люди специальной

профессии, которых называли гарпедонапты, что значит, натягиватели веревки. С них начиналось любое строительство. А зачем нужна веревка строителям? Чтобы ровно в линию выкладывать кирпичи или камни.

Вслушайтесь в слова «линия» и «лен». Действительно, откроем этимологический словарь:

Линия. Через посредство немецкого языка заимствовано в начале XVIII в.

Линия из латыни. Лат. linea — «нитка» — Л Линияи н _{и я =}== лѐн лѐнл _{ѐ н}

Л _ин и я = л ѐ н

производное от linum — «лен». Еще nn ЛЛИНИЯЛЛИНИЯИ И Н Н И И Я Я

веревка нужна для того, чтобы (((ЧЧерез посредство немецкого языка Через посредство немецкого языка е р е з п о с р е д с т в о н е м е ц к о г о я з ы к а

( Ч е р е з п о с р е д с т в о н е м е ц к о г о я з ы к а

заимствовано в начале 18 века из з а и м с т в о в а н о в н а ч а л е 1 8 в е к а и з

получить прямой угол, например в златыни.) заимствовано в начале 18 века из латыни.) а и м с т в о в а н о в н а ч а л е 1 8 в е к а и з

л а т ы н и . ) л а т ы н и . )

целях строительства привычного для nnLinea (Linea (ллат.) ллат.) а а т т . . ) ) –– ««нитка» ««нитка» н н и и т т к к а а » » –– ппроизводное от ппроизводное от р р о о и и з з в в о о д д н н о о е е о о т т нас четырехугольного дома. Ведь Linum Linum –– ««лѐн».«лѐн».л _{ѐ н » .}

« л ѐ н » .

такой дом построить легче всего. А строительство домов иных форм и сейчас является трудной архитектурной задачей.

Вы уже знаете, что одним из важнейших изобретений человечества было изобретение колеса. А почему? Да потому, что в природе колеса нет. Колесо - это именно человеческое изобретение. Теперь другой вопрос: а есть ли в природе прямой угол? Примеры привести можно (ветка, растущая перпендикулярно стволу дерева; само дерево, растущее перпендикулярно к земле и т.п.), но вряд ли перечисленное годится для того, чтобы создать шаблон прямого угла.

ЕЕгипетскийЕгипетскийг _{и п е т с к и й т}треугольниктреугольникр _{е у г о л ь н и к}

Е г и п е т с к и й т р е у г о л ь н и к

ВВВддревнем Египте древнем Египте р е в н е м Е г и п т е

В д р е в н е м Е г и п т е

ззаметили, что если на заметили, что если на а м е т и л и , ч т о е с л и н а

з а м е т и л и , ч т о е с л и н а

вверѐвке завязать узелки верѐвке завязать узелки е р ѐ в к е з а в я з а т ь у з е л к и

в е р ѐ в к е з а в я з а т ь у з е л к и

нна равном расстоянии на равном расстоянии а р а в н о м р а с с т о я н и и

н а р а в н о м р а с с т о я н и и

ддруг от друга, и друг от друга, и р у г о т д р у г а , и

д р у г о т д р у г а , и

ннатянуть верѐвку так, натянуть верѐвку так, а т я н у т ь в е р ѐ в к у т а к ,

н а т я н у т ь в е р ѐ в к у т а к ,

ччтобы получился чтобы получился т о б ы п о л у ч и л с я

ч т о б ы п о л у ч и л с я

ттреугольник со треугольник со р е у г о л ь н и к с о

т р е у г о л ь н и к с о

ссторонами 3, 4, 5, то сторонами 3, 4, 5, то т о р о н а м и 3 , 4 , 5 , т о

с т о р о н а м и 3 , 4 , 5 , т о

уугол, лежащий против угол, лежащий против г о л , л е ж а щ и й п р о т и в

у г о л , л е ж а щ и й п р о т и в

ннаибольшей стороны, наибольшей стороны, а и б о л ь ш е й с т о р о н ы ,

н а и б о л ь ш е й с т о р о н ы ,

оокажется окажется к а ж е т с я ппрямымпрямымр я м ы м ..

о к а ж е т с я п р я м ы м

Издавна строители научились получать прямой угол с помощью веревки. В Древнем Египте заметили, что если на веревке завязать узелки на равном расстоянии друг от друга, и натянуть веревку так, чтобы, говоря современным языком, получался треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, лежащий против наибольшей стороны, окажется пря-

мым. С тех пор треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским.

Треугольник с кружками, обозначающими узлы, лучше всего поясняет суть дела. В Древнем Египте измерения были священным делом — уделом немногих образованных людей — жрецов.

