Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по геометрии "Окружность и круг"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по геометрии "Окружность и круг"

библиотека
материалов
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова...
Глава 1. Введение. «Круг – первая, наиболее простая и наиболее совершенная г...
Открытие окружности – одно из главных открытий древности. Многие ученые счит...
Содержание. Глава 1. Введение. Глава 2. Основные теоретические положения по т...
Содержание (продолжение). 3. Фигуры, связанные с окружностью. - Касательная....
Содержание (продолжение). Глава 3. Окружность Аполлония. Глава 4. Единичная о...
 Глава 2. Основные теоретические положения.
§ 1. Определения окружности и круга.
Определения окружности. ОКРУЖНОСТЬ - это замкнутая линия, все точки которой...
Изображение окружности. Чертежный инструмент для построения окружности – цир...
Определение круга. КРУГ- это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг...
Другое определение круга. КРУГ- это геометрическое место точек плоскости, ра...
Различия между кругом и окружностью. Часто господин Циркуль напевает следующу...
§ 2. Элементы окружности.
Элементы окружности. РАДИУС - это отрезок, соединяющий любую точку окружност...
(продолжение) ХОРДА- это отрезок, соединяющий любые две точки на окружности ....
(продолжение) Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части....
§ 3. Фигуры, связанные с окружностью и кругом.
► Касательная . Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называ...
► Секущая. Прямая, проходящая через любые две точки окружности, называется СЕ...
► Центральный угол. ЦЕНТРАЛЬНЫМ УГЛОМ в окружности называется плоский угол с...
► Вписанный угол. ВПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, вершина которого лежит на...
► Описанный угол. ОПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, образованный двумя касател...
►Круговой сектор. КРУГОВОЙ СЕКТОР - часть круга, лежащая внутри соответствующ...
► Круговой сегмент. КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ - общая часть круга и полуплоскости, гра...
► Квадрант. КВАДРАНТ - сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.
► Концентрические окружности. КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ называются окружн...
►Касающиеся окружности. Проведем через точку касания окружностей касательную...
 § 4. Взаимное расположение прямой и окружности.
Случаи взаимного расположения прямой и окружности.
Геометрическая иллюстрация взаимного расположения прямой и окружности. Нет о...
§ 5. Свойства окружности.
● Свойство 1. Изопериметрическое неравенство: «Из всех замкнутых кривых данн...
● Свойство 2. «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ок...
● Свойство 3. «Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей и...
● Свойство 4. «Длину окружности радиуса R можно вычислить по формуле C = 2πR»...
● Свойство 7. « Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых...
● Свойство 8. «Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне...
Доказательства. Доказательство свойства 7: Рассмотрим угол АМВ на рис.6. Заме...
Доказательства. Доказательство свойства 8: Рассмотрим угол АМВ на рис.7, обра...
● Свойство 9. «Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, о...
А В С О ● Свойство 10. «Отрезки касательных к окружности, проведённых из одн...
А В С О Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВ– касательная АС – касательная О...
 А В С О Доказательство. В ∆АВО и ∆ОСА: 1)
● Свойство 11. «Угол, образованный двумя касательными, равен разности 180º и...
● Свойство 12. «Если две хорды пересекаются, то произведение двух получившихс...
● Свойство 13. «Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги...
● Свойство 14. «Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее...
● Свойство 15. «Из двух хорд одной окружности больше та, у которой расстояние...
● Свойство 16. «Если две дуги равны, то хорды, стягивающие их, тоже равны». O...
● Свойство 17. «Если две хорды параллельны, то дуги, заключенные между концам...
● Свойство 18. «Если расстояние от середины одной хорды до центра окружности...
● Свойство 19. Теорема Архимеда. «Если в дуге круга прямая линия сломана на д...
Теорема Архимеда (а теперь по рисунку) Пусть в круг вписана ломаная линия АВС...
● Свойство 20. «Угол, образованный двумя хордами и опирающийся на них централ...
● Свойство 21. «Вертикальные углы, образованные двумя хордами, равны полусумм...
● Свойство 22. «Центральный угол имеет ту же градусную меру, что и дуга, на к...
● Свойство 23. « Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается...
Доказательство. Дано: окр.(О;r) ;
1)Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например, со стороной ВС АОС=...
2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. АС= АК + КС < АВС= АВК+ КВС Но
3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла...
● Свойство 24. «Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на т...
Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВС – вписанный, АОС - центральный Доказать...
Доказательство. Рассмотрим ∆АВС . Он вписан в данную окружность. В силу равен...
● Свойство 25. «Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны»....
● Свойство 26. «Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой». И обратное...
● Свойство 26. (другая формулировка) «Вписанный угол, опирающийся на дугу дли...
● Свойство 27. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны»....
● Свойство 28. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершин...
● Свойство 29. «Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины...
« Если обе стороны угла, вершина которого находится вне окружности, пересека...
● Свойство 31. Теорема о квадрате касательной: «Если из точки, лежащей вне кр...
● Свойство 32. «Окружность является коническим сечением и частным случаем эл...
 § 6. Уравнение окружности.
Уравнение окружности в декартовой системе координат. 1) Окружность с централ...
(продолжение) 3) В декартовой системе координат окружность не является график...
(продолжение) 5) Другую возможность описать окружность с помощью декартовых к...
Уравнение окружности на комплексной плоскости. На комплексной плоскости окру...
 Глава 3. Окружность Аполлония.
Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расст...
Пусть на плоскости даны две точки A и B. Рассмотрим все точки M этой плоскос...
 Глава 4. Единичная окружность. О у х 1
Определение единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с рад...
Уравнение единичной окружности. Все тригонометрические функции, сконструирова...
 Глава 5. Длина окружности.
Что такое число П ? Диаметр на оси х является отображением двух полуокружнос...
Поэтому с этой стороны, количество точек на диаметре равно количеству точек...
Итак, определение числа π. Число π — математическая константа, выражающая от...
Длина дуги, соответствующая центральному углу в α°, вычисляется по формуле У...
 Глава 6. Площадь круга.
Площадь круга вычисляется по формуле Площадь кругового сектора Вычисляется п...
Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле R – радиус круга, S∆ – пло...
Площадь кругового кольца вычисляется по формуле R , r – внешний и внутренний...
 Глава 7. Деление окружности на части.
Деление окружности на любое количество равных частей Для деления окружности н...
Важное замечание. Но т.к. П – иррациональное число, то и коэффициенты получаю...
Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей . Деление окружно...
Деление окружности на пять равных частей. Деление окружности на пять равных ч...
Деление окружности на семь равных частей Деление окружности на семь равных ча...
Деление окружности на восемь равных частей . Деление окружности на восемь рав...
Дополнительный способ деления окружности на n равных частей. Окружность соста...
 Глава 8. Открытие Коперника.
Родился: 19.02.1473, ТОРУНЬ Умер: 24.05.1543, ФРОМБОРК Польский астроном, со...
 Положение хорды меньшей окружности во время движения.
 Глава 9. «Окружность вокруг нас».
Обручальное кольцо. Обручальное кольцо символизирует целостность и единство....
Кольцо. Бесконечность, обернувшаяся вокруг пальца, издавна являлась символом...
Олимпийские кольца. Первоначально предлагалось сделать символом олимпиад пят...
 Машиностроение Медицина
 Архитектура Физика
 Строительство.
 Цирковая арена.
Окружность в пентограммах. ● Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме - т...
Окружность в пентограммах (продолжение). ● Для построения пентаграммы необхо...
Окружность в пентограммах (продолжение). Пентаграмма представляет собой вмес...
Окружность в пентограммах (продолжение). Спираль, построенная на основании р...
Окружность в пентограммах (продолжение). Рассмотрим построение спиральной ли...
Окружность в пентограммах (продолжение). Сравнение этих двух моделей отражае...
Окружность в пентограммах (продолжение). Картина «Святое семейство» Микеланд...
Круги Эйлера. Задача.   В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математ...
Круги Эйлера (продолжение). Решение.  Изобразим эти кружки на рисунке. Можно...
 Глава 10. «Практическое применение окружности».
Автомобиль массой 5 т движется по выпуклому мосту со скоростью 36 км/ч. С ка...
Дано: m = 5 т = 5000 кг v=36 км/ч = 10 м/с R=50 м Найти: P-?, Vmin-? N mg Y...
Решение. N mg Y О R aц N+mg=ma N= m(g- a), -N+mg=ma P=50(10-2)=40 000Н=40 кН...
Определить длину кружева, которое потребуется для отделки 5000 круглых салфе...
С=2πR , значит, С=2·3,14·10=62,8 (см)- столько потребуется кружева для отдел...
Определить максимальную длину верёвки, которая необходима, чтобы бурёнка, пр...
С=2πR , значит, 150=2·3,14·R, значит, R=150:2:3,14, значит, R 23,88… (м)- та...
Ученики нашего класса решили на пришкольной территории создать цветочную клу...
 Иллюстрация к задаче.
Решение: 360:100=3,6 (º) – столько приходится на 1%. 3,6·25=90(º) – столько...
134 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова
Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 9 – 11 классов "Окружность и круг". Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

