Презентация по геометрии на тему "Параллелепипед в прикладных задачах" (10 класс)

• 1 слайд

  муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа № 45
  Методическое пособие для учащихся 10 классов
  «Параллелепипед
  в прикладных задачах».
  Составил
  учитель математики
  высшей категории
  Гавинская Елена Вячеславовна.
  
  
  
  г.Калининград
  2016-2017 учебный год
  

• 2 слайд

  Цивилизация геометрии.
  Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, дорожные развязки и городские парки, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация - это Цивилизация Геометрии.
  

• 3 слайд

  Параллелепипед - поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов.
  
  Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию.
  
  
  Словарик.
  

• 4 слайд

  Словарик.
  Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник (ABCDE), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды.
  B
  C
  D
  A
  F
  E
  S
  O
  

• 5 слайд

  Проблема.
  У моих знакомых появился хомячок. Но обычные клетки, которые мы можем видеть в большом количестве на рынке, их не устраивают. Они бы хотели какую-нибудь оригинальную клетку. Поэтому я решила помочь им: построить двухэтажную клетку с домиком в виде четырёхугольной пирамиды, какой точно ни у кого не будет.
  Что же делать???
  

• 6 слайд

  Цель.
  Выяснить, сколько потребуется материалов, чтобы построить такую клетку, используя знания из курса геометрии.
  

• 7 слайд

  Геометрическая задача.
  Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с сечением KLMN, параллельным основанию, вырезом в сечении EFQT и вписанной в параллелепипед пирамидой LSPBC.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  P
  S
  E
  F
  T
  Q
  

• 8 слайд

  Практическая задача.
  Нам необходимо:
  выяснить, сколько проволоки понадобится, если на 1 м2 приходится 101 м проволоки;*
  найти количество пластмассы, необходимое для изготовления домика для хомячка;
  найти Sполной поверхности параллелепипеда.
  1см
  100 см
  100 см
  * Расстояние между прутиками примем за 1 см, тогда на 1 м2 потребуется 101 прутик, т.е. 10100 см проволоки.
  

• 9 слайд

  Построение сечения.
  А
  В
  С
  D
  A1
  B1
  D1
  C1
  K
  M
  L
  N
  Пусть точки K, L, M, лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, причем А1К=КА, В1L=LB, С1M=MC.
  Чтобы построить плоскость KLM, необходимо:
  соединить отрезками точки, принадлежащие одной грани, т.е. соединим точку K с точкой L, а точку L с точкой M.
  затем провести параллельные отрезки на противоположных гранях, т.е. проведём MN II KL и KN II LM.
  получим прямоугольное сечение KLMN.
  
  При построении сечения параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.
  
  
  
  

• 10 слайд

  
  
  Решение задачи.
  Дано: АВCDA1B1C1D1-прямоугольный параллелепипед, KLMN-сечение, (КLM) ll (ABC), EFQT-параллелограмм, LSPBC-вписанная пирамида; Окр.(О;r); r=5 см; А1К=КА, В1L=LB, С1M=MC, D1N=ND; AB=40 см; BC=20 см; BB1=50 см; AP=BP; DS=SC; EF=8 см, ET=5 cм; =300
  Найти: Sполн.параллелепипеда ; Sполн. LSPBC
  SKLMN - SEFQT
  
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  

• 11 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  Решение:
  S ABCDA1B1C1D1= 2SABCD + Sбок
  Но Sбок. = Pосн. × ВВ1 (т.к. АВCDA1B1C1D1 –
  прямоугольный параллелепипед, по
  условию, т.е. ВВ1- высота
  параллелепипеда), и Pосн. = (AB+BC) ×2 =>
  Pосн. = (40+20) × 2= 120 (см), значит,
  Sбок. = 120 × 50= 6000 (см2).
  Но SABCD= AB × BC (т.к. ABCD - прямоугольник);
  SABCD=40 × 20=800 (см2)
  Значит, Sполн.=2 × 800 + 6000 = =7600(см2)
  

• 12 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  2) AP=PB (по условию) =>PB=1/2 × AB=
  =20 (см).
  DS=SC (по условию) =>
  SC=1/2 × DC= 20 (см).
  PB=SC=20 (см).
  Но AB II DC (т.к. ABCD-параллелограмм),
  т.е. SC II PB.
  Получили:
  PB II SC PBCS – параллелограмм.
  PB = SC
  =>
  =>
  =>
  

• 13 слайд

  
  
  Решение задачи.
  3) PBCS – параллелограмм (доказали)
  Но AB BC (по условию) и PS=PB=SC=BC=20 (см)
  PBCS-квадрат
  Значит, Sполн. LSCBP.= Sбок. + Sосн. =
  = SLBP + SLBC +SLCS + SLSP + SPBCS.
  а)SLBP=1/2 × LB ×PB, но LB= 1/2 × BB1=25 cм, PB= 1/2 × AB=20 cм, т.е. SLBP=1/2 × 25 × 20 = 250 (см2)
  б) SLBC= 1/2 × LB × BC, т.е. SLBC= 1/2 × 25 × 20 = 250 (см2)
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  

• 14 слайд

  
  
  Решение задачи.
  4) В квадрате PBCS проведем диагональ BS.
  LB (ABC) (т.к. ABCDA1B1C1D1 –
  прямоугольный параллелепипед)
  BS (ABC)
  LB BS (по определению)
  в прямоугольном LBS по теореме Пифагора LS2 = LB2 + BS2, но в прямоугольном PBS (где SPB=
  =900 т.к. PBCS-квадрат, из доказанного) по теореме Пифагора
  BS2=SP2+PB2, т.е. BS2=202+202=
  =800 (cм2), значит, LS2=252+800=1425, т.е. LS 37,75(см)
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  

• 15 слайд

  
  
  6)а)В прямоугольном LBC
  (где LBС=900,т.к. LB (ABC) из доказанного ) по теореме Пифагора LC2 = LB2+BC2, т.е. LC2= 252+202=
  =1025 LC 32,02 (см)
  б)В прямоугольном LBP (где LBP=900, т.к. LB (ABC) из доказанного),
  по теореме Пифагора
  LP2= LB2+BP2, т.е. LP2=252+202=1025
  LP 32,02 (см)
  
  LC=LP
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  

• 16 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  7) В LSP и LSC :
  LS – общая
  SP=SC (т.к. PBCS-квадрат из доказанного)
  LP=LC (из доказанного)
  LSP = LSC (по трем сторонам), значит SLSP=SLSC
  8) SLSP =
  
  где p-полупериметр,p = ,
  p= 44,89 см, значит, SLSP=
  =
  315 см2, значит SLSP=SLSC 315(cм2)
  
  

• 17 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  9)
  Sполн. LSCBP.= Sбок. + Sосн. =
  = SLBP + SLBC +SLCS + SLSP + SPBCS.
  Т.к. SPBCS = PB2, т.к. PBCS – квадрат (из доказанного), т.е. SPBCS = 400 (cм2)
  Т.к. Sбок. =250+250+315+315=1130 (см2)
  Sполн. LSCBP= 400+1130 = 1530 (см2)
  10) Найдём площадь круга, ограниченного окружностью (О;r):
  Sкр. = r2, т.е. S = 3,14 × 52 = 78,5 (см2)
  
  11)Найдём площадь полной
  поверхности пирамиды без отверстия
  в ней :
  S = SLSCBP – Sкр = 1530 – 78,5 =
  = 1451,5 (см2)
  
  
  

• 18 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  12) SKLMN = KL × LM
  (т.к. KLMN – прямоугольник).
  Но KL = AB и LM = BC как расстояния между параллельными прямыми
  AA1II BB1 и BB1IICC1 соответственно, т.е. KL = 40 см, LM = 20 см.
  Значит, SKLMN = 40 × 20 = 800 (см2)
  13) Найдём площадь выреза EFQT в сечении :
  SEFQT = EF × ET × sin , т.е.
  SEFQT = 8 × 5 × sin300 = 40 × ½ = =20(см2)
  

• 19 слайд

  
  
  Решение задачи.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  P
  S
  
  14) Найдём площадь сечения без выреза :
  S = SKLMN – SEFQT = 800 – 20 = 780 (см2)
  

• 20 слайд

  сколько понадобится проволоки и пластмассы, чтобы сделать такую клетку.
  1) 7600+780+26=8406 (см2) - на такую площадь необходимо рассчитать количество проволоки.
  2) Т.к. на 1 м2 или на 10000 см2 необходимо 101 м или 10100 см проволоки, то на всю клетку, т.е. 8406 см2 потребуется:
  
  10000см2 – 10100 см
  
  8406 см2 - x см.
  Значит, x = = 8490,06 (см) или x 85 м.
  3)Т.к. SLPBCS = 1451,5 (см2), то на домик потребуется 1452 см2 пластмассы.
  Выясним:
  

• 21 слайд

  Т.к. прутики будут располагаться по поверхности параллелепипеда, площади сечения без выреза и по периметру выреза, то нам нужно рассчитать, сколько проволоки потребуется на такую площадь:
  7600+780+26=8406 (см2), где
  7600 см2 – площадь полной поверхности параллелепипеда;
  780 см2 – площадь сечения без выреза;
  26 см2 – периметр выреза в сечении.
  
  
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  K
  L
  M
  N
  E
  F
  Q
  T
  S
  P