Историю с натягиванием веревки ППрямоугольныйПрямоугольныйр _{я м о у г о л ь н ы й т}треугольниктреугольникр _{е у г о л ь н и к}

П р я м о у г о л ь н ы й т р е у г о л ь н и к продолжают еще несколько древних nnККАТЕТККАТЕТА А Т Т Е Е Т Т --

катет — значит «отвес», «отвес» « о т в е с »

терминов: « «отвес» о т в е с »

nnГГИПОТЕНУЗА ГГИПОТЕНУЗА И И П П О О Т Т Е Е Н Н У У З З А А ––

гипотенуза — «натянутая», а другой катет ««натянутая» «натянутая» н а т я н у т а я »

« н а т я н у т а я »

прямоугольного треугольника не назывался nnОО другом катете говорили как об ОО другом катете говорили как об д д р р у у г г о о м м к к а а т т е е т т е е

г о в о р и л и к а к о б г о в о р и л и к а к о б

ООСНОВАНИИОСНОВАНИИС Н О В А Н И И

О С Н О В А Н И И

катетом (т.е. отвесом), о нем говорили как об основании.

По натянутой веревке (другими словами, по гипотенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды.

Теперь мы подошли к главному вопросу: «Как объяснить строителям, по какому углу стачивать грань пирамиды?» (В Древнем Египте Пирамиду выкладывали из грубых крупных камней, и надо было ее отшлифовать или иным образом подкорректировать.) Один из способов: задать отношение высоты пирамиды к апофеме, или, если говорить о плоскости, задать отношение катета-отвеса к гипотенузе. Вот и получается _{Видеофрагмент}

прообраз косинуса угла стачивания. А когда задавались другие отношения

— отношение катета-

основания к катету-отвесу или отношение катета-основания к гипотенузе - это были прообразы понятий тангенса и синуса угла. В самом деле, задавать указанные отношения сторон прямоугольного треугольника

очень удобно. Так, если на макете пирамиды определить отношение высоты пирамиды к ее апофеме как 2:3, то и для самой пирамиды это отношение сохранится, ведь большая пирамида есть подобие маленькой (макета пирамиды). Теперь вы понимаете: рассматривать отношения длин сторон прямоугольного треугольника очень удобно, так как для всех подобных прямоугольных треугольников эти отношения сохраняются (у подобных треугольников углы равны, а, значит, равны и тригонометрические функции углов). Судя по всему, на идею подобных фигур люди обратили внимание достаточно давно. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которых на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров (своего рода «палетка»).

В дальнейшем геометрические знания накапливались, а тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках стали все чаще использоваться для решения таких задач практики, как нахождение расстояний до недоступных объектов. Приведем несколько примеров.

Легенда гласит, что Фалес (философ и математик) привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени. Догадка Фалеса заключалась в том, что в течение дня бывает момент, когда длина тени каждого предмета равна высоте самого этого предмета. Он дождался момента, когда длина его

тени стала равна его росту, и тогда, измерив тень пирамиды, вычислил ее высоту.

Сформулируем другую не менее известную задачу:

Задача 1. Определить расстояние от корабля, находящегося в море, до берега.

Расскажите, как решил эту задачу Фалес?

Как другим способом можно решить эту же задачу?

Решение. Пусть корабль находится в

ООтОтт _бберега до корабляберега до корабляе _{р е г а
д о к о р а б л я}

О т б е р е г а д о к о р а б л я

_n_nППользуемсяПользуемсяо _{л ь з у е м с я}

П о л ь з у е м с я

ппризнаками признаками р _{и з н а к а м и}

п р и з н а к а м и

рравенства равенства а _{в е н с т в а}

р а в е н с т в а

ппрямоугольных прямоугольных р _{я м о у г о л ь н ы х}

п р я м о у г о л ь н ы х

ттреугольниковтреугольниковр _{е у г о л ь н и к о в}

т р е у г о л ь н и к о в

точке К, а наблюдатель — в точке А. Построим прямой угол с вершиной в точке А. Откладываем на берегу отрезок АС и делим его пополам точкой В. Затем из точки С передвигаемся по прямой m, перпендикулярной ВС, до тех пор, пока не дойдем до точки D, из которой

точки К и В видны лежащими на одной прямой. Отметим полученную точку как D. Прямоугольные треугольники BCD и ВАК равны, следовательно, AK=CD, а длину отрезка CD можно непосредственно измерить.

Решение задач о нахождении расстояний до недоступных объектов, а также задач на вычисление недоступных высот было одним из источников развития тригонометрического знания.

Приведу еще одну очень известную задачу. Ее текст можно найти в трактате китайского математика

_ККитайскийКитайскийи и _тт _аа _йй _сс _кк _ий мматематикмматематика а _тт _ее _мм _аа _тт _ии _кЛЛюЛюю _ХХуэйХуэйу _{э й}III в. Лю Хуэя «Математика

К и й к Л ю Х у э й морского острова». Несколько странное название трактата объясняется тем, что в нем решены различные задачи на определение расстояний до недоступных объектов, расположенных на острове, причем точка наблюдение находится вне его.