№ слайда 2 Глава 1. Введение. «Круг – первая, наиболее простая и наиболее совершенная г
Описание слайда:

Глава 1. Введение. «Круг – первая, наиболее простая и наиболее совершенная геометрическая фигура». (Прокл. Комментарий к «Началам» Евклида )

№ слайда 3 Открытие окружности – одно из главных открытий древности. Многие ученые счит
Описание слайда:

Открытие окружности – одно из главных открытий древности. Многие ученые считают эту фигуру самой совершенной. Почему именно окружность так интересна ученым – математикам, какими замечательными свойствами она обладает?

№ слайда 4 Содержание. Глава 1. Введение. Глава 2. Основные теоретические положения по т
Описание слайда:

Содержание. Глава 1. Введение. Глава 2. Основные теоретические положения по теме «Окружность.Круг». 1. Определение окружности и круга. - Определения окружности. - Изображение окружности. - Определения круга. - Различия между кругом и окружностью. 2. Элементы окружности и круга. - Радиус. - Хорда. - Диаметр. - Дуга окружности. - Полуокружность.

№ слайда 5 Содержание (продолжение). 3. Фигуры, связанные с окружностью. - Касательная.
Описание слайда:

Содержание (продолжение). 3. Фигуры, связанные с окружностью. - Касательная. - Секущая. - Центральный угол. - Вписанный угол. - Описанный угол. - Круговой сектор. - Круговой сегмент. - Квадрант. - Концентрические окружности. - Касающиеся окружности. 4. Взаимное расположение прямой и окружности. 5. Свойства окружности. 6. Уравнение окружности. - В декартовой системе координат. - На комплексной плоскости.

№ слайда 6 Содержание (продолжение). Глава 3. Окружность Аполлония. Глава 4. Единичная о
Описание слайда:

Содержание (продолжение). Глава 3. Окружность Аполлония. Глава 4. Единичная окружность. - Определение. - Уравнение единичной окружности Глава 5. Длина окружности. - Определение числа «пи». - Формула для длины окружности. - Формула для длины дуги окружности. Глава 6. Площадь круга. - Формула для вычисления площади круга. - Формула для вычисления площади кругового сектора. - Формула для вычисления площади кругового сегмента. - Формула для вычисления площади кольца. Глава 7. Деление окружности на части.. Глава 8. Открытие Коперника. Глава 9. Окружность вокруг нас. Глава 10. Практическое применение окружности.

№ слайда 7  Глава 2. Основные теоретические положения.
Описание слайда:

Глава 2. Основные теоретические положения.

№ слайда 8 § 1. Определения окружности и круга.
Описание слайда:

§ 1. Определения окружности и круга.

