Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по геометрии на тему "Тетраэдр и его свойства"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по геометрии на тему "Тетраэдр и его свойства"

библиотека
материалов
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова...
Определение. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треуголь...
Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми граня...
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называе...
Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник,...
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называет...
Свойства правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Бо...
8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведени...
Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, АВD, ВСD и АСD, назыв...
Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra...
«плоскость, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершин...
Дано: РАВС – тетраэдр; М – середина АС: МА=МС; К – середина ВС: ВК=КС Доказат...
Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольн...
PABC– тетраэдр; РМ и АК – медианы тетраэдра; т.О – точка пересечения медиан т...
Через точку О проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противопол...
РАВС – тетраэдр; МН и КЕ – бимедианы тетраэдра, причем МО=ОН и КО=ОЕ.
Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположном...
Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда пр...
И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они та...
Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) орт...
Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и ц...
Правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр – это тетраэдр, все грани которого –...
Теоремы, отражающие особые свойства правильного тетраэдра. В правильном тетра...
Доказательство первого свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В,...
Доказательство второго свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В,...
Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный 4 правильными треуголь...
Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными г...
Сечения тетраэдра. Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получ...
Особые пирамиды и тетраэдры.
Семиголовковая пирамида. Одна из вершин заметна сразу, остальные же немного т...
Энергетический звёздный тетраэдр. Вокруг женщины. Вокруг мужчины.
 Пищевая пирамида.
35 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова
Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

№ слайда 2 Определение. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треуголь
Описание слайда:

Определение. Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.

№ слайда 3 Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми граня
Описание слайда:

Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой. Определение.

№ слайда 4 Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называе
Описание слайда:

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Определение.

№ слайда 5 Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник,
Описание слайда:

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды. SАВСD – правильная пирамида. АВСD – квадрат (правильный четырехугольник). SО – высота. Определение.

№ слайда 6 Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называет
Описание слайда:

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Определение.

№ слайда 7 Свойства правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Бо
Описание слайда:

Свойства правильной пирамиды. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу. Двугранные углы при основании равны. Двугранные углы при боковых ребрах равны. Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания. Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

№ слайда 8 8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведени
Описание слайда:

8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему : 9. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны. 10. Плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани. Sбок = ½ ∙ Росн ∙d

№ слайда 9 Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, АВD, ВСD и АСD, назыв
Описание слайда:

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, АВD, ВСD и АСD, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. !!! Тетраэдр – простейшая пирамида. Определение.

№ слайда 10 Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra
Описание слайда:

Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань». Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть. В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) , в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань. ∆АВС,∆АВD,∆АСD, ∆ВСD – грани тетраэдра АВСD; АВ,АС,АD,ВС,СD,ВD – ребра тетраэдра.

№ слайда 11 «плоскость, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершин
Описание слайда:

«плоскость, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую этому основанию, параллельна третьему ребру основания». Свойство тетраэдра:

№ слайда 12 Дано: РАВС – тетраэдр; М – середина АС: МА=МС; К – середина ВС: ВК=КС Доказат
Описание слайда:

Дано: РАВС – тетраэдр; М – середина АС: МА=МС; К – середина ВС: ВК=КС Доказать: (РМК)║ВС

№ слайда 13 Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольн
Описание слайда:

Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра. Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке О и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин. Медианы тетраэдра.

№ слайда 14 PABC– тетраэдр; РМ и АК – медианы тетраэдра; т.О – точка пересечения медиан т
Описание слайда:

PABC– тетраэдр; РМ и АК – медианы тетраэдра; т.О – точка пересечения медиан тетраэдра РАВС.

№ слайда 15 Через точку О проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противопол
Описание слайда:

Через точку О проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой О пополам. Бимедианы тетраэдра.

№ слайда 16 РАВС – тетраэдр; МН и КЕ – бимедианы тетраэдра, причем МО=ОН и КО=ОЕ.
Описание слайда:

РАВС – тетраэдр; МН и КЕ – бимедианы тетраэдра, причем МО=ОН и КО=ОЕ.

№ слайда 17 Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположном
Описание слайда:

Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O. Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.

№ слайда 18 Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда пр
Описание слайда:

Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид. Ортоцентрический и прямоугольный тетраэдры.

№ слайда 19 И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они та
Описание слайда:

И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра. И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней.

№ слайда 20 Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) орт
Описание слайда:

Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны. Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например, теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.

№ слайда 21 Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и ц
Описание слайда:

Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от H до вершин в отношении 1:2. Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине М которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»: «Если S1, S2, S3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то: S2= S12+ S22+ S32».

№ слайда 22 Правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр – это тетраэдр, все грани которого –
Описание слайда:

Правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр – это тетраэдр, все грани которого – равносторонние треугольники.

№ слайда 23 Теоремы, отражающие особые свойства правильного тетраэдра. В правильном тетра
Описание слайда:

Теоремы, отражающие особые свойства правильного тетраэдра. В правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу. Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

№ слайда 24 Доказательство первого свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В,
Описание слайда:

Доказательство первого свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН. Доказать: АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ

№ слайда 25
Описание слайда:

№ слайда 26
Описание слайда:

№ слайда 27 Доказательство второго свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В,
Описание слайда:

Доказательство второго свойства. Дано: МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН. Доказать: АВСЕ – правильный тетраэдр.

№ слайда 28
Описание слайда:

№ слайда 29 Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный 4 правильными треуголь
Описание слайда:

Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный 4 правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис.1). Симметрия в тетраэдре.

№ слайда 30 Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными г
Описание слайда:

Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии). Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚и 240˚ (Рис.2).

№ слайда 31 Сечения тетраэдра. Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получ
Описание слайда:

Сечения тетраэдра. Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получаться либо треугольники, либо четырехугольники.

№ слайда 32 Особые пирамиды и тетраэдры.
Описание слайда:

Особые пирамиды и тетраэдры.

№ слайда 33 Семиголовковая пирамида. Одна из вершин заметна сразу, остальные же немного т
Описание слайда:

Семиголовковая пирамида. Одна из вершин заметна сразу, остальные же немного труднее найти. Пирамида Шивы.

№ слайда 34 Энергетический звёздный тетраэдр. Вокруг женщины. Вокруг мужчины.
Описание слайда:

Энергетический звёздный тетраэдр. Вокруг женщины. Вокруг мужчины.

№ слайда 35  Пищевая пирамида.
Описание слайда:

Пищевая пирамида.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1042
Номер материала ДБ-107432
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх