Презентация по геометрии в 11 классе по теме:"Вычисление объемов тел вращения через интеграл"

• 1 слайд

  Урок №2
  Вычисление объемов
  тел
  
  Составила учитель математики
  МБОУ «Красногвардейская школа №1»
  Коваленко И.Н.
  

• 2 слайд

  Проблема:
  найти объем мороженицы
  

• 3 слайд

  Тема урока:
  Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла
  

• 4 слайд

  Алгебра
  Определенный интеграл
  Если функция f(x) непрерывна на промежутке числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на данном промежутке называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b.
  
  

• 5 слайд

  У
  х
  y=f(x)
  O
  Определение криволинейной трапеции
  Если функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой у=f(x) на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию.
  Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем.
  a
  b
  Алгебра
  

• 6 слайд

  Определение тела вращения
  Тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг её основания, называется телом вращения
  

• 7 слайд

  У
  х
  y=f(x)
  O
  Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений.
  Любое поперечное сечение тела вращения – круг.
  

• 8 слайд

  Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ,
  а основанием является сечение - круг.
  Радиус круга равен значению функции в хс .
  Площадь этого круга –
  S(x) = π f 2 (xс)
  
  Объём цилиндра –
  V=S(x)∙ Δx
  y=f(x)
  f(xс)
  y
  xс
  r
  

• 9 слайд

  Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем всего ступенчатого тела равен сумме объёмов всех цилиндров.
  

• 10 слайд

  Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ:
  
  
  
  
  Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x) на отрезке [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле:
  Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞ равен определенному интегралу.
  x
  y=f(x)
  y
  

• 11 слайд

  Замечание!
  Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:
  
  
  ,если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.
  
  
  
  , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.
  
  

• 12 слайд

  Алгоритм решения задач:
  Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой образуется тело вращения;
  Найти пределы интегрирования;
  Выяснить какой формулой удобно пользоваться в данном случае;
  Вычислить объем тела вращения.
  
  

• 13 слайд

  Задача.
  Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ.
  Найдите объём тела вращения.
  у=х2
  у
  О
  х
  2
  

• 14 слайд

  Задача.
  Пусть тело образовано вращением функции у=0,5x на отрезке [0;4] вокруг оси ОХ.
  Найдите объём тела вращения.
  y
  O
  x
  4
  

• 15 слайд

  
  Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке, построенной по проекту русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. А спутниковые антенны состоят из параболоидов вращения
  
  

• 16 слайд

  
  Задача.
  Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;4] вокруг оси ОУ.
  Найдите объём тела вращения.(параболоид)
  
  

• 17 слайд

  Решение проблемы:
  Как найти объем мороженицы?
  Поверхность тела
  получена вращением фигуры, образованной графиками функций:
  

• 18 слайд

  Решение:
  

• 19 слайд

  Схема решения
  

• 20 слайд

  Вычисление определённых
  интегралов
  

• 21 слайд

  Итог урока:
  Я удивился ….
  Я умею …
  Я точно знаю, что ….
  Я запомнил ….
  Я понял ….
  Мне было ….
  

• 22 слайд

  Домашнее задание:
  п.78, выучить основные формулы;
  № 674, № 675