№ слайда 9 Определения окружности. ОКРУЖНОСТЬ - это замкнутая линия, все точки которой
Описание слайда:

Определения окружности. ОКРУЖНОСТЬ - это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра. Или иначе. ОКРУЖНОСТЬ - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) на плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром окружности .

№ слайда 10 Изображение окружности. Чертежный инструмент для построения окружности – цир
Описание слайда:

Изображение окружности. Чертежный инструмент для построения окружности – циркуль. Точка О – О центр окружности. Кроме того, окружность является простой плоской кривой второго порядка.

№ слайда 11 Определение круга. КРУГ- это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг
Описание слайда:

Определение круга. КРУГ- это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг – фигура выпуклая. Элементы круга определяются также, как и элементы окружности.

№ слайда 12 Другое определение круга. КРУГ- это геометрическое место точек плоскости, ра
Описание слайда:

Другое определение круга. КРУГ- это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем данное. Если точка, находясь внутри окружности, имеет равное расстояние до любой точки, находящейся на окружности данного круга, то такая точка называется центром круга, а расстояние — радиусом круга. Граница круга — окружность.

№ слайда 13 Различия между кругом и окружностью. Часто господин Циркуль напевает следующу
Описание слайда:

Различия между кругом и окружностью. Часто господин Циркуль напевает следующую песенку. Она помогает запомнить различия между oкружностью и кругом.                 У круга есть одна подруга,                 Знакома всем ее наружность,                 Она идет по краю круга,                  и называется окружность.      

№ слайда 14 § 2. Элементы окружности.
Описание слайда:

§ 2. Элементы окружности.

№ слайда 15 Элементы окружности. РАДИУС - это отрезок, соединяющий любую точку окружност
Описание слайда:

Элементы окружности. РАДИУС - это отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром (обозначается  r). Колесо - одно из великих изобретений, которое было сделано в IV  тысячелетии до н.э. на Древнем Востоке. Итак, для чего же мы вспомнили про колесо? Оказывается, что в переводе с латинского слово "радиус" переводится не иначе как "спица колеса". 

№ слайда 16 (продолжение) ХОРДА- это отрезок, соединяющий любые две точки на окружности .
Описание слайда:

(продолжение) ХОРДА- это отрезок, соединяющий любые две точки на окружности . Хорда, проходящая через центр окружности, называется ДИАМЕТРОМ (обозначается  d). d

№ слайда 17 (продолжение) Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части.
Описание слайда:

(продолжение) Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла. Дуга называется ПОЛУОКРУЖНОСТЬЮ, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

№ слайда 18 § 3. Фигуры, связанные с окружностью и кругом.
Описание слайда:

§ 3. Фигуры, связанные с окружностью и кругом.

№ слайда 19 ► Касательная . Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называ
Описание слайда:

► Касательная . Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется КАСАТЕЛЬНОЙ к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

№ слайда 20 ► Секущая. Прямая, проходящая через любые две точки окружности, называется СЕ
Описание слайда:

► Секущая. Прямая, проходящая через любые две точки окружности, называется СЕКУЩЕЙ к окружности.

№ слайда 21 ► Центральный угол. ЦЕНТРАЛЬНЫМ УГЛОМ в окружности называется плоский угол с
Описание слайда:

► Центральный угол. ЦЕНТРАЛЬНЫМ УГЛОМ в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.

№ слайда 22 ► Вписанный угол. ВПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, вершина которого лежит на
Описание слайда:

► Вписанный угол. ВПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

№ слайда 23 ► Описанный угол. ОПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, образованный двумя касател
Описание слайда:

► Описанный угол. ОПИСАННЫМ УГЛОМ называется угол, образованный двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки.

№ слайда 24 ►Круговой сектор. КРУГОВОЙ СЕКТОР - часть круга, лежащая внутри соответствующ
Описание слайда:

►Круговой сектор. КРУГОВОЙ СЕКТОР - часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. Или иначе. КРУГОВОЙ СЕКТОР - часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, стягивающими эту дугу.

№ слайда 25 ► Круговой сегмент. КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ - общая часть круга и полуплоскости, гра
Описание слайда:

► Круговой сегмент. КРУГОВОЙ СЕГМЕНТ - общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

№ слайда 26 ► Квадрант. КВАДРАНТ - сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.
Описание слайда:

► Квадрант. КВАДРАНТ - сектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°.

№ слайда 27 ► Концентрические окружности. КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ называются окружн
Описание слайда:

► Концентрические окружности. КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ ОКРУЖНОСТЯМИ называются окружности, имеющие общий центр.

№ слайда 28 ►Касающиеся окружности. Проведем через точку касания окружностей касательную
Описание слайда:

►Касающиеся окружности. Проведем через точку касания окружностей касательную к одной из них. Она будет касательной и к другой окружности, то есть будет общей касательной. Будем говорить, что ОКРУЖНОСТИ КАСАЮТСЯ ВНЕШНИМ ОБРАЗОМ, если их центры лежат в разных полуплоскостях от общей касательной, и ВНУТРЕННИМ ОБРАЗОМ, если центры лежат в одной полуплоскости от общей касательной.

№ слайда 29  § 4. Взаимное расположение прямой и окружности.
Описание слайда:

§ 4. Взаимное расположение прямой и окружности.

№ слайда 30 Случаи взаимного расположения прямой и окружности.
Описание слайда:

Случаи взаимного расположения прямой и окружности.

№ слайда 31 Геометрическая иллюстрация взаимного расположения прямой и окружности. Нет о
Описание слайда:

Геометрическая иллюстрация взаимного расположения прямой и окружности. Нет общих точек Одна общая точка Две общие точки

№ слайда 32 § 5. Свойства окружности.
Описание слайда:

§ 5. Свойства окружности.

№ слайда 33 ● Свойство 1. Изопериметрическое неравенство: «Из всех замкнутых кривых данн
Описание слайда:

● Свойство 1. Изопериметрическое неравенство: «Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади». Ф1 Ф2 l1=l2, но S1<S2 и S2 – наибольшая.