МатематикаММатематикаа т е м а т и к а морского островамморского островао р с к о г о о с т р о в а

Приведем одну из задач Лю Хуэя. М а _{т е м а т и к а м}о _{р с к о г о
о с т р о в а}

_n_nААвторААвторв в _тт _оо _рр ––

Задача 2. Наблюдают недоступный ккитайский китайский и _{т а й с к и й}

к и т а й с к и й

морской остров. Для этого установили мматематик Лю математик Лю а _{т е м а т и к
Л ю}

м а т е м а т и к Л ю

пару шестов MN и   KL одинаковой ХХуэй (3 век). Хуэй (3 век). у           _{э                                               й
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        (     3
        в        е       к     )    .}

Х у э й ( 3 в е к ) . высоты в 6 бу (6 шагов). Предыдущий

шест от последующего удален на 1000 _n_nККакова высота ККакова высота а а _кк _оо _вв _аа _вв _ыы _сс _оо _тт _аа

острова ?оострова ?с т р о в а ?

бу (МК). Пусть последующий шест (KL) о с _{т р о в а
?}

вместе с предыдущим (MN) находится на одной прямой с островом. Если отойти от предыдущего шеста по прямой на 123 бу (МР), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова (NРВ). Если отойти по прямой от последующего шеста на 127 бу (KQ), то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста также совпадающим с вершиной острова (LQB). Какова высота острова (АВ) и его удаленность от первого шеста (AM).

Решение. Рассмотрим две пары подобных треугольников АВР, MNP и ABQ, KLQ. В современных обозначениях запишем:

6 x+123  6 x+1127 

AB= , AB= (*)

123 127

где х = AM.

Приравнивая выражения для АВ, найдем х = 30750 (бу), АВ= 1506 (бу). Заметим, что в выражениях (*) отношение

6 6 6 6

и и есть значения тангенсов углов NPM и LQK, так

123 127 123 127

что в манипулировании с подобными треугольниками уже содержатся предпосылки к переходу к тригонометрическим понятиям. До сих пор мы рассматривали самую

глубинную предысторию зарождения Т ТРИГОНОМЕТРИЯТРИГОНОМЕТРИЯР _{И Г О Н О М Е Т Р И Я}

Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я

тригонометрического знания, но именно она -- иизмерение треугольникаиизмерение треугольниказ з _мм _ее _рр _ее _нн _ии _ее _тт _рр _ее _уу _гг _оо _лл _ьь _нн _ии _кк _аа

отразилась в самом слове «тригонометрия»,

nnТригономТ ТригономТ р р и и г г о о н н о о м м –– ««треугольник» ««треугольник» т т р р е е у у г г о о л л ь ь н н и и к к » »

которое буквально означает «измерение nnМетрейнМ МетрейнМ е е т т р р е е й й н н –– ««измерять»««измерять»и и з з м м е е р р я я т т ь ь » »

треугольника». Действительно, термин тригонометрия состоит из двух греческих слов: тригоном, что означает «треугольник» и метрейн, что означает «измерять».

Данный первичный исторический рассказ помогает объединить в сознании учащихся такие темы, как:

• знакомство с прямоугольным треугольником,

• теорема Пифагора,

• подобие треугольников,

• тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

И главное, у учащихся возникает желание посмотреть на эти темы как с исторической, так и с современной точек зрения, т.е. повышается интерес к изучению геометрии.

Теперь мы перейдем собственно к моменту, когда мы можем обратиться непосредственно к истории тригонометрии.

Итак, тригонометрия, как и всякая наука, вырастала из потребностей человеческой практики, но эти потребности не ограничивались, как мы упоминали выше, только лишь потребностями строительства или нахождения расстояний до недоступных объектов. Задачи мореплавания, требовавшие по звездам определять правильный курс корабля, задачи определения по звездам пути при движении караванов в пустыне, задачи земледелия, требовавшие введения точного календаря, и многие другие обусловили развитие астрономии, а с ней и тригонометрии. Причем сферическая тригонометрия развивалась наряду с плоской.

По сути, тригонометрия появилась в древности как один из разделов астрономии. Дело в том, что преобладающей гипотезой о строении Вселенной была геоцентрическая, согласно которой Земля есть шар, расположенный в центре небесной сферы, которая равномерно вращается вокруг своей оси. Светила считаются расположенными на этой сфере. При изучении их движения большое значение приобретают задачи о расположении точек и фигур на сфере. Работы, в которых подобные задачи решаются, получили название сферики. Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не играла лишь второстепенную роль по сравнению со сферической тригонометрией. У нее была своя область приложений: помимо решения задач на определение расстояний до недоступных объектов, она являлась частью практической астрономии — фигуры на сфере проектировались на плоскость горизонта, меридиана и т.д., и таким образом многие задачи сводились к плоским случаям.

Отдельные вопросы из тригонометрии уже успешно решали древнегреческие астрономы, однако они рассматривали хорды, а не синусы, косинусы и другие, как говорили в древности, линии. Если говорить точнее, то греческие астрономы рассматривали по сути только синус, вместо которого использовали хорду, равную удвоенной линии синуса половинной дуги.

