Презентация по геометрии " ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ"

• 1 слайд

  ПЛАНИМЕТРИЯ
  НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ
  Презентация выполнена по материалам статьи И.К. Варшавского, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазкова
  в журнале « Математика в школе»
  №2, 2001г.
  
  

• 2 слайд

  Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла.
  Напомним, что в этом случае
  Центр окружности лежит на биссектрисе угла (О ϵ b).
  Отрезки, соединяющие точки качания с центром окружности, являются ее радиусами и перпендикулярны к сторонам угла (ОА = ОС = r, ОА ﬩ ВА, ОС ﬩ ВС).
  Равны расстояния от вершины угла до точек касания (ВА=ВС).
  ∠АВС + ∠АОС = 180˚.
  Даже этот краткий перечень свойств позволяет решать большое количество разнообразных задач.
  
  

• 3 слайд

  Пример 1
  
  Так как ОА ﬩ ВА, то в треугольнике АВО АВ= =24. Тогда ВА = 24.
  В треугольнике АВС отрезок ВН – биссектриса и ВА = ВС, следовательно, ВН ﬩ АС и АН = СН.
  Найдем высоту АН прямоугольного треугольника АВО: АН · ВО = ВА · ОА, значит, = 6,72. Тогда АС = 2АН = 13,44.
  Ответ: 13,44.
  
  Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус окружности равен 7, ВО = 25. Найдите АС.
  Решение
  

• 4 слайд

  Пример 2
  Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус окружности равен 6, ВО = 2АО. Найдите площадь треугольника АОС.
  Решение
  Прежде всего отметим, что на чертеже к данной задаче совсем необязательно изображать окружность, поскольку важно представить лишь взаимное расположение отрезков и точек.
  В прямоугольнике АВО ВО = 2АО, следовательно, ∠АВО = 30˚. Отсюда получаем: ∠АВС=2∠АВО=60˚ и ∠АОС = 180˚- 60˚ = 120˚.
  SАОС = АО · СО · = · 36 · = 9 .
  Ответ: 9 .
  
  

• 5 слайд

  Пример 3
  Отрезок ВО – биссектриса треугольника АВМ, следовательно, ВА : АО = ВМ : МО = 18 : 9 = 2 : 1.
  Пусть АО = x, тогда АВ = 2х, и в прямоугольном треугольнике АВМ: 182 = (х + 9)2 + (2х)2. Далее получаем: 5х2 + 18х - 243 = 0. Положительный корень уравнения равен 5,4. Следовательно, АО = 5,4, ВА = 10,8.
  SВОМ = ВА · ОМ = · 10,8 · 9 = 48,6.
  Ответ: 48,6.
  
  Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Лучи АО и ВС пересекаются в точке М, ОМ = 9, ВМ = 18. Найдите площадь ВОМ.
  Решение
  

• 6 слайд

  Пример 4
  Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Отрезок ВО пересекает окружность в точке К. Найдите периметр четырехугольника АКСО, если ∠В = 60˚, ВК = 12.
  Решение
  Пусть КО = r. В прямоугольном треугольнике АВО ∠АВО= АВС=30˚, следовательно, ВК + КО = 2АО, т.е. ВК + r = 2r. Отсюда получаем: r = ВК = 12.
  В прямоугольном треугольнике АВО ∠АОВ = 90˚ - ∠АВО = 60˚. Так как в треугольнике АОК ∠О = 60˚ и АО = ОК, то треугольник равносторонний. Значит, АК = r = 12.
  Аналогично получаем, что СК = r = 12.Итак, периметр четырехугольника АКСО равен 48.
  Ответ: 48.
  
  

• 7 слайд

  Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то она касается сторон всех его углов, поэтому на основе перечисленных выше свойств окружности, вписанной в угол, получаем:
  Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника (четырехугольника).
  Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны к сторонам треугольника (четырехугольника).
  Равны расстояния от вершины угла до точек касания.
  

• 8 слайд

  Пример 5
  Данная Окружность касается сторон угла А в точках Т и М, следовательно, АТ = АМ. Тогда ВТ = АВ – АТ = АС – АМ = МС.
  Пусть окружность касается стороны ВС в точке Н. Тогда ВТ = ВН и СМ = СН. Следовательно, ВН = ВТ = СМ = СН = 14 : 2 = 7 и АТ = АМ = 25 – 7 = 18.
  Так как равнобедренные треугольники АТМ и АВС подобны (почему?), имеем: = . Следовательно, ТМ = = = 10,08.
  