№ слайда 34 ● Свойство 2. «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ок
Описание слайда:

● Свойство 2. «Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну». А Е О В

№ слайда 35 ● Свойство 3. «Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей и
Описание слайда:

● Свойство 3. «Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры». О 1 О2 Е

№ слайда 36 ● Свойство 4. «Длину окружности радиуса R можно вычислить по формуле C = 2πR»
Описание слайда:

● Свойство 4. «Длину окружности радиуса R можно вычислить по формуле C = 2πR». ● Свойство 5. «Площадь круга можно вычислить по формуле S=πR²». ● Свойство 6. «Длина дуги окружности радиуса R, образованного центральным углом φ, измеренным в радианах, можно вычислить по формуле L = Rφ».

№ слайда 37 ● Свойство 7. « Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых
Описание слайда:

● Свойство 7. « Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями». В М К О Н Р

№ слайда 38 ● Свойство 8. «Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне
Описание слайда:

● Свойство 8. «Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими». Е В М К О Н Р А

№ слайда 39 Доказательства. Доказательство свойства 7: Рассмотрим угол АМВ на рис.6. Заме
Описание слайда:

Доказательства. Доказательство свойства 7: Рассмотрим угол АМВ на рис.6. Заметим, что α=½ AB, β=½ KP. По теореме о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. Поэтому АМВ=α+β= =1/2( AB+ KP). Доказательство окончено.

№ слайда 40 Доказательства. Доказательство свойства 8: Рассмотрим угол АМВ на рис.7, обра
Описание слайда:

Доказательства. Доказательство свойства 8: Рассмотрим угол АМВ на рис.7, образованный двумя секущими МА и МВ. Так как α=½ KP, β=½ AB, то по свойству внешнего угла треугольника получаем <АМВ=β-α=1/2( AB- KP) Доказательство окончено.

№ слайда 41 ● Свойство 9. «Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, о
Описание слайда:

● Свойство 9. «Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания». Или иначе. «Радиус, проведенный в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен касательной».

№ слайда 42 А В С О ● Свойство 10. «Отрезки касательных к окружности, проведённых из одн
Описание слайда:

А В С О ● Свойство 10. «Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности».

№ слайда 43 А В С О Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВ– касательная АС – касательная О
Описание слайда:

А В С О Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВ– касательная АС – касательная ОВ=ОС=r Доказать: АВ=АС ; < ВАО= < ОАС.

№ слайда 44  А В С О Доказательство. В ∆АВО и ∆ОСА: 1)
Описание слайда:

А В С О Доказательство. В ∆АВО и ∆ОСА: 1) <ОВА= <ОСА (т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной) 2) ОВ=ОС=r 3) АО - общая Значит, ∆АВО= ∆ОСА (по гипотенузе и катету) . Значит, АВ=АС ; < ВАО= < ОАС.

№ слайда 45 ● Свойство 11. «Угол, образованный двумя касательными, равен разности 180º и
Описание слайда:

● Свойство 11. «Угол, образованный двумя касательными, равен разности 180º и градусной меры меньшей дуги, заключенной в этот угол». O A B n S SA OA; SB OB ASB=180º - AnB

№ слайда 46 ● Свойство 12. «Если две хорды пересекаются, то произведение двух получившихс
Описание слайда:

● Свойство 12. «Если две хорды пересекаются, то произведение двух получившихся отрезков одной хорды равно произведению двух получившихся отрезков другой хорды». Е КО·ОН=МО·ОЕ К Н М О

№ слайда 47 ● Свойство 13. «Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги
Описание слайда:

● Свойство 13. «Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее». ЕНМ= =½( ЕМ + РК) Е М Н К Р

№ слайда 48 ● Свойство 14. «Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее
Описание слайда:

● Свойство 14. «Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину. Обратно: если диаметр проходит через середину хорды, то он ей перпендикулярен».

№ слайда 49 ● Свойство 15. «Из двух хорд одной окружности больше та, у которой расстояние
Описание слайда:

● Свойство 15. «Из двух хорд одной окружности больше та, у которой расстояние от середины до центра окружности меньше». О А В К С М Х ОК<ОМ АВ>СХ

№ слайда 50 ● Свойство 16. «Если две дуги равны, то хорды, стягивающие их, тоже равны». O
Описание слайда:

● Свойство 16. «Если две дуги равны, то хорды, стягивающие их, тоже равны». O A B C D m n AmB= CnD AB=CD

№ слайда 51 ● Свойство 17. «Если две хорды параллельны, то дуги, заключенные между концам
Описание слайда:

● Свойство 17. «Если две хорды параллельны, то дуги, заключенные между концами этих хорд, равны». O C m A B n D AB CD AmC = BnD

№ слайда 52 ● Свойство 18. «Если расстояние от середины одной хорды до центра окружности
Описание слайда:

● Свойство 18. «Если расстояние от середины одной хорды до центра окружности равно расстоянию от середины другой хорды до центра окружности, то эти хорды равны». A B C D X Y O OX=OY BC=AD

№ слайда 53 ● Свойство 19. Теорема Архимеда. «Если в дуге круга прямая линия сломана на д
Описание слайда:

● Свойство 19. Теорема Архимеда. «Если в дуге круга прямая линия сломана на две неравные части и опущен на нее из середины этой дуги перпендикуляр, то она разделится пополам». О А В С К Е

№ слайда 54 Теорема Архимеда (а теперь по рисунку) Пусть в круг вписана ломаная линия АВС
Описание слайда:

Теорема Архимеда (а теперь по рисунку) Пусть в круг вписана ломаная линия АВС, состоящая из двух звеньев, и из середины М стягиваемой ею дуги АС опущен перпендикуляр МЕ на большее звено ВС. Тогда этот перпендикуляр делит ломаную на две равные части АВЕ и ЕС. О А В С М Е

№ слайда 55 ● Свойство 20. «Угол, образованный двумя хордами и опирающийся на них централ
Описание слайда:

