Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по геометрии на тему "Понятие многогранника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по геометрии на тему "Понятие многогранника"

библиотека
материалов
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова...
Многогранники известны человеку еще с древних времен. Конечно, в то время их...
Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного ч...
В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключ...
Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединя...
Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим...
Простейшим из правильных многогранников является правильный тетраэдр, гранями...
Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равностор...
Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной...
Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один...
Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «те...
Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тыс...
И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия...
Естественно спросить, существуют ли, кроме платоновых тел ,другие правильные...
Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы о...
Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В...
Таблица правильных многогранников. Название Запись Шлефли N0 (число вершин) N...
Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом верш...
Более общо, пусть Р – многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Г...
Особые многогранники и их свойства. Теперь рассмотрим отдельные виды многогра...
Площадь боковой поверхности призмы: Sбок=PП ∙|A1A2| (PП – периметр перпендику...
Параллелепипед. Куб. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой...
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется п...
Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все гран...
Пирамида. Усеченная пирамида. Многогранник, одна из граней которого – произво...
Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный...
Возьмем произвольную пирамиду. Через точку на одном из боковых ребер , не сов...
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной...
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S=(1/2) ∙ (P+p) ∙...
Сечения многогранников.
Сечение тетраэдра плоскостью (NPK) 5.	Мы их соединяем и получаем многоугольни...
6.	Соединив их, получаем многоугольник ANBCK, который является сечением парал...
8.	Получаем, что эта прямая пересекла ребро в точке, лежащей в одной плоскост...
36 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова
Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10– 11 классов «Понятие многогранника». Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

№ слайда 2 Многогранники известны человеку еще с древних времен. Конечно, в то время их
Описание слайда:

Многогранники известны человеку еще с древних времен. Конечно, в то время их так еще не называли, но всё же. Египтяне строили свои пирамиды, греки – пантеоны. И все они даже не задумывались о том, что их постройки в примитиве есть не что иное, как простейшие многогранники. Уже намного позже люди поняли, что есть многогранники и как их применять. В наше же время многогранники прочно вошли в жизнь человека. Они видны повсюду: в архитектуре городов, дизайне мебели, формах автомобилей. Мы встречаем их повсеместно, а некоторые люди, например, архитекторы, строители, работают с многогранниками каждый день. Поэтому каждому человеку необходимо знать, что такое многогранники и как они применяются.

№ слайда 3 Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного ч
Описание слайда:

Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

№ слайда 4 В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключ
Описание слайда:

В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить из рассмотрения такие аномалии, как две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна и называется «внутренней». Другая, оставшаяся часть, называется внешней.

№ слайда 5 Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединя
Описание слайда:

Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1а, 1б, 1в и 1д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.

№ слайда 6 Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим
Описание слайда:

Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям: все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники , к каждой вершине примыкает одно и то же число граней . Если все грани – правильные p-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Простейшим из правильных многогранников является правильный тетраэдр, гранями
Описание слайда:

Простейшим из правильных многогранников является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) – прямая квадратная призма, все шесть граней которой – квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}.

№ слайда 9 Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равностор
Описание слайда:

Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}.

№ слайда 10 Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной
Описание слайда:

Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}.

№ слайда 11 Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один
Описание слайда:

Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один – правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.

№ слайда 12 Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «те
Описание слайда:

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной.

№ слайда 13 Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тыс
Описание слайда:

Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря. Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида. Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне.

№ слайда 14 И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия
Описание слайда:

И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

№ слайда 15 Естественно спросить, существуют ли, кроме платоновых тел ,другие правильные
Описание слайда:

Естественно спросить, существуют ли, кроме платоновых тел ,другие правильные многогранники ?Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р) или 180 (1 – 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство:

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы о
Описание слайда:

Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

№ слайда 18 Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В
Описание слайда:

Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны : N0 – число вершин, N1 – число ребер , N2 – число граней каждого многогранника.

