Презентация по геометрии на тему "Параллелограмм Вариньона" 8 класс

• 1 слайд

  Презентация
  по теме
  «Параллелограмм Вариньона»
  Работа ученика 8 класса
  Щербинина Максима
  Руководитель:
  учитель математики - Токметова И.В.
  
  

• 2 слайд

  Пьер Вариньон (1654-1772 гг.) – французский математик и механик, член Французской АН (с 1688).
  Родился в Каенне.
  Изучал философию и математику.
  С 1688 – профессор математики в Коллеже Мазарини, с 1704 – в Коллеж де Франс.
  

• 3 слайд

  Основные работы относятся к геометрии и статике. Исходя из теории сложных движений сформулировал (ок. 1710) закон параллелограмма сил.
  Развил понятие момента сил и предложил геометрическое доказательство теоремы о том, что момент равнодействующей двух сходящихся сил равен сумме моментов составляющих сил (теорема Вариньона).
  Пьер Вариньон
  

• 4 слайд

  Пьер Вариньон
  Его трактат “Новая механика, или статика”, проект которого был опубликован в 1686, был издан посмертно в 1725.
  Установил (1687) теорему о скользящих векторах для случая сходящейся системы сил.
  Одним из первых начал пользоваться математическим анализом.
  Изучал равновесие и движение жидкости.
  Дал объяснение закона Торричелли, полагая, что вес колонны воды пропорционален высоте h, нашел выражение для закона Торричелли.
  
  

• 5 слайд

  Теорема Вариньона:
  
  Фигура, образованная путем последовательного соединения середин сторон четырехугольника, является параллелограммом, а его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
  
  
  Утверждение верно и для любой замкнутой четырехзвенной ломаной.
  A
  B
  C
  D
  K
  F
  M
  N
  

• 6 слайд

  Дано:
  произвольный выпуклый
  четырёхугольник АBCD,
  DL=AL,AM=BM, BN=CN, DK=CK,
  AC – диагональ;
  Доказать:
  теорему Вариньона
  LMNK - параллелограмм
  
  
  Подсказка:
  примените свойство средней линии треугольника.
  
  
  Теорема Вариньона:
  

• 7 слайд

  Доказательство:
  Рассмотрим ∆ACD: LK – средняя
  линия по определению, значит
  LK││AC и LK ½ AC;
  Рассмотрим ∆ABC: MN – средняя
  линия по определению, значит
  MN││AC и MN ½ AC;
  LK││AC, MN││AC => LK││MN;
  LK ½ AC, MN ½ AC => LK=MN;
  В четырёхугольнике LMNK LK││MN
  и LK=MN, значит
  LMNK - параллелограмм
  
  теорема доказана
  
  
  Теорема Вариньона:
  

• 8 слайд

  Применение теоремы Вариньона к доказательству некоторых утверждений
  
  
  Утверждение 1. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей в 2 раза больше суммы квадратов отрезков соединяющих середины противоположных сторон.
  A
  B
  C
  D
  K
  F
  M
  N
  Доказательство:
  

• 9 слайд

  Утверждение 2. Если отрезки соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.
  A
  B
  C
  D
  K
  F
  M
  N
  Доказательство:
  FMNK – прямоугольник
  KF||BD , FM||AC  BDAC.
  

• 10 слайд

  
  Утверждение 3. Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны.
  Доказательство:
  
  FNMK
  FMNK –ромб,
  FM=MN=NK=FK  AC=BD
  A
  B
  C
  D
  K
  F
  M
  N
  

• 11 слайд

  Утверждение 4. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
  Доказательство:
  
  AC=BD  FM=KN=MN=FK
  FMNK – ромб.
  A
  B
  C
  D
  F
  M
  N
  K
  

• 12 слайд

  Утверждение 6. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
  Доказательство:
  
  ACBD
  MN||AC, FK||AC , FM||DB, NK||DB
  FMNK – прямоугольник
  А
  B
  C
  D
  K
  N
  M
  F
  

• 13 слайд

  Утверждение 5. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
  Доказательство:
  
  BD=AC
  FM=KN=MN=FK
  FMNK – ромб.
  A
  B
  C
  D
  K
  F
  M
  N
  

• 14 слайд

  Результаты:
  Изучая теорему Пьера Вариньона я:
  узнал его биографию;
  познакомился с параллелограммом Вариньона;
  доказал теорему;
  Рассмотрел применение теоремы Вариньона к доказательству утверждений