● Свойство 20. «Угол, образованный двумя хордами и опирающийся на них центральный угол связаны соотношением

№ слайда 56 ● Свойство 21. «Вертикальные углы, образованные двумя хордами, равны полусумм
Описание слайда:

● Свойство 21. «Вертикальные углы, образованные двумя хордами, равны полусумме дуг, на которые они опираются». O A B C D n m

№ слайда 57 ● Свойство 22. «Центральный угол имеет ту же градусную меру, что и дуга, на к
Описание слайда:

● Свойство 22. «Центральный угол имеет ту же градусную меру, что и дуга, на которую он опирается». / АОВ= АСВ О А В С

№ слайда 58 ● Свойство 23. « Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
Описание слайда:

● Свойство 23. « Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается ». А О В С АСВ=0,5 АМВ

№ слайда 59 Доказательство. Дано: окр.(О;r) ;
Описание слайда:

Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; <АВС – вписанный. Доказать: <АВС = ½ АС Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС. О А В С

№ слайда 60 1)Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например, со стороной ВС АОС=
Описание слайда:

1)Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например, со стороной ВС АОС= АС(т.к. центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается) АВО: АО=ОВ=r О А В С АВО - равнобедренный < АВО= <ВАО (по свойству равнобедренного треугольника) АОС= АВО+ ВАО=2 АВО <АОС= АС <АВС= ½ АС

№ слайда 61 2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. АС= АК + КС &lt; АВС= АВК+ КВС Но
Описание слайда:

2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. АС= АК + КС < АВС= АВК+ КВС Но <АВК= ½АК <КВС= ½КС О А В С К <АВС=½ АКС

№ слайда 62 3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла
Описание слайда:

3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла. АВС= АВК- СВК АС= АК- СК АВК= ½ АК СВК= ½ СК О А В С К <АВС=½ АС

№ слайда 63 ● Свойство 24. «Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на т
Описание слайда:

● Свойство 24. «Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, либо дополняет его половину до 180º». А О В С

№ слайда 64 Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВС – вписанный, АОС - центральный Доказать
Описание слайда:

Доказательство. Дано: окр.(О;r) ; АВС – вписанный, АОС - центральный Доказать: О А В С

№ слайда 65 Доказательство. Рассмотрим ∆АВС . Он вписан в данную окружность. В силу равен
Описание слайда:

Доказательство. Рассмотрим ∆АВС . Он вписан в данную окружность. В силу равенства радиусов ∆АОС и ∆ВОС - равнобедренные, поэтому АСО= САО и ВСО= СВО, поэтому С= АСО+ ВСО= САО+ СВО. В треугольнике АВС запишем сумму углов: С+ В+ А=180о разложим: C+ CАО+ СВО+ ОАВ+ ОВА=2 С+ ОАВ+ ОВА=180о (1). Теперь запишем сумму углов треугольнике АОВ: АОВ+ ОАВ+ ОВА=180о (2), приравняем уравнения (1) и (2): 2 С+ ОАВ+ ОВА= АОВ+ ОАВ+ ОВА, 2 С= АОВ. Доказательство окончено. О В С А

№ слайда 66 ● Свойство 25. «Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны».
Описание слайда:

● Свойство 25. «Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны». Т.е

№ слайда 67 ● Свойство 26. «Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой». И обратное
Описание слайда:

● Свойство 26. «Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой». И обратное тоже верно: «Если вписанный в окружность угол прямой, то он опирается на диаметр этой окружности». О С Х У

№ слайда 68 ● Свойство 26. (другая формулировка) «Вписанный угол, опирающийся на дугу дли
Описание слайда:

● Свойство 26. (другая формулировка) «Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°». В С А О

№ слайда 69 ● Свойство 27. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны».
Описание слайда:

● Свойство 27. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны». О А В С Х У

№ слайда 70 ● Свойство 28. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершин
Описание слайда:

● Свойство 28. «Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны». О А В С Х У

№ слайда 71 ● Свойство 29. «Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины
Описание слайда:

● Свойство 29. «Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180º». О А В С К ВАК+ ВСК=180

№ слайда 72 « Если обе стороны угла, вершина которого находится вне окружности, пересека
Описание слайда:

« Если обе стороны угла, вершина которого находится вне окружности, пересекают эту окружность, то градусная мера такого угла равна половине разности большей дуги, стягиваемой углом, и меньшей дуги ». O A n B C m Z S ASB= ½ ( AnB - CmZ) ● Свойство 30.

№ слайда 73 ● Свойство 31. Теорема о квадрате касательной: «Если из точки, лежащей вне кр
Описание слайда:

● Свойство 31. Теорема о квадрате касательной: «Если из точки, лежащей вне круга, проведены секущие MB, МУ и касательная МС, то справедливы равенства МC ² = МВ·МА МА ·МВ=МК ·МУ ». О С М В А К У

№ слайда 74 ● Свойство 32. «Окружность является коническим сечением и частным случаем эл
Описание слайда:

● Свойство 32. «Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса». О О

№ слайда 75  § 6. Уравнение окружности.
Описание слайда:

§ 6. Уравнение окружности.

№ слайда 76 Уравнение окружности в декартовой системе координат. 1) Окружность с централ
Описание слайда:

Уравнение окружности в декартовой системе координат. 1) Окружность с центральной точкой М(хМ;уМ) и радиусом r описывается следующим уравнением: 2) Если M есть начало координат, то уравнение принимает вид:

№ слайда 77 (продолжение) 3) В декартовой системе координат окружность не является график
Описание слайда:

(продолжение) 3) В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций: 4) Если yM = xM = 0, то функции принимают вид

№ слайда 78 (продолжение) 5) Другую возможность описать окружность с помощью декартовых к
Описание слайда:

(продолжение) 5) Другую возможность описать окружность с помощью декартовых координат даёт параметрическое представление: где .

