• 

  1 слайд

  Объемы тел
  

• 

  2 слайд

  Понятие объема
  Объем прямоугольного параллелепипеда
  Объем прямой призмы
  Объем цилиндра
  Объем наклонной призмы
  Объем пирамиды
  Объем конуса
  Содержание:
  

• 

  3 слайд

  Понятие объема
  За единицу измерения объемов примем куб, реб-ро которого равно единице измерения отрезков.
  
  Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром (см3). Аналогично определяются ку-бический метр (м3), кубичес-кий миллиметр (мм3) и т. д.
  При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положи-тельным числом, которое показывает, сколько еди-ниц измерения объемов и частей единицы содер-жится в данном теле.
  Понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из планиметрии известно, что каждый много-угольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбран-ной единицы площадей. Аналогично будем считать, что каждое из тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов.
  

• 

  4 слайд

  Свойства объемов
  Равные тела имеют равные объемы
  Два тела называются рав-ными, если их можно сов-местить наложением.
  
  
  
  
  
  V1 = V2
  Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел
  
  V = VQ + VF
  

• 

  5 слайд

  Объем прямоугольного параллелепипеда
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений
  V = abc
  

• 

  6 слайд

  Следствие 1
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
  
  Доказательство:
  Примем грань с ребрами а и b за основание. Тогда площадь основания равна ab, а высота h равна с. Следовательно, V = abc = Sh.
  V = Sh
  

• 

  7 слайд

  Следствие 2
  Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
  Доказательство:
  Достроим прямоугольную призму с основанием АВС до прямоугольного параллелепипеда. Объем этого параллелепипеда равен 2SABC∙h, где h – высота призмы. Плоскость ВВ1С разбивает параллелепипед на две равные призмы, одна из которых – данная. Следовательно, объем данной призмы V равен половине объема параллелепипеда, т. е. V=SABC ∙h
  V = SABCh
  

• 

  8 слайд

  Объем прямой призмы
  Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
  V = S∙h
  

• 

  9 слайд

  Доказательство
  1. Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1 с объемом V и высотой h. Проведем высоту ∆АВС, которая разделяет его на 2 треугольника. Плоскость DBВ1 разделяет данную призму на две, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ADB и BDC. Объемы этих призм равны SABD∙h и SBDC∙h. Следовательно,V=SABD∙h + SBDC∙h = =(SABD + SBDC) ∙ h = SABC∙h
  

• 

  10 слайд

  2. Докажем теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Ее можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом,
  V = Sh.
  
  

• 

  11 слайд

  Объем цилиндра
  Объем цилиндра равен площади основания на высоту.
  Доказательство:
  Уравнение прямой АВ: y = r.
  Вычислим объем цилиндра как тела вращения по
  
  формуле
  
  V = S∙h
  

• 

  12 слайд

  Объем наклонной призмы
  Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту
  V = Sh
  

• 

  13 слайд

  Доказательство:
  1. Рассмотрим треугольную призму с объемом V, площадью основания S и высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (x) – площадь получившегося сечения. Площадь S (x) равна площади основания призмы (т.к. ∆АВС = ∆А2В2С2). Применяя формулу для вычисления объемов тел, получаем
  
  

• 

  14 слайд

  2. Докажем теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Ее можно разбить на треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом, V = Sh.
  

• 

  15 слайд

  Объем пирамиды
  Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
  V = ⅓S∙h
  

• 

  16 слайд

  Доказательство:
  1. Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h. Проведем ось Ох и рассмотрим сечение А1В1С1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (x) – площадь получившегося сечения. S(x) : S = (x : h)2 (т.к. ∆АВС~∆А1В1С1). Следовательно, S(x) = Sx2/ h2. Применяя формулу для вычисления объемов тел, получаем
  
  

• 

  17 слайд

  2. Докажем теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S. Ее можно разбить на треугольные пирамиды с высотой h. Выразим объем каждой треугольной пирамиды через полученную формулу и сложим их. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных пирамид, т.е. площадь основания исходной призмы. Таким образом,
  V = ⅓Sh.
  

• 

  18 слайд

  Объем усеченной пирамиды
  Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле
  

• 

  19 слайд

  Объем конуса
  Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту
  
  V = ⅓S∙h
  

• 

  20 слайд

  Доказательство:
  Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введем ось Ох. Обозначим радиус сечения конуса произвольным кругом через R1, а его площадь через S(x). Т.к. ∆АОМ~∆А1ОМ1, то х:h = R1:R.
  Применяя основную формулу
  для вычисления объемов, получаем:
  

• 

  21 слайд

  Объем усеченного конуса
  Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле
  

Краткое описание материала