ТТригонометрическиеТригонометрическиер _{и г о н о м е т р и ч е с к и е т}таблицы таблицыа _{б л и ц ы} Метод составления

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е т а б л и ц ы

ГГиппархаГиппархаи _{п п а р х а}тригонометрических таблиц состоял в

Г и п п а р х а

nn ССоставленыССоставленыо о с с т т а а в в л л е е н н ы ы вво 2 вво 2 о о 2 2 следующем. В основе всех построений

ввеке до нашей эры веке до нашей эры е к е д о н а ш е й э р ы

в е к е д о н а ш е й э р ы

(((ДДревняя Греция). Древняя Греция). р е в н я я Г р е ц и я ) . астрономов древности находится круг

( Д р е в н я я Г р е ц и я ) .

nn РРассматривалась РРассматривалась а а с с с с м м а а т т р р и и в в а а л л а а с с ь ь

ддлина хорды, длина хорды, л и н а х о р д ы , заданного диаметра. На нем

д л и н а х о р д ы ,

сстягивающей дугу, стягивающей дугу, т я г и в а ю щ е й д у г у ,

с т я г и в а ю щ е й д у г у , с о о т в е т с т в у ю щ у ю

ссоответствующую соответствующую о о т в е т с т в у ю щ у ю рассматривалась единственная

дданному данному а н н о м у

д а н н о м у

ццентральному углуцентральному углуе н т р а л ь н о м у у г л у тригонометрическая характеристика:

ц е н т р а л ь н о м у у г л у

длина хорды, стягивающей дугу,

соответствующую данному центральному углу. Задача состояла в составлении таблицы значений этой функции с наибольшей, по возможности, точностью и высокой частотой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются таблицами синусов.

Первые тригонометрические таблицы (таблицы хорд), которые положили начало вычислительной тригонометрии, составил еще во II в. до н.э. древнегреческий астроном Гиппарх.

ППтолемейПтолемейт                      _{о       л       е       м        е         й А}Александрийский (2 в.)Александрийский (2 в.)л     _{е         к    с      а        н    д        р            и                    й        с        к        и          й
                                                                                                            (        2
        в        .          )}

П т о л е м е й А л е к с а н д р и й с к и й ( 2 в . )

nn ГГреческийГреческийр е ч е с к и й аастроном и астроном и с т р о н о м и

Г р е ч е с к и й а с т р о н о м и

мматематик, автор математик, автор а т е м а т и к , а в т о р

м а т е м а т и к , а в т о р

ттруда «Альмагест».труда «Альмагест».р у д а « А л ь м а г е с т » .

т р у д а « А л ь м а г е с т » .

nn ССоставил таблицу длин Составил таблицу длин о с т а в и л т а б л и ц у д л и н

С о с т а в и л т а б л и ц у д л и н

ххорд окружности, хорд окружности, о р д о к р у ж н о с т и ,

х о р д о к р у ж н о с т и ,

ввычисленных с шагом вычисленных с шагом ы ч и с л е н н ы х с ш а г о м

в ы ч и с л е н н ы х с ш а г о м

000,,5 градуса с точностью ,5 градуса с точностью 5 г р а д у с а с т о ч н о с т ь ю

0 , 5 г р а д у с а с т о ч н о с т ь ю

ддо1/3600 единицыдо1/3600 единицыо 1 / 3 6 0 0 е д и н и ц ы

д о 1 / 3 6 0 0 е д и н и ц ы

Венцом же развития астрономии и тригонометрии в Древней Греции можно считать работу «Большое математическое построение

астрономии в 13 книгах» («Альмагест») знаменитого астронома Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии

изложены в первой книге «Альмагеста». Показывая, как вычислять хорды, Птолемей делил окружность на 360 частей (градусов). Он составил такую таблицу синусов (хорд), которая много веков была единственным пособием при решении задач о треугольниках.

ⁿn Н ⁿn Р

ⁿn И

ТТригонометрическиеТригонометрическиер _{и г о н о м е т р и ч е с к и е}

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ттаблицы синусовтаблицы синусова _{б л и ц ы
с и н у с о в}

т а б л и ц ы с и н у с о в

НачалоНачалоа ч а л л о о уучению полоучению полоч е н и ю п о л о --

Н а ч а у ч е н и ю п о л о

жжено в Индии (4жено в Индии (4е н о в И н д и и ( 4 --666 век) век) в е к )

ж е н о в И н д и и ( 4 6 в е к )

Рассматривали Рассматривали а с с м а т р и в а л и

Р а с с м а т р и в а л и

полухорды полухорды о л у х о р д ы –– ссинусы.синусы.и н у с ы .

п о л у х о р д ы с и н у с ы .

Им были известны: Им были известны: м б ы л и и з в е с т н ы :

И м б ы л и и з в е с т н ы :

nnООсновное Основное с н о в н о е

О с н о в н о е

ттригонометрическое тригонометрическое р и г о н о м е т р и ч е с к о е

т р и г о н о м е т р и ч е с к о е

ттождество; тождество; о ж д е с т в о ;

т о ж д е с т в о ;

nnФФормулы приведения. Формулы приведения. о р м у л ы п р и в е д е н и я .