№ слайда 79 Уравнение окружности на комплексной плоскости. На комплексной плоскости окру
Описание слайда:

Уравнение окружности на комплексной плоскости. На комплексной плоскости окружность задается формулой: Или в параметрическом виде:

№ слайда 80  Глава 3. Окружность Аполлония.
Описание слайда:

Глава 3. Окружность Аполлония.

№ слайда 81 Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расст
Описание слайда:

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

№ слайда 82 Пусть на плоскости даны две точки A и B. Рассмотрим все точки M этой плоскос
Описание слайда:

Пусть на плоскости даны две точки A и B. Рассмотрим все точки M этой плоскости, до каждой из которых | MA | = k | MB | , где k — фиксированное положительное число. При k = =1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку AB; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

№ слайда 83  Глава 4. Единичная окружность. О у х 1
Описание слайда:

Глава 4. Единичная окружность. О у х 1

№ слайда 84 Определение единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с рад
Описание слайда:

Определение единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства (n > 2). В таком случае используется термин «единичная сфера». у х 1 О

№ слайда 85 Уравнение единичной окружности. Все тригонометрические функции, сконструирова
Описание слайда:

Уравнение единичной окружности. Все тригонометрические функции, сконструированные геометрически к углу α в единичном кругу. Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку (x;y) на единичной окружности с началом координат (0;0), мы получаем отрезок, находящийся под углом α относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно: Cos α = x Sin α = y Подставив эти значения в выше указаное уравнение, мы получаем: cos²α + sin²α = 1 - основное тригонометрическое тождество.

№ слайда 86  Глава 5. Длина окружности.
Описание слайда:

Глава 5. Длина окружности.

№ слайда 87 Что такое число П ? Диаметр на оси х является отображением двух полуокружнос
Описание слайда:

Что такое число П ? Диаметр на оси х является отображением двух полуокружностей на оси координат. Если мы проведем из каждой точки диаметра параллельные прямые, то они пересекутся в соответствующих точках на полуокружностях данной окружности . Каждая точка на диаметре будет иметь соответствующую ей точку на полуокружности, и наоборот.

№ слайда 88 Поэтому с этой стороны, количество точек на диаметре равно количеству точек
Описание слайда:

Поэтому с этой стороны, количество точек на диаметре равно количеству точек на окружности. И получается, что длина окружности равна диаметру. Но мы также знаем, что длина окружности и диаметра несоизмеримы, и потому они не могут быть равны друг другу. И, таким образом получается, что в непосредственном отношении, в реальности, длина окружности и диаметр несоизмеримы, и потому не равны, а в отображении их на плоскости они равны друг другу. Поэтому была введена особая величина - число π. И тогда длина окружности L может определяться отношением произведения величины π на диаметр окружности, или на двойной радиус. В символической записи:

№ слайда 89 Итак, определение числа π. Число π — математическая константа, выражающая от
Описание слайда:

Итак, определение числа π. Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «π». Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — «окружность», периферия и περίμετρος — «периметр». Приближенное значение π – это 3,14.

№ слайда 90 Длина дуги, соответствующая центральному углу в α°, вычисляется по формуле У
Описание слайда:

Длина дуги, соответствующая центральному углу в α°, вычисляется по формуле Угол в α радиан стягивает дугу длиной Длина дуги окружности. О l α

№ слайда 91  Глава 6. Площадь круга.
Описание слайда:

Глава 6. Площадь круга.

№ слайда 92 Площадь круга вычисляется по формуле Площадь кругового сектора Вычисляется п
Описание слайда:

Площадь круга вычисляется по формуле Площадь кругового сектора Вычисляется по формуле R – радиус круга, d – диаметр круга, L – длина окружности, ограничивающей круг. Площадь круга и кругового сектора. О R

№ слайда 93 Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле R – радиус круга, S∆ – пло
Описание слайда:

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле R – радиус круга, S∆ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор, Знак «−» надо брать, когда α < 180°, а знак «+», когда α > 180°. Площадь кругового сегмента.

№ слайда 94 Площадь кругового кольца вычисляется по формуле R , r – внешний и внутренний
Описание слайда:

Площадь кругового кольца вычисляется по формуле R , r – внешний и внутренний радиусы, D, d – внешний и внутренний диаметры, к – ширина кольца, - средний радиус. Площадь кругового кольца.

№ слайда 95  Глава 7. Деление окружности на части.
Описание слайда:

Глава 7. Деление окружности на части.

№ слайда 96 Деление окружности на любое количество равных частей Для деления окружности н
Описание слайда:

Деление окружности на любое количество равных частей Для деления окружности на любое количество равных частей можно воспользоваться коэффициентами. Зная, на какое число n следует разделить окружность, находят коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр D этой окружности, получают длину хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз.

№ слайда 97 Важное замечание. Но т.к. П – иррациональное число, то и коэффициенты получаю
Описание слайда:

Важное замечание. Но т.к. П – иррациональное число, то и коэффициенты получаются приближенными. Для более точного деления используются циркуль и линейка. В справочной литературе можно найти таблицы значений коэффициента к.

№ слайда 98 Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей . Деление окружно
Описание слайда:

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей . Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности: Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3; Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части; Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6; Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей; Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 8 пересекут окружность в точках 9, 10, 11 и 12; Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.

№ слайда 99 Деление окружности на пять равных частей. Деление окружности на пять равных ч
Описание слайда:

Деление окружности на пять равных частей. Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности: Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию; Из основания перпендикуляра - точки С, радиусом равным С1, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D; Из точки 1 радиусом равным D1, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности; Точки 3, 4 и 5 находят откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные D1.

№ слайда 100 Деление окружности на семь равных частей Деление окружности на семь равных ча
Описание слайда:

Деление окружности на семь равных частей Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности: Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В; Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию; Длину перпендикуляра ВС откладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7.