№ слайда 19 Таблица правильных многогранников. Название Запись Шлефли N0 (число вершин) N
Описание слайда:

Таблица правильных многогранников. Название Запись Шлефли N0 (число вершин) N1 (число ребер) N2 (число граней) N0-N1+N2(Формула Эйлера) Тетраэдр {3, 3} 4 6 4 2 Куб {4, 3} 6 12 8 2 Октаэдр {3, 4} 8 12 6 2 Икосаэдр {3, 5} 12 30 20 2 Додекаэдр {5, 3} 20 30 12 2

№ слайда 20 Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом верш
Описание слайда:

Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом ребер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении Для классификации других многогранников используется обобщенная формула Эйлера. Если у некоторого многогранника 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, то его эйлерова характеристика равна 16 – 32 + 16 = 0. Это позволяет утверждать, что данный многогранник принадлежит классу многогранников, гомеоморфных тору. Отличительной особенностью этого класса является эйлерова характеристика, равная нулю. Формула Эйлера.Обобщенная формула Эйлера .

№ слайда 21 Более общо, пусть Р – многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Г
Описание слайда:

Более общо, пусть Р – многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Говорят, что данный многогранник гомеоморфен поверхности рода n в том и только в том случае, если Наконец, следует заметить, что ситуация существенно усложняется, если смягчить прежнее ограничение, согласно которому никакие две грани многогранника не должны пересекаться. Например, появляется возможность существования двух негомеоморфных многогранников с одной и той же эйлеровой характеристикой. Их следует различать по другим топологическим свойствам.

№ слайда 22 Особые многогранники и их свойства. Теперь рассмотрим отдельные виды многогра
Описание слайда:

Особые многогранники и их свойства. Теперь рассмотрим отдельные виды многогранников поподробнее. Призма Многогранник, две грани которого – равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы, называется n-угольной призмой. Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называется высотой призмы. Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

№ слайда 23 Площадь боковой поверхности призмы: Sбок=PП ∙|A1A2| (PП – периметр перпендику
Описание слайда:

Площадь боковой поверхности призмы: Sбок=PП ∙|A1A2| (PП – периметр перпендикулярного сечения призмы, а |A1A2| - длина бокового ребра.) Площадь полной поверхности призмы: Sполн=Sбок+2Sосн, (где Sосн – площадь основания призмы). Объем призмы: Наклонная: V=SП ∙ |A1A2| (SП – площадь перпендикулярного сечения призмы.) 2. Прямая: V=Sосн ∙ H (Н – высота.)

№ слайда 24 Параллелепипед. Куб. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой
Описание слайда:

Параллелепипед. Куб. Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы. Свойства параллелепипеда: 1. Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии. 2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно равны и параллельны. 3. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

№ слайда 25 Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется п
Описание слайда:

Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Свойства прямоугольного параллелепипеда: 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d2=a2+b2+c2 2. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

№ слайда 26 Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все гран
Описание слайда:

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба – равные квадраты. Объем куба вычисляется по формуле V=a3, гда а – измерение куба.

№ слайда 27 Пирамида. Усеченная пирамида. Многогранник, одна из граней которого – произво
Описание слайда:

Пирамида. Усеченная пирамида. Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

№ слайда 28 Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный
Описание слайда:

Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S=(1/2) ∙ P ∙ h, где P – периметр основания пирамиды, а h – апофема. Объем пирамиды: V=(1/3) Sосн ∙ H, где Sосн – площадь основания пирамиды, а H – высота пирамиды.

№ слайда 29 Возьмем произвольную пирамиду. Через точку на одном из боковых ребер , не сов
Описание слайда:

Возьмем произвольную пирамиду. Через точку на одном из боковых ребер , не совпадающую с их концами, проведем плоскость, параллельную плоскости основания. Проведенная плоскость отсечет от заданной пирамиды некую меньшую по высоте пирамиду. Многогранник, вершинами которого служат вершины основания данной пирамиды и вершины основания отсекаемой пирамиды, называется усеченной пирамидой.

№ слайда 30 Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной
Описание слайда:

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Боковые грани такой пирамиды – равные равнобедренные трапеции.