Ф о р м у л ы п р и в е д е н и я .

Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV—VI вв. Индийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд). Им были известны также:

• основное тригонометрическое тождество,

• формулы приведения,

• формула синуса половинного угла.

Заметим, что греческое слово хорде, от которого происходит наш термин «хорда», буквально означает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые предложили рассматривать величину полухорды (синуса), которую называли архаджива, что буквально означает

ЛЛюбопытныйЛюбопытныйю _{б о п ы т н ы й к}курьезкурьезу _{р ь е з}

Л ю б о п ы т н ы й к у р ь е з

nХордаХ Хордао р д а (((ггреч.) греч.) р е ч . ) –– ««тетива лука», «тетива лука», т е т и в а л у к а » ,

Х о р д а ( г р е ч . ) « т е т и в а л у к а » ,

««струна». «струна». с т р у н а » .

« с т р у н а » .

nАрдхадживаА Ардхадживар д х а д ж и в а (((иинд.) инд.) н д . ) –– ««половина тетивы «половина тетивы п о л о в и н а т е т и в ы

А р д х а д ж и в а ( и н д . ) « п о л о в и н а т е т и в ы

ллука». Слово сократили лука». Слово сократили у к а » . С л о в о с о к р а т и л и ––джива д джива ж и в а

л у к а » . С л о в о с о к р а т и л и д ж и в а

nДжибаД Джибаж и б а ((ДжайбД Джайбж а й б ))–– ппоняли ученики арабы поняли ученики арабы о н я л и у ч е н и к и а р а б ы

Д ж и б а Д ж а й б п о н я л и у ч е н и к и а р а б ы

–– ««выпуклость», «пазуха» «выпуклость», «пазуха» в ы п у к л о с т ь » , « п а з у х а »

« в ы п у к л о с т ь » , « п а з у х а »

n 112122 век. « век. «в е к . « ДДжайбДжайбж а й б »» перевели на латынь » перевели на латынь п е р е в е л и н а л а т ы н ь --

1 2 в е к . « Д ж а й б » п е р е в е л и н а л а т ы н ь sinussinus

«половина тетивы лука», но потом стали называть джива, что значит «тетива лука».

Как по примеру индийских математиков не увидеть на рисунке лук с натянутой стрелой?

Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математические знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джиба, что созвучно арабскому слову джайб, которое дословно означает «пазуха».

Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригонометрии попало в Европу (Х-ХП вв.), где европейские ученые перевели его на латынь как «синус». Поскольку латинский язык считался общепризнанным научным языком в Европе, то термин «синус» нашел там широкое распространение и сохранился до настоящего времени. Кстати, этот термин применяется не только в математике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом.

Индийские ученые рассматривали линии синуса BD и косинуса OD (рис. 10) только для острого угла.

Интересно заметить, что европейские математики XII—XVI вв. часто называли синус sinus rectus (прямой синус), а радиус тригонометрической окружности sinus totus, т.е. весь (полный) синус. Слово «косинус» — это сокращение латинского выражения complementy sinus, т.е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги»; вспомните: cosα = sin(90° - α).

В IX—X вв. центр математических исследований, значит, и центр развития тригонометрического знания, переместился в Среднюю Азию, где трудами арабских математиков тригонометрия впервые выделилась из астрономии как самостоятельная наука. В

частности, ученые стран ислама

ТТангенсТангенса _{н г е н с и}и котангенси котангенс _{к о т а н г е н с}ввели новые тригонометрические

Т а н г е н с и к о т а н г е н с величины: тангенс и котангенс. В

_n_n99 --1101100 0 века. века. в в _ее _кк _аа _.. трактате «Плоские

_n_nЦЦентр развития ЦЦентр развития е е _нн _тт _рр _рр _аа _зз _вв _ии _тт _ии _яя четырехсторонники» ученого-

ттригонометрического знания тригонометрического знания р _{и г о н о м е т р и ч е с к о г о
з н а н и я}––

т р и г о н о м е т р и ч е с к о г о з н а н и я

ССредняя Азия. Средняя Азия. р _{е д н я я
А з и я .}энциклопедиста и государственного

С р е д н я я А з и я .

_n_nУУченые стран ислама ввели УУченые стран ислама ввели ч ч _ее _нн _ыы _ее _сс _тт _рр _аа _нн _ии _сс _лл _аа _мм _аа _вв _вв _ее _лл _ии деятеля XIII в. Насирэддина Туси

нновые тригонометрические новые тригонометрические о _{в ы е
т р и г о н о м е т р и ч е с к и е}плоская и сферическая тригоно-

н о в ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е

ввеличинывеличиные _{л и ч и н ы}

в е л и ч и н ы метрия выступают как самостоятельные предметы.