№ слайда 101 Деление окружности на восемь равных частей . Деление окружности на восемь рав
Описание слайда:

Деление окружности на восемь равных частей . Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности: Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1,2,3,4 делят ее на четыре равные части; Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы  прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

№ слайда 102 Дополнительный способ деления окружности на n равных частей. Окружность соста
Описание слайда:

Дополнительный способ деления окружности на n равных частей. Окружность составляет 360. Чтобы разделить ее на n частей, надо 360 разделить на n и отложить от радиуса с помощью транспортира полученное количество градусов n раз.

№ слайда 103  Глава 8. Открытие Коперника.
Описание слайда:

Глава 8. Открытие Коперника.

№ слайда 104 Родился: 19.02.1473, ТОРУНЬ Умер: 24.05.1543, ФРОМБОРК Польский астроном, со
Описание слайда:

Родился: 19.02.1473, ТОРУНЬ Умер: 24.05.1543, ФРОМБОРК Польский астроном, создатель гелиоцентрической системы мира, реформатор астрономии. После смерти отца воспитывался у дяди по матери Лукаша Ваченроде - епископа Вармийской епархии. Учился в Краковском ун-те (1491-1495), Основной труд Коперника "О вращениях небесных сфер" был напечатан в мае 1543 г., когда он был уже при смерти. Книга была снабжена анонимным предисловием, которое, как установил позднее И.Кеплер, было написано лютеранским богословом Осиандером. Последний, желая завуалировать прямые противоречия между Библией и учением Коперника, пытался представить его только как "удивительную гипотезу", не связанную с действительностью, но упрощающую вычисления. Однако истинное значение системы Коперника не только для астрономии, но и для науки вообще, было вскоре широко понято. Коперник установил, что окружность, которая катится по окружности вдвое большего радиуса, находясь внутри нее, каждой своей точкой описывает прямую.

№ слайда 105  Положение хорды меньшей окружности во время движения.
Описание слайда:

Положение хорды меньшей окружности во время движения.

№ слайда 106  Глава 9. «Окружность вокруг нас».
Описание слайда:

Глава 9. «Окружность вокруг нас».

№ слайда 107 Обручальное кольцо. Обручальное кольцо символизирует целостность и единство.
Описание слайда:

Обручальное кольцо. Обручальное кольцо символизирует целостность и единство. Оно не имеет ни начала, ни конца, поэтому часто ассоциируется с вечностью и бесконечностью. Его центральное отверстие - это место прохождения небесной силы, божественного дыхания. Кольцо символизирует связь, союз или обет. Вот почему обручальное кольцо используется для обозначения вечного союза двух сердец, как знак супружеской верности, семейного равновесия.

№ слайда 108 Кольцо. Бесконечность, обернувшаяся вокруг пальца, издавна являлась символом
Описание слайда:

Кольцо. Бесконечность, обернувшаяся вокруг пальца, издавна являлась символом власти. Это знак принадлежности к определенному кругу, особого положения. Владельца кольца можно рассматривать как обладателя собственной вселенной, которую он носит с собой. Потому оно служило непременным атрибутом чародеев, жрецов и королей. Считается, что у царя Соломона был магический перстень, с помощью которого он мог повелевать ангелами, демонами, всеми стихиями и духами природы.

№ слайда 109 Олимпийские кольца. Первоначально предлагалось сделать символом олимпиад пят
Описание слайда:

Олимпийские кольца. Первоначально предлагалось сделать символом олимпиад пятиконечную звезду, но, в последний момент, его модифицировали: пять остроконечных концов звезды заменили пятью кольцами, по мнению организаторов, лучше отражающими дух участия и гармонию игр.

№ слайда 110  Машиностроение Медицина
Описание слайда:

Машиностроение Медицина

№ слайда 111  Архитектура Физика
Описание слайда:

Архитектура Физика

№ слайда 112  Строительство.
Описание слайда:

Строительство.

№ слайда 113  Цирковая арена.
Описание слайда:

Цирковая арена.

№ слайда 114 Окружность в пентограммах. ● Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме - т
Описание слайда:

Окружность в пентограммах. ● Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник. Пентаграмма — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте. Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

№ слайда 115 Окружность в пентограммах (продолжение). ● Для построения пентаграммы необхо
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). ● Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник (рис. а). Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму.

№ слайда 116 Окружность в пентограммах (продолжение). Пентаграмма представляет собой вмес
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники и так до бесконечности. Соединив диагонали квадратов, можно получить бесконечную, не имеющую начала спираль золотого сечения .

№ слайда 117 Окружность в пентограммах (продолжение). Спираль, построенная на основании р
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). Спираль, построенная на основании ряда Фибоначчи, разворачиваясь, приближается к спирали золотого сечения, но, в отличие от спирали золотого сечения, имеет начало.

№ слайда 118 Окружность в пентограммах (продолжение). Рассмотрим построение спиральной ли
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). Рассмотрим построение спиральной линии. На листе бумаги чертится золотой прямоугольник со сторонами, равными 8 и 5 см. Внутри прямоугольника с левой стороны выделяется квадрат 5 X 5 см. Справа образуется уменьшенный золотой прямоугольник со сторонами 5 и 3 см. В этом прямоугольнике также строится квадрат со сторонами 3 см. Далее строим соответственно квадрат со стороной 2 см. В конце остаются два квадрата со сторонами 1 см. Всего получается шесть равномерно уменьшающихся квадратов, вписанных в золотой прямоугольник. Затем, последовательно устанавливая циркуль в точки A, B, C, D, E, проводим дуги в каждом из квадратов. Спиральная линия на основе чисел Фибоначчи построена.

№ слайда 119 Окружность в пентограммах (продолжение). Сравнение этих двух моделей отражае
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). Сравнение этих двух моделей отражает соотношение между идеальным (спираль золотого сечения) и реальным (спираль на основе ряда Фибоначчи) мирами.

№ слайда 120 Окружность в пентограммах (продолжение). Картина «Святое семейство» Микеланд
Описание слайда:

Окружность в пентограммах (продолжение). Картина «Святое семейство» Микеланджело  признана одним из шедевров  западноевропейского искусства эпохи  Возрождения. Гармонический анализ показал,  что композиция картины основана на  пентаграмме.

