Презентация по геометрии на тему "Теорема синусов и теорема косинусов"(9класс)

Теорема синусов и теорема косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα . a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα . a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα . Учитель Деменская С.А.

Экскурс в историю Сформулировать и доказать теорему синусов Сформулировать и доказать теорему косинусов Научиться применять данные теоремы к решению задач Цель урока

В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы. Немного из истории

ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603) Виет встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Придя к выводу, что эти обозначения весьма удобны, он стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Сформулируйте теорему о площади треугольника Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишите, чему равна площадь треугольника АВС А В С

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Запишите теорему синусов для треугольника MNF А В С

Запишите теорему синусов для треугольников: АВС KLM PQH

Замечание Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Доказательство: Проведем диаметр . Рассмотрим , С - прямоугольный => ВС= × sin . Если т. лежит на дуге ВАС, то А1= А, если на дуге BDC, то A1= 180° - A. И в том, и в другом случае sin = sin A => BC= *sin A, BC= 2RsinA или Дано: R – радиус описанной окружности, ВС = a, - диаметр Доказать: (BC=2RsinA)

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. M F N

Доказательство: у х (0;0) (с;0) (bcos A;bsin A) Дано: ΔАВС АВ=с АС=b BC=a Доказать: А С В b c a

Запишите теорему косинусов для треугольников: АВС KLP

Выразим косинус угла из теоремы косинусов

Выразите

Обобщенная теорема Пифагора. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в ∆АВС угол А прямой, то cosA = cos 90° = 0 и по теореме косинусов a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα получаем: a 2 = b 2 + c 2 , т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета.

C Задача№ 1025 (б) Дано: Найти: А B

Домашнее задание: П.97-98 П.99 законспектировать в тетрадь задачи с 1 по 3 Выполнить №1025(а,ж,з)

Спасибо за урок