Для сравнения, в Европе тригонометрия достигла этого уровня, стала успешно развиваться и трактоваться как самостоятельная наука лишь в XV в., и начало этому было положено трудами немецкого астронома и математика, профессора Региомонтана.

ГГномоникаГномоникан _{о м о н и к а}

Г н о м о н и к а

nn-- (((уучение о солнечных часах) учение о солнечных часах) ч е н и е о с о л н е ч н ы х ч а с а х )

( у ч е н и е о с о л н е ч н ы х ч а с а х )

n ППрародительница понятий «тангенс» и Прародительница понятий «тангенс» и р а р о д и т е л ь н и ц а п о н я т и й « т а н г е н с » и

П р а р о д и т е л ь н и ц а п о н я т и й « т а н г е н с » и

««котангенс». «котангенс». к о т а н г е н с » .

« к о т а н г е н с » .

n ВВремя отсчитывалось по длине и Время отсчитывалось по длине и р е м я о т с ч и т ы в а л о с ь п о д л и н е и

В р е м я о т с ч и т ы в а л о с ь п о д л и н е и

ннаправлению тени, отбрасываемой направлению тени, отбрасываемой а п р а в л е н и ю т е н и , о т б р а с ы в а е м о й

н а п р а в л е н и ю т е н и , о т б р а с ы в а е м о й

шшестом шестом е с т о м

ш е с т о м

Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах - гномоники. Солнечные часы первоначально представляли собой шест, вертикально воткнутый в землю (греческое слово гномон — название этого шеста — означает «распознаватель»). Время отсчитывалось по длине и

направлению тени, отбрасыва-емой шестом. Один из современников алХорезми (IX в.) математик и астроном Ахмед ал-Мазави, названный

«Вычислитель» (ал-Хабаш, алХасиб), занимаясь гномоникой, констатировал, что отношение длины тени и к постоянной длине l гномона солнечных часов меняется в зависимости от высоты Солнца, измеряемой углом φ. Он принял l за 1 и составил таблицу значений теней (и), соответствующих значениям углов φ = 1°, 2°, 3°, ..., т.е. (в современной символике) u = l*ctg φ или (если учесть, что l = 1) и = ctg φ. Эта таблица дала возможность определять высоту Солнца по длине тени. Отношение длины тени к длине шеста определяет высоту солнца над горизонтом.

Определите и вы высоту солнца над горизонтом, пользуясь таблицей тангенсов.

Живший в конце X в. в Багдаде Абуль-Вафа в своей «Совершенной книге» — своем «Альмагесте» — вводил тригонометрические линии не через прямоугольный треугольник, а с помощью окружности, определяя, например, тангенс как отрезок касательной к окружности. В некоторых местах Абу-ль-Вафа принимал радиус окружности за единицу.

ННачинаяНачинаяа _{ч и н а я с}с 14 с 14 _{1 4}––1515

Н а ч и н а я с 1 4

ввека центр века центр е _{к а
ц е н т р}

в е к а ц е н т р

мматематических математических а _{т е м а т и ч е с к и х}

м а т е м а т и ч е с к и х

иисследований исследований с _{с л е д о в а н и й}

и с с л е д о в а н и й

пперемещается в перемещается в е _{р е м е щ а е т с я
в}

п е р е м е щ а е т с я в

ЕЕвропуЕвропув _{р о п у}

Е в р о п у

В XIII-XIV вв. при переводе арабских произведений на латинский язык новые тригонометрические функции котангенс и тангенс были названы umbra recta — прямая тень, и umbra versa — обратная тень. Известно, что линию тангенсов уже использовал в своих работах английский математик Томас Брадвардин (1290-1349).

Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок касательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком в связи с ролью этой линии на тригонометрической окружности. Термин «котангенс» образован по аналогии с термином «косинус», и встречается впервые в 1620 г. у английского ученого Эдмунта Гутера.

В Европе первое сочинение, в котором тригонометрия рассматривалась как самостоятельная математическая дисциплина, написал в 1462—1464 гг. немецкий математик и астроном Региомонтан. Он называл свой труд «Пять книг о треугольниках всех видов». В это время тригонометрия по-прежнему продолжала формироваться и развиваться под определяющим влиянием астрономии. В XV—XVI вв.

• усовершенствовались таблицы тригонометрических функций, которые были необходимы астрономам,

• разрабатывались все новые вычислительные приемы,

• рассматривались все более сложные задачи решения плоских и сферических треугольников,

• оттачивалась техника работы с тригонометрическими линиями.

В XVI в. французский математик

ФФрансуаФрансуар _{а н с у а В}ВиетВиети _{е т}

Ф р а н с у а В и е т

n ИИспользовалИспользовалс п о л ь з о в а л

И с п о л ь з о в а л

ттригонометрию для тригонометрию для р и г о н о м е т р и ю д л я

т р и г о н о м е т р и ю д л я

ррешения кубического решения кубического е ш е н и я к у б и ч е с к о г о

р е ш е н и я к у б и ч е с к о г о

ууравнения. уравнения. р а в н е н и я .

