Презентация по геометрии "Векторы в пространстве"

• 1 слайд

  Векторы в пространстве.
  Геометрия,
  10 класс.
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Лесків Ольга, студентка 5 курса
  

• 2 слайд

  Как и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленый отрезок:
  A
  B
  Точка А – начало вектора, В – конец вектора. Записывают: или .
  a
  Произвольную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с концевой точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или . А
  Длина отрезка, который изображает вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, тоесть |
  Естественно, что
  I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами.
  A
  B
  Векторы и являются противоположными . Очевидно, что:
  

• 3 слайд

  Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых:
  a
  b
  c
  Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направлеными и противоположно направлеными. В нашем случае:
  – сонаправленые векторы, ,– противоположно направленые векторы.
  ↑↓
  ↑↓
  ↑↑
  m
  n
  Два вектора называються равными, если: 1) они сонаправлены; и 2) их модули равны, тоесть
  ↑↑
  

• 4 слайд

  От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному: :
  M
  N
  Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости:
  Углом между векторами называется угол между их направлениями:
  

• 5 слайд

  II. Действия над векторами.
  Векторы можно складывать - в результате получим вектор. При сложении двух векторов используются правила треугольника или параллелограмма:
  1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца другого, тоесть :
  2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают от общей начальной точки, тоесть , где F - вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точки векторов.
  

• 6 слайд

  При сложении трёх и более векторов применяют правило многоугольника:
  Обратим внимание, что при сложении сонаправленых векторов получим вектор, сонаправленый с даными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов:
  При сложении противоположно направленых векторов получим вектор, сонаправленый с вектором, который имеет большую длину.
  

• 7 слайд

  Также можно найти разность двух векторов - в результате получим вектор. При вычитании двух векторов применяется модифицированое правило треугольника - вначале оба вектора откладываются от общей начальной точки, потом соединяются концы этих векторов с выбором направления на “уменьшаемый" вектор:
  –
  Так как , то вначале строим вектор, противоположный вектору ,
  а затем оба вектора сложить по правилу треугольника .
  
  
  
  

• 8 слайд

  Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам:
  1) – переместительный закон сложения;
  2) – сочетательный закон сложения;
  3) ;
  4) .
  При умножении вектора на число k в результате получаем вектор, причём
  если k>0, то и ;
  если k<0, то и ;
  якщо k=0, то .
  ↑↑
  ↑↓
  

• 9 слайд

  Умножение двух векторов или скалярное произведение векторов. В результате этого действия (в отличие от сложения и вычитания векторов) получим число, которое равно произведению двух модулей данных векторов на косинус угла между этими векторами, тоесть
  Геометрически скалярное произведение векторов можно понимать как площадь параллелограмма (или противоположную ей величину), стороны которого образуются одним из данных векторов и вектором, перпендикулярным другому с таким же модулем:
   – острый угол
   – тупой угол
  Теорема. Скалярное произведение векторов и
  равно
  

• 10 слайд

  При сложении двух векторов, заданных координатами, нужно просто сложить их соответствующие координаты, тоесть
  При вычитании векторов, заданных координатами, нужно найти разность их соответствующих координат, тоесть
  Умножение вектора, заданного координатами, на число находится так:
  Условием коллинеарности двух векторов, заданных координатами, является пропорциональность их соответствующих координат:
  Длину вектора, или модуль, находим так:
  

• 11 слайд

  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Геометрически это означает возможность построения параллелепипеда,
  в котором диагональ задаётся вектором, а все три измерения
  - векторами, коллинеарными ортам.
  

• 12 слайд

  Для компланарности трёх векторов необходимо, чтобы любой из этих векторов можно было разложить по двум другим, тоесть
  A
  B
  C
  D
  Напомним как это выглядит геометрически:
  По правилу параллелограмма: . Но ,
  Значит,
  

• 13 слайд

  В прямоугольной системе координат в пространстве векторы и называются единичными координатными векторами или ортами. Так как эти векторы некомпланарны, то любой вектор пространства можна разложить по ортам. При этом образуется прямоугольный параллелепипед, а коэффициенты разложения - координаты этого вектора.
  x
  y
  z
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  0
  1
  1
  1
  

• 14 слайд

  Векторным произведением двух векторов   и   называется вектор , который удовлетворяет таким условиям:
  1)Вектор   перпендикулярен ко плоскости параллелограмма, построенного на векторах и , тоесть перпендикулярен и вектору , и вектору :
     и     
  2) Векторы , , , взятые в таком порядке, образуют правую тройку векторов. Упорядоченая тройка некомпланарных векторов називается правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму выполняется против вращения часовой стрелки.
  3) Длина вектора   равна площади параллелограмма, построеного на векторах   и , тоесть
  
  Для векторного произведения вектора   на вектор вводится обозначение: или