Презентация по геометрии на тему "Тетраэдр и его свойства"

• 1 слайд

  муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа № 45
  Методическое пособие для учащихся 10 классов
  «Тетраэдр и его свойства».
  Составил
  учитель математики
  первой категории
  Гавинская Елена Вячеславовна.
  
  
  
  г.Калининград
  2015-2016 учебный год
  

• 2 слайд

  Определение.
  Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.
  Аn
  A1
  A2
  A3
  P
  

• 3 слайд

  Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды.
  Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами.
  Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.
  Определение.
  

• 4 слайд

  Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
  РН- высота
  (не лежит во внутренней области пирамиды).
  РН - высота
  Р
  Н
  А
  В
  С
  Е
  М
  Определение.
  

• 5 слайд

  Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.
  SАВСD – правильная пирамида.
  АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).
  SО – высота.
  С
  О
  В
  А
  D
  S
  Определение.
  

• 6 слайд

  Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
  А
  В
  С
  Н
  S
  SH- апофема
  Определение.
  

• 7 слайд

  Свойства правильной пирамиды.
  Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  Боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
  Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
  Двугранные углы при основании равны.
  Двугранные углы при боковых ребрах равны.
  Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
  Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.
  

• 8 слайд

  8. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
  равна половине произведения периметра основания на
  апофему :
  9. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся
  ребра взаимно перпендикулярны.
  10. Плоскость, проходящая через высоту правильной
  пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна
  к плоскости боковой грани.
  Sбок = ½ ∙ Росн ∙d
  

• 9 слайд

  Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, АВD, ВСD и АСD, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС.
  
  !!! Тетраэдр – простейшая пирамида.
  А
  В
  С
  D
  Определение.
  

• 10 слайд

  Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: tetra – «четыре» и hedra – «основание, грань».
  Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть.
  В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) , в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.
  В
  А
  С
  D
  ∆АВС,∆АВD,∆АСD, ∆ВСD – грани тетраэдра АВСD;
  АВ,АС,АD,ВС,СD,ВD – ребра тетраэдра.
  

• 11 слайд

  «плоскость, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую этому основанию, параллельна третьему ребру основания».
  Свойство тетраэдра:
  А
  В
  С
  D
  

• 12 слайд

  В ∆АВС:
  АМ=МС и
  ВК=КС
  (по условию)
  = МК – средняя линия ∆АВС ( по определению) = МК║ВС (по свойству средней линии треугольника)
  Но МК с (МКР)
  = ВС║(МКР) – по признаку параллельности прямой и плоскости.
  ◦
  ●
  Дано: РАВС – тетраэдр; М – середина АС: МА=МС; К – середина ВС: ВК=КС Доказать: (РМК)║ВС
  С
  Р
  А
  В
  К
  М
  

• 13 слайд

  Для любого тетраэдра справедлив аналог теоремы о пересечении медиан треугольника в одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.
  Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке О и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.
  О
  А
  В
  Р
  С
  М
  К
  Медианы тетраэдра.
  

• 14 слайд

  PABC– тетраэдр;
  РМ и АК – медианы тетраэдра;
  т.О – точка пересечения медиан тетраэдра РАВС.
  О
  А
  В
  Р
  С
  М
  К
  

• 15 слайд

  Через точку О проходят и бимедианы – отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, причем они делятся точкой О пополам.
  В
  М
  А
  Р
  С
  Н
  Бимедианы тетраэдра.
  

• 16 слайд

  РАВС – тетраэдр;
  МН и КЕ – бимедианы тетраэдра, причем МО=ОН и КО=ОЕ.
  В
  М
  А
  Р
  С
  Н
  

• 17 слайд

  Проведем через каждое ребро тетраэдра плоскость, параллельную противоположному ребру. Получим три пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O.
  Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.
  

• 18 слайд

  Медианы тетраэдра «ведут себя примерно» – как и в треугольнике, они всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид.
  Ортоцентрический и
  прямоугольный тетраэдры.
  

• 19 слайд

  И все же ортоцентр существует у достаточно широкого класса тетраэдров. Они так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра. И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней.
  

• 20 слайд

  Приведем еще несколько критериев (т.е. необходимых и достаточных условий) ортоцентричности: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны.
  
  Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например, теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.
  

• 21 слайд

  Центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на отрезке между ортоцентром H и центром описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от H до вершин в отношении 1:2.
  Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине М которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода
  «теорема Пифагора»:
  «Если S1, S2, S3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то: S2= S12+ S22+ S32».
  

• 22 слайд

  Правильный тетраэдр.
  Правильный тетраэдр – это тетраэдр, все грани которого – равносторонние треугольники.
  

• 23 слайд

  Теоремы, отражающие особые свойства правильного тетраэдра.
  В правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.
  Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
  

• 24 слайд

  Доказательство первого свойства.
  Дано:
  МРКН – правильный тетраэдр;
  т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН.
  Доказать: АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ
  P
  M
  T
  R
  H
  S
  K
  L
  

• 25 слайд

  P
  M
  T
  R
  H
  S
  K
  L
  Т.к. РМНК – правильный тетраэдр (по условию) = все его боковые ребра равны: МР=РК=РН=МК=МН=НК = все его боковые грани – равные равносторонние треугольники, т.е. ∆МРН=∆МКР=∆РНК=∆МКН – равносторонние треугольники = радиусы вписанных в эти треугольники окружностей равны, т.е. AR=AT=AF=BR=BL=BD=CL=CS=CF= =ED=ET=ES
  ◦
  Проведем в тетраэдре РКМН из точки Р высоту, она попадет в точку Е – центр грани МКН .
  В ∆РЕT и ∆PSE (где РЕT = PSE=90°) :
  РЕ – общая
  TE=ES (доказали)
  = ∆РЕT =∆PSE (по двум катетам) = 1=2
  

• 26 слайд

  4) В ∆ATE и ∆CSE :
  AT=CS (доказали)
  ET=ES (доказали)
  1=2 (доказали)
  = ∆ATE =∆CSE (по двум сторонам и углу между ними) =АЕ=ЕС
  5) Аналогично доказываем равенство остальных отрезков, = получаем: АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ
  ●
  P
  M
  T
  R
  H
  S
  K
  L
  

• 27 слайд

  Доказательство второго свойства.
  Дано:
  МРКН – правильный тетраэдр; т.А, т.В, т.С, т.Е – соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН.
  Доказать:
  АВСЕ – правильный тетраэдр.
  М
  Н
  К
  Р
  А
  Е
  В
  С
  

• 28 слайд

  (По условию) А є(МРН), В є(МРК), С є(КРН) и Е є(МНК)
  (МРН), (МРК), (КРН) и (МНК) не совпадают
  тетраэдр АВСЕ – правильный (по определению)
  =
  точки А,В,С, и Е не лежат в одной плоскости = АВСЕ – пространственный четырехугольник = АВСЕ – тетраэдр (по построению)
  Но (по свойству правильного тетраэдра РМНК) АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ
  =
  =
  ●
  ◦
  М
  Н
  К
  Р
  А
  Е
  В
  С
  

• 29 слайд

  Рис.1 Правильный тетраэдр.
  Самый симметричный тетраэдр - правильный, ограниченный 4 правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис.1).
  Симметрия в тетраэдре.
  

• 30 слайд

  Менее симметричны правильные треугольные пирамиды (т.е. тетраэдры с равными гранями – 3 оси симметрии). Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚и 240˚ (Рис.2).
  Рис.2 Правильная пирамида.
  120°(240°)
  

• 31 слайд

  Сечения тетраэдра.
  Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении
  могут получаться либо треугольники, либо четырехугольники.
  

• 32 слайд

  Особые пирамиды и тетраэдры.
  

• 33 слайд

  Семиголовковая пирамида.
  Одна из вершин заметна сразу, остальные же немного труднее найти.
  Пирамида Шивы.
  

• 34 слайд

  Энергетический звёздный тетраэдр.
  Вокруг женщины.
  Вокруг мужчины.
  

• 35 слайд

  
  Пищевая пирамида.
  Овощи.
  Жиры и сахар, добавляемые в пищу.
  Мясо, птица, рыба, яйца.
  Молоко, йогурты, сыр.
  Фрукты.
  Злаковые культуры, хлеб, мучные изделия.