Презентация по геометрии на тему "Теоремы Чевы и Менелая"

• 1 слайд

  Теоремы Чевы
  и
  Менелая
  Учитель математики
  МБОУ лицея №2
  г. Южно – Сахалинска
  Бокова Т.Н.
  

• 2 слайд

  На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, ВМ:МС=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Тогда
  Напоминание.
  А
  В
  С
  М
  К
  О
  Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.
  

• 3 слайд

  Рассмотрим треугольник АВС и отметим на его сторонах АВ, АС и СА точки С1, А1, В1.
  
  При каком расположении этих точек отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке?
  
  
  

• 4 слайд

  Теорема Чевы
  Итальянский инженер и математик (1648 – 1734)
  Теорема. Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
  А
  В
  С
  А1
  В1
  С1
  О
  Пусть отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О.
  По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем
  

• 5 слайд

  Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1, В1 взяты на сторонах АВ, ВС, СА так, что выполнено равенство
  Докажем, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.
  А
  В
  С
  А1
  В1
  С1
  О
  Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересечет сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2.
  Так как отрезки АА1, ВВ1, СС2 пересекаются в одной точке, то по доказанному ранее
  Сопоставляя равенства (1) и (2), приходим к равенству
  которое показывает, что точки С1 и С2 делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказан.а
  

• 6 слайд

  Замечание. Мы брали точки А1, В1и С1 на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС. Если же только одна из этих точек берется на соответствующей стороне, а две другие – на продолжении сторон, то справедливо следующее утверждение.
  Если прямые АА1, ВВ1 и СС пересекаются в одной точке
  А
  В
  С
  В1
  С1
  О
  А1
  либо параллельны,
  А1
  А
  В1
  С
  В
  С1
  то выполняется
  равенство
  и, обратно, если выполняется равенство (1), то прямые АА1, ВВ1 и СС1 либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
  

• 7 слайд

  Теорема Менелая.
  Менелай Александрийский – древнегреческий математик и астроном, живший в 1 в. н. э
  Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ , ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
  В
  А
  С
  А1
  В1
  С1
  

• 8 слайд

  Решите задачи.
  1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1,считая от вершины.
  А
  В
  С
  С1
  А1
  В1
  М
  Дано: АВС, АА1, ВВ1, СС1 – медианы.
  Док-ть: АА1 ВВ1 СС1 = М, АМ:МА1=СМ:МС1=ВМ:МВ1
  Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то АВ1=В1С, СА1=А1В, ВС1=С1А, тогда
  следовательно, по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке.
  По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем
  

• 9 слайд

  2. Доказать, что в треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
  А
  В
  С
  С1
  В1
  А1
  Дано: АВС, АА1, ВВ1 СС1 – биссектрисы.
  Док-ть: биссектрисы пересекаются а одной точке.
  Так как биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то:
  Перемножим равенства:
  следовательно, по теоремы Чевы биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  

• 10 слайд

  3. Доказать, что в треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
  А
  В
  С
  А1
  С1
  В1
  Дано: АВС, АА1, ВВ1, СС1 – высоты.
  Доказать: высоты треугольника пересекаются в одной точке
  АВС -остроугольный
  Прямоугольные треугольники АА1С и ВВ1С подобны по двум углам, поэтому
  Из подобия треугольников АА1В и СС1В имеем:
  Из подобия треугольников ВВ1А и СС1А имеем:
  Перемножим равенства:
  следовательно, по теореме Чевы высоты треугольника пересекаются водной точке.
  Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.
  

• 11 слайд

  4. В треугольнике АВС биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О, АВ=с, ВС=а, СА=b. Доказать, что
  B
  A
  С
  С1
  A1
  B1
  O
  c
  a
  b
  По теореме о биссектрисе угла треугольника имеем:
  По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике:
  Аналогично доказываются остальные равенства