у р а в н е н и я .

n ППоложил начало Положил начало о л о ж и л н а ч а л о

П о л о ж и л н а ч а л о

ббуквенным буквенным у к в е н н ы м

б у к в е н н ы м

ообозначениям в обозначениям в б о з н а ч е н и я м в

о б о з н а ч е н и я м в

ттригонометрии. тригонометрии. р и г о н о м е т р и и .

т р и г о н о м е т р и и .

15401540 –– 1160316036 _{0 3} гг. гг. г _{г .}

1 6 0 3 г г .

Франсуа Виет (1540-1603)

использовал тригонометрию для решения кубического уравнения. В некоторых его результатах устанавливалась связь между тригонометрией и алгеброй. Кроме того, он положил начало буквенным обозначениям в тригонометрии.

Таким образом, на пороге XVII в. в

развитии тригонометрии наметилось новое направление — аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур, а учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то развитие нового (аналитического) направления привело к тому, что тригонометрия постепенно стала одной из глав математического анализа.

ⁿn У

ⁿn С

ⁿn П

ЛЛеонардЛеонарде _{о н а р д Э}ЭйлерЭйлерй _{л е р}

Л е о н а р д Э й л е р

УсовершенствовалУсовершенствовалс о в е р ш е н с т в о в а л

У с о в е р ш е н с т в о в а л

символику и символику и и м в о л и к у и

с и м в о л и к у и

содержание содержание о д е р ж а н и е

с о д е р ж а н и е

тригонометрии тригонометрии р и г о н о м е т р и и

т р и г о н о м е т р и и

Стал рассматривать Стал рассматривать т а л р а с с м а т р и в а т ь

С т а л р а с с м а т р и в а т ь

тригонометрию как тригонометрию как р и г о н о м е т р и ю к а к

т р и г о н о м е т р и ю к а к

науку о науку о а у к у о

н а у к у о

тригонометрических тригонометрических р и г о н о м е т р и ч е с к и х

т р и г о н о м е т р и ч е с к и х

функциях. функциях. у н к ц и я х .

ф у н к ц и я х .

Придал ей Придал ей р и д а л е й

П р и д а л е й

современный вид.современный вид.о о в в р р е е м е н н ы й в и д . (1707(1707 ––1783)1783)

с м е н н ы й в и д .

Начало этого преображения тригонометрии связано с именем знаменитого ученого много лет работавшего в Петербурге Леонарда Эйлера (1707—1783). Эйлер усовершенствовал как символику, так и содержание тригонометрии.

Перечислим некоторые его нововведения в этой области.

1. До Эйлера совсем редко рассматривались тригонометрические функции дуг, превышающих π. Лишь в его трудах разрабатывается учение о тригонометрических функциях любого аргумента и впервые ясно изложен вопрос о знаках тригонометрических функций в каждом квадранте.

2. В отличие от своих предшественников Эйлер исключил из своих формул R - целый синус (sinus totus), принимая R = 1 и упрощая таким образом записи и вычисления.

3. Понимая аргумент тригонометрической функции не только как угол или

дугу, а как любую числовую величину, Эйлер впервые стал систематически излагать тригонометрию аналитическим путем.

До него каждая тригонометрическая теорема доказывалась отдельно на основании соответствующего каждому случаю геометрического чертежа. Эйлер же выводил теоремы, исходя из небольшого числа основных соотношений.

4. Для обозначения тригонометрических функций Эйлер использовал символы sinx, cosx, tangx, cotx и т.д., а также ввел употребляемые поныне обозначения а, Ь, с для сторон и А, В, С для соответствующих противоположных углов треугольника ABC, что способствовало появлению единой символики в тригонометрии.

5. Эйлер стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях и придал ей современный вид.

Таким образом, именно имя Эйлера должен помнить учащийся, который учится работать с тригонометрической окружностью» выводит формулы тригонометрии, учится решать тригонометрические уравнения и неравенства, изучает свойства тригонометрических функций.

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть — учение о тригонометрических функциях - является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе. Другая же часть — решение треугольников - рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).

И вот мы снова подошли к основам современной тригонометрии. И, надеюсь, определения sin, cos, ^tg^, ^ctg^ и используемая для них символика уже не кажутся вам столь же непонятными и запутанными, как и несколько дней назад.

Литература

1.Власова И.Н., Малых А.Е. Очерки по истории элементарной геометрии. (Материалы для спецкурса по геометрии.) — Пермь, 1998.

2.Глейзер Г.И. История математики в школе: VII —VIII кл. — М.: Просвещение, 1982.

3.Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 1983.

4.Рыбников К.А. История математики: Учебник. – М.:Изд-во МГУ, 1994.

5.Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. — М.: Учпедгиз, 1960.

6.Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. –

Минск: Вышэйшая школа, 1978.

Скачать материал

Скачать материал "Презентация по геометрии на тему "История тригонометрии" - 8 класс"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Выбранный для просмотра документ История тригонометрии.ppt

Скачать материал

Скачать материал "Презентация по геометрии на тему "История тригонометрии" - 8 класс"

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

История тригонометрии
2 слайд

Гарпедонапты
Люди специальной профессии в Древнем Египте – натягиватели верёвки.
3 слайд

Линия = лён
ЛИНИЯ
(Через посредство немецкого языка заимствовано в начале 18 века из латыни.)
Linea (лат.) – «нитка» – производное от
Linum – «лён».
4 слайд

Египетский треугольник
В древнем Египте заметили, что если на верёвке завязать узелки на равном расстоянии друг от друга, и натянуть верёвку так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5, то угол, лежащий против наибольшей стороны, окажется прямым.
5 слайд

Прямоугольный треугольник
КАТЕТ - «отвес»
ГИПОТЕНУЗА – «натянутая»
О другом катете говорили как об ОСНОВАНИИ
6 слайд

По натянутой верёвке (по гипотенузе) можно проводить стачивание боковой грани строящейся пирамиды
7 слайд
8 слайд
9 слайд

Как Фалес посрамил гарпедонаптов
10 слайд

Фалес снова удивил
11 слайд

От берега до корабля
Пользуемся признаками равенства прямоугольных треугольников
12 слайд

Китайский математик Лю Хуэй
13 слайд

Математика морского острова
Автор – китайский математик Лю Хуэй (3 век).

Какова высота острова ?
14 слайд

ТРИГОНОМЕТРИЯ
- измерение треугольника

Тригоном – «треугольник»
Метрейн – «измерять»
15 слайд

Тригонометрические таблицы Гиппарха
Составлены во 2 веке до нашей эры (Древняя Греция).
Рассматривалась длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному центральному углу
16 слайд

Птолемей Александрийский (2 в н. э.)
Греческий астроном и математик, автор труда «Альмагест».
Составил таблицу длин хорд окружности, вычисленных с шагом 0,5 градуса с точностью до1/3600 единицы
17 слайд

Тригонометрические таблицы синусов
Начало учению поло-
жено в Индии (4-6 век)
Рассматривали полухорды – синусы.
Им были известны:
Основное тригонометрическое тождество;
Формулы приведения.
18 слайд

Любопытный курьез
Хорда (греч.) – «тетива лука», «струна».
Ардхаджива (инд.) – «половина тетивы лука». Слово сократили – джива
Джиба (Джайб) – поняли ученики арабы – «выпуклость», «пазуха»
12 век. «Джайб» перевели на латынь - sinus
19 слайд
20 слайд

Тангенс и котангенс
9 -10 века.
Центр развития тригонометрического знания – Средняя Азия.
Ученые стран ислама ввели новые тригонометрические величины
21 слайд

Гномоника
- (учение о солнечных часах)
Прародительница понятий «тангенс» и «котангенс».
Время отсчитывалось по длине и направлению тени, отбрасываемой шестом
22 слайд

Отношение длины тени (u) к постоянной длине гномона (l) солнечных часов меняется в зависимости от высоты солнца, измеряемой углом ( )
Появилась возможность измерять высоту Солнца по длине тени.
23 слайд

Задача
Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 метра имеет 6,5 метров длины. Какова в этот момент высота солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С ?
24 слайд

Начиная с 14 – 15 века центр математических исследований перемещается в Европу
25 слайд
26 слайд

Франсуа Виет
Использовал тригонометрию для решения кубического уравнения.
Положил начало буквенным обозначениям в тригонометрии.

1540 – 1603 гг.
27 слайд

Леонард Эйлер
Усовершенствовал символику и содержание тригонометрии
Стал рассматривать тригонометрию как науку о тригонометрических функциях.
Придал ей современный вид.
(1707 – 1783)
28 слайд

Тригонометрические соотношения

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 662 836 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Урок математики "Пирамида" (10 класс)

14.09.2015
1196
2

docx

Исследовательская работа по теме "Статистические методы обработки и представления данных выпускников КПК"

14.09.2015
2621
23

rar

Презентация по алгебре на тему "Степенная функция" (Урок-мастерская) - 9 класс

Рейтинг: 2 из 5

14.09.2015
3365
20

docx

Программа по выполнению самостоятельных и практических заданий по математике

14.09.2015
958
0

docx

Контрольно оценочные средства по математике

14.09.2015
1801
0

docx

Программа по математике профессии "Продавец, контролер-кассир"

14.09.2015
1207
2

pptx

Презентация к уроку по алгебре на тему "Определение числовой функции и способы её задания"

Рейтинг: 4 из 5

14.09.2015
1139
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 14.09.2015 3096
- RAR 22.8 мбайт
- 19 скачиваний
- Рейтинг: 5 из 5
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Курбатова Оксана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Курбатова Оксана Владимировна
- На сайте: 8 лет и 7 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 29415
- Всего материалов: 10