№ слайда 121 Круги Эйлера. Задача.   В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математ
Описание слайда:

Круги Эйлера. Задача.   В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11-в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

№ слайда 122 Круги Эйлера (продолжение). Решение.  Изобразим эти кружки на рисунке. Можно
Описание слайда:

Круги Эйлера (продолжение). Решение.  Изобразим эти кружки на рисунке. Можно, например, начертить в школьном дворе большой круг, а в нём два поменьше как на рисунке. В левый круг, обозначенный буквой М ,поместим всех математиков, а в правый обозначенный буквой Б ,всех биологов. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной буквами МБ ,окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Остальных ребят, а их 10,попросим не выходить из внешнего круга, самого большого. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35-10=25 ребят. Внутри "математического" круга М находятся 20 ребят, значит, в той части "биологического" круга, которая расположена вне круга М ,находятся 25-20=5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11-5=6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом,6 биологов увлекаются математикой.

№ слайда 123  Глава 10. «Практическое применение окружности».
Описание слайда:

Глава 10. «Практическое применение окружности».

№ слайда 124 Автомобиль массой 5 т движется по выпуклому мосту со скоростью 36 км/ч. С ка
Описание слайда:

Автомобиль массой 5 т движется по выпуклому мосту со скоростью 36 км/ч. С какой силой автомобиль давит на середину моста, если радиус кривизны моста составляет 50 м? С какой минимальной скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы он не действовал на мост в верхней точке? Задача №1.

№ слайда 125 Дано: m = 5 т = 5000 кг v=36 км/ч = 10 м/с R=50 м Найти: P-?, Vmin-? N mg Y
Описание слайда:

Дано: m = 5 т = 5000 кг v=36 км/ч = 10 м/с R=50 м Найти: P-?, Vmin-? N mg Y О R aц

№ слайда 126 Решение. N mg Y О R aц N+mg=ma N= m(g- a), -N+mg=ma P=50(10-2)=40 000Н=40 кН
Описание слайда:

Решение. N mg Y О R aц N+mg=ma N= m(g- a), -N+mg=ma P=50(10-2)=40 000Н=40 кН. P= -N Р= m(g- ), P=0,если g= , =22,3 м/с Ответ: P=40 кН, V=22,3 м/с

№ слайда 127 Определить длину кружева, которое потребуется для отделки 5000 круглых салфе
Описание слайда:

Определить длину кружева, которое потребуется для отделки 5000 круглых салфеток радиуса 10 см. Задача №2. 10см

№ слайда 128 С=2πR , значит, С=2·3,14·10=62,8 (см)- столько потребуется кружева для отдел
Описание слайда:

С=2πR , значит, С=2·3,14·10=62,8 (см)- столько потребуется кружева для отделки одной салфетки. 2) 62,8·5000=314000 (см)=3140 (м)- столько потребуется кружева для отделки всех салфеток. Ответ: 3140 метров. Решение: 10см

№ слайда 129 Определить максимальную длину верёвки, которая необходима, чтобы бурёнка, пр
Описание слайда:

Определить максимальную длину верёвки, которая необходима, чтобы бурёнка, привязанная к колышку, не выходила за границу круглой лужайки длиной 150м. В противном случае, она съест все цветы. Вокруг лужайки имеется неглубокий песчаный ров шириной 1,2 м. Туда буренка может заходить. Задача №3.

№ слайда 130
Описание слайда:

№ слайда 131 С=2πR , значит, 150=2·3,14·R, значит, R=150:2:3,14, значит, R 23,88… (м)- та
Описание слайда:

С=2πR , значит, 150=2·3,14·R, значит, R=150:2:3,14, значит, R 23,88… (м)- таков радиус лужайки. 23,88…+1,2=25,088…(м) 25 (м) – такой должна быть длина веревки. Ответ: 25 метров. Решение:

№ слайда 132 Ученики нашего класса решили на пришкольной территории создать цветочную клу
Описание слайда:

Ученики нашего класса решили на пришкольной территории создать цветочную клумбу, имеющую форму круга радиусом 1,5 м. 25% клумбы решили засеять тюльпанами, 45% - бархатцами, а все оставшееся – ромашками. Сколько нам потребуется закупить семян бархатцев и ромашек, а также луковиц тюльпанов, если по рекомендациям садоводов – огородников на 1 м² требуется примерно 15 г семян ромашки, 18 г семян бархатцев и 10 луковиц тюльпанов? Задача №4.

№ слайда 133  Иллюстрация к задаче.
Описание слайда:

Иллюстрация к задаче.

№ слайда 134 Решение: 360:100=3,6 (º) – столько приходится на 1%. 3,6·25=90(º) – столько
Описание слайда:

Решение: 360:100=3,6 (º) – столько приходится на 1%. 3,6·25=90(º) – столько приходится на 25%, т.е. такую часть клумбы засеют тюльпанами. 3,6·45=162(º) – столько приходится на 45%, т.е. такую часть клумбы засеют бархатцами. (3,14·1,5²·90):360=1,77 (м²) – такая площадь всей клумбы будет засеяна тюльпанами. 1,77·10=17,7 (луковиц) – столько потребуется луковиц тюльпанов. (3,14·1,5²·162):360=3,18 (м²) – такая площадь всей клумбы будет засеяна бархатцами. 3,18·18=57,24 (г) – столько потребуется семян бархатцев. 360-90-162=108 (º) –такую часть клумбы засеют ромашками. (3,14·1,5²·108):360=2,12 (м²) – такая площадь всей клумбы будет засеяна ромашками. 2,12·15=31,8 (г) - столько потребуется семян ромашки. Ответ: примерно потребуется 18 луковиц тюльпанов, 58 грамм семян бархатцев, 32 грамма семян ромашки.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 10.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров672
Номер материала ДВ-515712
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх