Презентация по геометрии на тему "Усеченная пирамида"(10 класс)

• 1 слайд

  муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
  средняя общеобразовательная школа № 45
  Методическое пособие для учащихся 10 классов
  «Усеченная пирамида ».
  Составил
  учитель математики
  высшей категории
  Гавинская Елена Вячеславовна.
  
  
  
  г.Калининград
  2016-2017 учебный год
  

• 2 слайд

  Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете.
  Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь)- считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.
  

• 3 слайд

  Определения.
  Многогранник, составленный из n-угольника А1А2A3…Аn и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.
  Аn
  A1
  A2
  A3
  P
  

• 4 слайд

  Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды.
  Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами.
  Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.
  

• 5 слайд

  Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.
  РН- высота
  (не лежит во внутренней области пирамиды).
  РН - высота
  Р
  Н
  А
  В
  С
  Е
  М
  

• 6 слайд

  Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.
  SАВСD – правильная пирамида.
  АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).
  SО – высота.
  С
  О
  В
  А
  D
  S
  

• 7 слайд

  Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
  А
  В
  С
  Н
  S
  SH- апофема
  

• 8 слайд

  Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A1A2…An и B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn(боковые грани), называется усеченной пирамидой.
  

• 9 слайд

  А1
  А
  В
  В1
  С
  С1
  D
  D1
  Еще одно определение усеченной пирамиды.
  Тело, получающееся из пирамиды, если отсечь ее вершину плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой.
  

• 10 слайд

  Четырехугольники A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn – боковые грани, n –угольники А1А2…Аn и В1В2…Вn – основания усеченной пирамиды.
  Отрезки А1В1, А2В2, А3В3 ,…, АnВn – боковые ребра усеченной пирамиды.
  Усеченную пирамиду с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают так: А1А2…АnВ1В2…Вn .
  

• 11 слайд

  Теорема (свойство усеченной пирамиды):
  «Боковые грани усеченной
  пирамиды – трапеции».
  Дано: АВСА1В1С1 – усеченная пирамида, полученная сечением пирамиды SАВС плоскостью (А1В1С1) || (АВС).
  Доказать: четырехугольники АА1С1С, АА1В1В и ВВ1С1С – трапеции.
  S
  B
  B1
  А
  А1
  С1
  С
  

• 12 слайд

  2) АС || А1С1 (доказали)
  АА1  СС1 = S
  = четырехугольник АА1С1С – трапеция (по определению)
  3) (АSВ)  (АВС) = АВ
  (АSВ)  (А1В1С1) = А1В1
  (А1В1С1) || (АВС)
  = АВ || А1В1 (по свойству параллельных плоскостей)
  4) АВ || А1В1 (доказали)
  АА1  ВВ1 = S
  = четырехугольник АА1В1В – трапеция (по определению)
  (АSС)  (АВС) = АС
  (АSС)  (А1В1С1) = А1С1
  (А1В1С1) || (АВС)
  =
  = АС || А1С1 (по свойству параллельных
  плоскостей)
  ◦
  S
  B
  B1
  А
  А1
  С1
  С
  

• 13 слайд

  S
  B
  B1
  А
  А1
  С1
  С
  5) (ВSС)  (АВС) = ВС
  (ВSС)  (А1В1С1) = В1С1
  (А1В1С1) || (АВС)
  =
  = ВС || В1С1 (по свойству параллельных плоскостей)
  6) ВС || В1С1 (доказали)
  ВВ1  СС1 = S
  = четырехугольник ВВ1С1С – трапеция (по определению)
  ●
  

• 14 слайд

  Определения.
  Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
  D1
  А
  С
  В
  D
  С1
  В1
  А1
  Sбок. = SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D
  

• 15 слайд

  
  Р
  А
  В
  С
  М
  К
  Н
  Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.
  
  Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.
  (МНК) || ;
  АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС
  

• 16 слайд

  Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами.
  АВСDА1В1С1D1 – правильная усеченная пирамида;
  АВСD и А1В1С1D1 – квадраты;
  А1Н, В1М, D1К – апофемы.
  А
  А1
  В
  В1
  С1
  С
  D
  D1
  Н
  М
  К
  

• 17 слайд

  Теорема:
  «Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
  равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему».
  Sбок. пр. пир. =½∙(Росн1+Росн2 ) ∙d
  

• 18 слайд

  = Sбок = ½·d∙(AB+A1B1+BC+B1C1+CD+C1D1+AD+A1D1)=
  = ½∙d∙((AB+BC+CD+AD)+(A1B1+B1C1+C1D1+A1D1))=
  =½∙d∙(PABCD+PA1B1C1D1)
  ●
  Sбок = SABB1A1 + SBCC1B1 + SCDD1C1 + SADD1A1 =
  = ½∙A1K∙(AB+A1B1) + ½∙B1M∙(BC+B1C1) + ½∙D1N∙(CD+C1D1) +
  + ½∙A1H∙(AD+A1D1)
  Но (по свойству ) A1K=B1M=D1N=A1H=d
  =
  ◦
  A
  A1
  B
  K
  H
  D
  N
  C
  M
  B1
  C1
  D1
  Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида; А1К, В1М, D1N, A1H – апофемы, т.е. А1КАВ, В1МВС, D1NDC, A1HAD Доказать:Sбок =½∙d∙(РABCD+PA1B1C1D1)
  

• 19 слайд

  Теорема.
  Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле
  

• 20 слайд

  S
  S1
  h
  x
  Дано: усеченная пирамида, полученная из обычной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды Доказать:
  Но (по теореме об отношении площадей подобных треугольников)
  =>
  ◦
  ●
  

• 21 слайд

  Задача №1.
  Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усеченной пирамиды, если глубина ямы 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м, а верхнего – 1,2м?
  

• 22 слайд

  1)SABCD = AB 2
  SABCD = 0,8 2 = 0,64 (м2)
  
  2)SA1B1C1D1 = A1B12
  SA1B1C1D1 = 1,22 = 1,44 (м2)
  Дано: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида, h=1,5м, ABCD и A1B1C1D1 – квадраты, АВ=0,8м, А1В1=1,2м Найти: Vус. пир.
  А
  В
  С
  D
  О
  О1
  А1
  D1
  C1
  В1
  

• 23 слайд

  4)1,52 м³= 1520 л
  Ответ: 1520 л
  ,
  А
  В
  С
  D
  О
  О1
  А1
  D1
  C1
  В1
  

• 24 слайд

  Задача №2.
  Гранитная подставка имеет вид усеченной пирамиды высотой в 3,6м и с квадратными основаниями. Стороны оснований: а=2,8м и b=2м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10³кг/м³.
  

• 25 слайд

  Дано: АВСDА1В1С1D1 – усеченная пирамида, АВСD и А1В1С1D1 – квадраты, АВ=2 м,А1В1=2,8 м, ОН – высота пирамиды, ОН=3,6м, =2,5 ∙10³кг/м³
  Найти: Р
  А
  В
  С
  С1
  В1
  А1
  О
  Н
  D1
  D
  = P=ρ∙V ∙g
  Р=m∙g
  m=ρ∙V
  1)
  Ответ: ≈513 кН