№ слайда 31 Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S=(1/2) ∙ (P+p) ∙
Описание слайда:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: S=(1/2) ∙ (P+p) ∙ h, где P и p – периметры нижнего и верхнего оснований соответственно, а h – апофема. Площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды: Sобщ=Sбок+S+s, где S и s – площади нижнего и верхнего оснований соответственно. Объем правильной усеченной пирамиды: V=(1/3) ∙ H ∙(S+(√S ∙ s)+s)

№ слайда 32
Описание слайда:

№ слайда 33 Сечения многогранников.
Описание слайда:

Сечения многогранников.

№ слайда 34 Сечение тетраэдра плоскостью (NPK) 5.	Мы их соединяем и получаем многоугольни
Описание слайда:

Сечение тетраэдра плоскостью (NPK) 5. Мы их соединяем и получаем многоугольник KNPD, который и будет сечением тетраэдра. 1. Найти две точки, лежащие в одной плоскости, т.е N и K и N и P и провести через них прямые. 2. Определить след от пересечения ребра многогранника с продолжением одной из полученных прямых в точке, которая окажется в одной плоскости с оставшейся точкой K. 3. Соединить точку K с полученным следом, например в точке О. Эта прямая в свою очередь пересекла одно из ребер многогранника, назовем эту точку пересечения D. 4. Теперь мы видим, что в одной плоскости оказались две точки D и P.

№ слайда 35 6.	Соединив их, получаем многоугольник ANBCK, который является сечением парал
Описание слайда:

6. Соединив их, получаем многоугольник ANBCK, который является сечением параллелепипеда плоскостью (ABC). Построение сечения параллелепипеда плоскостью (ABC) Рассмотрим еще один многогранник, например, параллелепипед и построим в нем сечение, для этого произвольно отметим три точки A,B и C на разных ребрах. Начнем с того же: 1. Ищем две точки, лежащие в одной плоскости, т.е B и C и проводим через них прямую. 2. Теперь мы снова ищем ребро многогранника, при продолжении которого оно пересечет полученную прямую в точке, которая будет лежать в одной плоскости с оставшейся точкой A. 3. Соединим точку A с полученной точкой (1). Мы видим, что наша прямая пересекла одно из ребер, мы отмечаем эту точку N. 5. Для этого мы определяем ребро параллелепипеда, при продолжении которого оно пересечет одну из наших полученных прямых в точке (2), лежащей в одной плоскости с оставшейся точкой C. Мы соединяем точку C с точкой 2. А эта прямая пересекает ребро многогранника в точке K, лежащей в одной плоскости с точкой A. 4. Точка N находится в одной плоскости с точкой B, поэтому мы их соединяем. Остались две не соединенные точки A и C.

№ слайда 36 8.	Получаем, что эта прямая пересекла ребро в точке, лежащей в одной плоскост
Описание слайда:

8. Получаем, что эта прямая пересекла ребро в точке, лежащей в одной плоскости с точками A и C. Пусть точка пересечения будет точкой P. Построив прямые AP и PC, получаем многоугольник ADBKCP- сечение пирамиды. Построение сечения пирамиды плоскостью (АВС) Теперь рассмотрим пирамиду и построим в ней сечение, не параллельное основанию. Отметим три точки A,B и C на разных ребрах многогранника. 1. В этом случае, в отличие от предыдущих, нет двух точек, лежащих в одной плоскости. Поэтому мы продолжаем те ребра пирамиды, которые содержат данные точки и которые пересекутся в точке, находящейся в одной плоскости с одной из этих двух точек. Получаем след 1 2. Соединим полученный след с данной точкой, т.е. с A. 3. Проведенная прямая пересекла еще одно ребро пирамиды в точке, которая оказалась в одной плоскости с данной точкой B. Назовем ее точка D. Следовательно, мы имеем право провести через них прямую. 4. Теперь продолжаем ребра двух граней пирамиды так, чтобы они пересеклись в точке, которая окажется в одной плоскости с какой-нибудь данной точкой. Получим след 2. 5. Снова соединяем полученный след с данной точкой B. 7. Если внимательно посмотреть, то видно, что след 2 оказался в одной плоскости с точкой A, следовательно, через них можем тоже провести прямую. 6. Построенная прямая пересекла ребро пирамиды в точке, лежащей в одной плоскости с точками B и C. Назовем ее точка K.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров132
Номер материала ДБ-002523
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх