1734448
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокГеометрияПрезентацииПрезентация по геометрии " ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ"

Презентация по геометрии " ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ"

библиотека
материалов
ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ Презентация выполнена по матер...
Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла. Напомним,...
Пример 1 Так как ОА ﬩ ВА, то в треугольнике АВО АВ= =24. Тогда ВА = 24. В тре...
Пример 2 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус...
Пример 3 Отрезок ВО – биссектриса треугольника АВМ, следовательно, ВА : АО =...
Пример 4 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Отрезо...
Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то она касается с...
Пример 5 Данная Окружность касается сторон угла А в точках Т и М, следователь...
Пример 6 Луч ВМ = биссектриса угла В, значит, АМ : СМ = АВ : СВ = 5 : 3. Пуст...
Пример 7 Пусть луч АО пересекает сторону ВС в точке Н, тогда отрезок АН - бис...
. Пример задачи № 7, как и многие геометрические задачи, можно решить несколь...
Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Окружность касается одной сторо...
Опыт работы показывает, что методика, предложенная авторами, очень помогает...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ Презентация выполнена по матер
Описание слайда:

ПЛАНИМЕТРИЯ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ Презентация выполнена по материалам статьи И.К. Варшавского, М.Я.Гаиашвили, Ю.А.Глазкова в журнале « Математика в школе» №2, 2001г.

2 слайд Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла. Напомним,
Описание слайда:

Во многих задачах встречается окружность, касающаяся сторон угла. Напомним, что в этом случае Центр окружности лежит на биссектрисе угла (О ϵ b). Отрезки, соединяющие точки качания с центром окружности, являются ее радиусами и перпендикулярны к сторонам угла (ОА = ОС = r, ОА ﬩ ВА, ОС ﬩ ВС). Равны расстояния от вершины угла до точек касания (ВА=ВС). ∠АВС + ∠АОС = 180˚. Даже этот краткий перечень свойств позволяет решать большое количество разнообразных задач.

3 слайд Пример 1 Так как ОА ﬩ ВА, то в треугольнике АВО АВ= =24. Тогда ВА = 24. В тре
Описание слайда:

Пример 1 Так как ОА ﬩ ВА, то в треугольнике АВО АВ= =24. Тогда ВА = 24. В треугольнике АВС отрезок ВН – биссектриса и ВА = ВС, следовательно, ВН ﬩ АС и АН = СН. Найдем высоту АН прямоугольного треугольника АВО: АН · ВО = ВА · ОА, значит, = 6,72. Тогда АС = 2АН = 13,44. Ответ: 13,44. Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус окружности равен 7, ВО = 25. Найдите АС. Решение

4 слайд Пример 2 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус
Описание слайда:

Пример 2 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Радиус окружности равен 6, ВО = 2АО. Найдите площадь треугольника АОС. Решение Прежде всего отметим, что на чертеже к данной задаче совсем необязательно изображать окружность, поскольку важно представить лишь взаимное расположение отрезков и точек. В прямоугольнике АВО ВО = 2АО, следовательно, ∠АВО = 30˚. Отсюда получаем: ∠АВС=2∠АВО=60˚ и ∠АОС = 180˚- 60˚ = 120˚. SАОС = АО · СО · = · 36 · = 9 . Ответ: 9 .

5 слайд Пример 3 Отрезок ВО – биссектриса треугольника АВМ, следовательно, ВА : АО =
Описание слайда:

Пример 3 Отрезок ВО – биссектриса треугольника АВМ, следовательно, ВА : АО = ВМ : МО = 18 : 9 = 2 : 1. Пусть АО = x, тогда АВ = 2х, и в прямоугольном треугольнике АВМ: 182 = (х + 9)2 + (2х)2. Далее получаем: 5х2 + 18х - 243 = 0. Положительный корень уравнения равен 5,4. Следовательно, АО = 5,4, ВА = 10,8. SВОМ = ВА · ОМ = · 10,8 · 9 = 48,6. Ответ: 48,6. Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Лучи АО и ВС пересекаются в точке М, ОМ = 9, ВМ = 18. Найдите площадь ВОМ. Решение

6 слайд Пример 4 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Отрезо
Описание слайда:

Пример 4 Окружность с центром О касается сторон угла В в точках А и С. Отрезок ВО пересекает окружность в точке К. Найдите периметр четырехугольника АКСО, если ∠В = 60˚, ВК = 12. Решение Пусть КО = r. В прямоугольном треугольнике АВО ∠АВО= АВС=30˚, следовательно, ВК + КО = 2АО, т.е. ВК + r = 2r. Отсюда получаем: r = ВК = 12. В прямоугольном треугольнике АВО ∠АОВ = 90˚ - ∠АВО = 60˚. Так как в треугольнике АОК ∠О = 60˚ и АО = ОК, то треугольник равносторонний. Значит, АК = r = 12. Аналогично получаем, что СК = r = 12.Итак, периметр четырехугольника АКСО равен 48. Ответ: 48.

7 слайд Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то она касается с
Описание слайда:

Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то она касается сторон всех его углов, поэтому на основе перечисленных выше свойств окружности, вписанной в угол, получаем: Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника (четырехугольника). Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны к сторонам треугольника (четырехугольника). Равны расстояния от вершины угла до точек касания.

8 слайд Пример 5 Данная Окружность касается сторон угла А в точках Т и М, следователь
Описание слайда:

Пример 5 Данная Окружность касается сторон угла А в точках Т и М, следовательно, АТ = АМ. Тогда ВТ = АВ – АТ = АС – АМ = МС. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Н. Тогда ВТ = ВН и СМ = СН. Следовательно, ВН = ВТ = СМ = СН = 14 : 2 = 7 и АТ = АМ = 25 – 7 = 18. Так как равнобедренные треугольники АТМ и АВС подобны (почему?), имеем: = . Следовательно, ТМ = = = 10,08. Решение Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается его боковых сторон АВ и АС в точках Т и М соответственно. Найдите ТМ, если АВ = 25, ВС = 14. Ответ: 10,08.

9 слайд Пример 6 Луч ВМ = биссектриса угла В, значит, АМ : СМ = АВ : СВ = 5 : 3. Пуст
Описание слайда:

Пример 6 Луч ВМ = биссектриса угла В, значит, АМ : СМ = АВ : СВ = 5 : 3. Пусть АМ = 5х, тогда СМ = 3х и АС = 8х. Треугольники АТМ и АВС подобны (почему?), следовательно = , т.е. ТМ = = 3,75. Ответ: 3,75. В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Лучи ВО и СО пересекают стороны АС и АВ в точках М и Т соответственно. Найдите МТ, если АВ = АС = 10, ВС = 6. Решение

10 слайд Пример 7 Пусть луч АО пересекает сторону ВС в точке Н, тогда отрезок АН - бис
Описание слайда:

Пример 7 Пусть луч АО пересекает сторону ВС в точке Н, тогда отрезок АН - биссектриса треугольника АВС. По условию АВ = АС, следовательно, ВН = НС = 8 и АН ﬩ ВС. В прямоугольном треугольнике АВН АН = = 6. Луч ВО – биссектриса угла В, а, значит, отрезок ВО – биссектриса треугольника АВН, поэтому АО : ОН = АВ : ВН = 5 : 4. Пусть АО = 5х, тогда ОН = 4х и АН = 9х. Треугольники АТО и АВН подобны (почему?), следовательно, = . Отсюда получаем: ТО = = = . Значит, ТМ = = 8 . Ответ: 8 . В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Прямая, проходящая через точку О параллельно прямой ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках М и Т соответственно. Найдите МТ, если АВ = АС = 10, ВС = 16. Решение

11 слайд . Пример задачи № 7, как и многие геометрические задачи, можно решить несколь
Описание слайда:

. Пример задачи № 7, как и многие геометрические задачи, можно решить несколькими способами. Например, для вычисления отрезка ОН можно использовать формулы S = pr и S = , где S - площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности, h - высота треугольника, а – сторона, к которой проведена высота h. Замечание. Возвращаясь к чертежам задач 5, 6 и 7, отметим, что на каждом из них точка М располагается иначе, чем в других задачах (рис. 9). Особенно важно помнить, что в общем случае точка пересечения стороны с биссектрисой треугольника (M1) и точка касания стороны с вписанной окружностью (М2) не совпадают. Их совпадение возможно только на основании равнобедренного треугольника (точка Н).   Еще одно интересное соотношение для радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, легко получить, применяя подобие. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Центр окружности лежит на биссектрисе АН, являющейся также высотой и медианой треугольника. Прямоугольные треугольники АОТ и АВН подобны (почему?), следовательно, ТО : ВН = АТ : АН. Из пропорции получаем r = . Аналогично получается формула r = .

12 слайд Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Окружность касается одной сторо
Описание слайда:

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной А в точке О и пересекает его вторую сторону в точке С. Найдите радиус окружности, если АВ = 4, АС = 8. Задача 2. Из точки М к окружности с центром О проведены прямая МО и касательная МА (А – точка касания). Из точки А к прямой МО проведен перпендикуляр АВ. Найдите расстояние от точки М до центра, если АМ = 40 и АВ = 24. Задача 3. Через точку внутри круга радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 16 и 12. Найдите расстояние между серединами хорд. Задача 4. Две параллельные хорды окружности отсекают от нее дуги в 90˚. Длина одной из хорд равна 8. Найдите расстояние между хордами. Задача 5. Через середину радиуса окружности проведена перпендикулярная ему хорда. Найдите градусную меру меньшей из дуг, на которые окружность делится проведенной хордой. Задача 6. Основание равнобедренного треугольника вдвое меньше его боковой стороны, а высота, проведенная к основанию, равна 10. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. Задача 7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках M и N. Точка М делит сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника. Найдите MN.

13 слайд Опыт работы показывает, что методика, предложенная авторами, очень помогает
Описание слайда:

Опыт работы показывает, что методика, предложенная авторами, очень помогает при подготовке к ЕГЭ по математике. Учитель: Гудкова В.Д.

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.