  Решение
  Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается его боковых сторон АВ и АС в точках Т и М соответственно. Найдите ТМ, если АВ = 25, ВС = 14.
  Ответ: 10,08.
  

• 9 слайд

  Пример 6
  Луч ВМ = биссектриса угла В, значит, АМ : СМ = АВ : СВ = 5 : 3. Пусть АМ = 5х, тогда СМ = 3х и АС = 8х.
  Треугольники АТМ и АВС подобны (почему?), следовательно = , т.е. ТМ = = 3,75.
  Ответ: 3,75.
  
  В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Лучи ВО и СО пересекают стороны АС и АВ в точках М и Т соответственно. Найдите МТ, если АВ = АС = 10, ВС = 6.
  Решение
  

• 10 слайд

  Пример 7
  Пусть луч АО пересекает сторону ВС в точке Н, тогда отрезок АН - биссектриса треугольника АВС. По условию АВ = АС, следовательно, ВН = НС = 8 и АН ﬩ ВС.
  В прямоугольном треугольнике АВН
  АН = = 6.
  Луч ВО – биссектриса угла В, а, значит, отрезок ВО – биссектриса треугольника АВН, поэтому АО : ОН = АВ : ВН = 5 : 4. Пусть АО = 5х, тогда ОН = 4х и АН = 9х.
  Треугольники АТО и АВН подобны (почему?), следовательно, = . Отсюда получаем: ТО = = = . Значит, ТМ = = 8 .
  Ответ: 8 .
  
  В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Прямая, проходящая через точку О параллельно прямой ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках М и Т соответственно. Найдите МТ, если АВ = АС = 10, ВС = 16.
  Решение
  

• 11 слайд

  .
  Пример задачи № 7, как и многие геометрические задачи, можно решить несколькими способами. Например, для вычисления отрезка ОН можно использовать формулы S = pr и S = , где S - площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности, h - высота треугольника, а – сторона, к которой проведена высота h.
  Замечание. Возвращаясь к чертежам задач 5, 6 и 7, отметим, что на каждом из них точка М располагается иначе, чем в других задачах (рис. 9). Особенно важно помнить, что в общем случае точка пересечения стороны с биссектрисой треугольника (M1) и точка касания стороны с вписанной окружностью (М2) не совпадают. Их совпадение возможно только на основании равнобедренного треугольника (точка Н).
   
  
  Еще одно интересное соотношение для радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, легко получить, применяя подобие.
  Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Центр окружности лежит на биссектрисе АН, являющейся также высотой и медианой треугольника. Прямоугольные треугольники АОТ и АВН подобны (почему?), следовательно, ТО : ВН = АТ : АН. Из пропорции получаем r = . Аналогично получается формула r = .
  

• 12 слайд

  Задачи для самостоятельного решения
  Задача 1. Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной А в точке О и пересекает его вторую сторону в точке С. Найдите радиус окружности, если АВ = 4, АС = 8.
  Задача 2. Из точки М к окружности с центром О проведены прямая МО и касательная МА (А – точка касания). Из точки А к прямой МО проведен перпендикуляр АВ. Найдите расстояние от точки М до центра, если АМ = 40 и АВ = 24.
  Задача 3. Через точку внутри круга радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 16 и 12. Найдите расстояние между серединами хорд.
  Задача 4. Две параллельные хорды окружности отсекают от нее дуги в 90˚. Длина одной из хорд равна 8. Найдите расстояние между хордами.
  Задача 5. Через середину радиуса окружности проведена перпендикулярная ему хорда. Найдите градусную меру меньшей из дуг, на которые окружность делится проведенной хордой.
  Задача 6. Основание равнобедренного треугольника вдвое меньше его боковой стороны, а высота, проведенная к основанию, равна 10. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.
  Задача 7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках M и N. Точка М делит сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника. Найдите MN.
  

• 13 слайд

  Опыт работы показывает, что
  методика, предложенная авторами, очень
  помогает при подготовке к
  ЕГЭ по математике.
  Учитель: Гудкова В.Д.