Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по геометрии "Вписанная, описанная, вневписанная окружность"

Презентация по геометрии "Вписанная, описанная, вневписанная окружность"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова...
 Вписанная окружность.
§1. Определение окружности, вписанной в угол. Окружность называется вписанно...
§2. Определение окружности, вписанной в выпуклый многоугольник. Окружность н...
§3. Свойства вписанной окружности. Теорема (для выпуклого многоугольника): «...
В частности, для треугольника: Теорема 1: «В каждый треугольник можно вписат...
(продолжение) Теорема 2: «Площадь треугольника можно вычислить как произведе...
Теорема 1: (признак вписанной в четырехугольник окружности) «В четырехугольн...
(продолжение) Теорема 2: (признак вписанной в параллелограмм окружности) «В п...
 Описанная окружность.
§1. Определение окружности, описанной около выпуклого многоугольника. Окружн...
Теорема 1 (для выпуклого многоугольника): «Если около данного выпуклого мног...
Следствие (из теоремы 1): «Если рядом с n-угольником описана окружность, то...
В частности, для треугольника. Теорема 2: «Вокруг любого треугольника можно о...
В частности, для треугольника. Теорема 3: «У остроугольного треугольника цент...
В частности, для четырехугольника. Теорема 4 (признак окружности, описанной о...
В частности, для четырехугольника. Следствие (из теоремы 4): «Можно описать...
Теорема 5 (признак окружности, описанной около трапеции): «Около трапеции мо...
 Вневписанная окружность. B A C Ka K1 K2
§1. Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность,...
Определение элемента вневписанной окружности. Три вневписанные окружности к...
Теорема 1. «Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольник...
Теорема 2. «Для любого треугольника существует единственная вневписанная окр...
(продолжение) Теорема 3. «Для каждого треугольника существует только три вне...
Теорема 4. «Если вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжен...
(продолжение) Теорема 5. «Если вписанная и вневписанная окружности треугольн...
(продолжение) Теорема 6. «Точки, в которых вписанная и вневписанная окружнос...
(продолжение) Теорема 7. «Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольни...
(продолжение) В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, ка...
(продолжение) Теорема 8: « Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и т...
(продолжение) Теорема 9: «Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник...
 §3. Формулы для вневписанной окружности. A B C Ka Kb Kc ra rb rc
Историческая справка Названа по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые...
Определение. Точка Нагеля — это точка пересечения отрезков, соединяющих верш...
Теорема . «Если точки таковы, что каждый из отрезков ATА, BTВ и CTС делит пе...
Определение. В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон,...
Теорема 1. «Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а O — цен...
Теорема 2. «Точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющим ортоцентр...
Теорема 3. «Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружн...
Теорема 4. « Точки симметричные ортоцентру относительно оснований высот и се...
Прямая линия Эйлера – это линия, проходящая через центр описанной окружности...
 Связь между описанной и вписанной окружностями.
Теорема 1: « Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают т...
«Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозн...
Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус вп...
Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус оп...
1 из 46

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразова
Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 9 – 11 классов «Вписанная, описанная, вневписанная окружности". Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2015-2016 учебный год

№ слайда 2  Вписанная окружность.
Описание слайда:

Вписанная окружность.

№ слайда 3 §1. Определение окружности, вписанной в угол. Окружность называется вписанно
Описание слайда:

§1. Определение окружности, вписанной в угол. Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. А

№ слайда 4 §2. Определение окружности, вписанной в выпуклый многоугольник. Окружность н
Описание слайда:

§2. Определение окружности, вписанной в выпуклый многоугольник. Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны. При этом многоугольник называется описанным около этой окружности.

№ слайда 5 §3. Свойства вписанной окружности. Теорема (для выпуклого многоугольника): «
Описание слайда:

§3. Свойства вписанной окружности. Теорема (для выпуклого многоугольника): «Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, причем в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности». О А Е С В Окр.(т.О; r) – вписанная в четырехугольник АВСЕ, ОА, ОВ, ОС, ОЕ -биссектрисы углов.

№ слайда 6 В частности, для треугольника: Теорема 1: «В каждый треугольник можно вписат
Описание слайда:

В частности, для треугольника: Теорема 1: «В каждый треугольник можно вписать окружность, притом ровно одну, причем ее центр — это точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр)». О Н М Е т.О - инцентр

№ слайда 7 (продолжение) Теорема 2: «Площадь треугольника можно вычислить как произведе
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 2: «Площадь треугольника можно вычислить как произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности». О Н М Е r

№ слайда 8 Теорема 1: (признак вписанной в четырехугольник окружности) «В четырехугольн
Описание слайда:

Теорема 1: (признак вписанной в четырехугольник окружности) «В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон». О a b c d a + b = c + d В частности, для четырехугольника:

№ слайда 9 (продолжение) Теорема 2: (признак вписанной в параллелограмм окружности) «В п
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 2: (признак вписанной в параллелограмм окружности) «В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом». О А С М В

№ слайда 10  Описанная окружность.
Описание слайда:

Описанная окружность.

№ слайда 11 §1. Определение окружности, описанной около выпуклого многоугольника. Окружн
Описание слайда:

§1. Определение окружности, описанной около выпуклого многоугольника. Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. При этом многоугольник называется вписанным в эту окружность. О

№ слайда 12 Теорема 1 (для выпуклого многоугольника): «Если около данного выпуклого мног
Описание слайда:

Теорема 1 (для выпуклого многоугольника): «Если около данного выпуклого многоугольника можно описать окружность, то все серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности, причем около выпуклого многоугольника можно описать не более одной окружности». §2. Свойства описанной окружности.

№ слайда 13 Следствие (из теоремы 1): «Если рядом с n-угольником описана окружность, то
Описание слайда:

Следствие (из теоремы 1): «Если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности)». (продолжение)

№ слайда 14 В частности, для треугольника. Теорема 2: «Вокруг любого треугольника можно о
Описание слайда:

В частности, для треугольника. Теорема 2: «Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров».

№ слайда 15 В частности, для треугольника. Теорема 3: «У остроугольного треугольника цент
Описание слайда:

В частности, для треугольника. Теорема 3: «У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы».

№ слайда 16 В частности, для четырехугольника. Теорема 4 (признак окружности, описанной о
Описание слайда:

В частности, для четырехугольника. Теорема 4 (признак окружности, описанной около четырехугольника): «Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан)». О А В С К

№ слайда 17 В частности, для четырехугольника. Следствие (из теоремы 4): «Можно описать
Описание слайда:

В частности, для четырехугольника. Следствие (из теоремы 4): «Можно описать окружность вокруг: любого прямоугольника (частный случай - квадрат) любой равнобедренной трапеции».

№ слайда 18 Теорема 5 (признак окружности, описанной около трапеции): «Около трапеции мо
Описание слайда:

Теорема 5 (признак окружности, описанной около трапеции): «Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне». О . В частности, для четырехугольника. С А М В

№ слайда 19  Вневписанная окружность. B A C Ka K1 K2
Описание слайда:

Вневписанная окружность. B A C Ka K1 K2

№ слайда 20 §1. Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность,
Описание слайда:

§1. Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. A B C Ka Kb Kc ra rb rc

№ слайда 21 Определение элемента вневписанной окружности. Три вневписанные окружности к
Описание слайда:

Определение элемента вневписанной окружности. Три вневписанные окружности к сторонам треугольника. Радиусом вневписанной окружностью треугольника называется отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой- либо стороне треугольника или её продолжению. A B C Ka Kb Kc ra rb rc

№ слайда 22 Теорема 1. «Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольник
Описание слайда:

Теорема 1. «Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вневписанной окружности треугольника». §2. Свойства вневписанной окружности.

№ слайда 23 Теорема 2. «Для любого треугольника существует единственная вневписанная окр
Описание слайда:

Теорема 2. «Для любого треугольника существует единственная вневписанная окружность, касающаяся данной его стороны». (продолжение)

№ слайда 24 (продолжение) Теорема 3. «Для каждого треугольника существует только три вне
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 3. «Для каждого треугольника существует только три вневписанных окружности». A B C Ka Kb Kc ra rb rc

№ слайда 25 Теорема 4. «Если вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжен
Описание слайда:

Теорема 4. «Если вневписанная окружность треугольника ABC касается продолжения стороны AB в точке P3, то A P3 = p, где p — полупериметр треугольника ABC». (продолжение)

№ слайда 26 (продолжение) Теорема 5. «Если вписанная и вневписанная окружности треугольн
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 5. «Если вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC, касаются стороны BC в точках M и N, то BM = CN». A B C Ka Kb Kc ra rb rc r

№ слайда 27 (продолжение) Теорема 6. «Точки, в которых вписанная и вневписанная окружнос
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 6. «Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны». A B C Ka Kb Kc ra rb rc r

№ слайда 28 (продолжение) Теорема 7. «Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольни
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 7. «Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся прямых АВ, ВС, СА». Иллюстрация:

№ слайда 29 (продолжение) В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, ка
Описание слайда:

(продолжение) В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями. Иллюстрация:

№ слайда 30 (продолжение) Теорема 8: « Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и т
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 8: « Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей». Иллюстрация:

№ слайда 31 (продолжение) Теорема 9: «Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник
Описание слайда:

(продолжение) Теорема 9: «Отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольника». Иллюстрация:

№ слайда 32  §3. Формулы для вневписанной окружности. A B C Ka Kb Kc ra rb rc
Описание слайда:

§3. Формулы для вневписанной окружности. A B C Ka Kb Kc ra rb rc

№ слайда 33 Историческая справка Названа по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые
Описание слайда:

Историческая справка Названа по имени Xристиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836г.  Христиан Генрих фон Нагель (нем. Christian Heinrich von Nagel; 28 февраля 1803, Штутгарт — 27 октября 1882) — немецкий математик. Изучал теологию в Тюбингене, затем там же, а с 1830г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известен рядом работ по геометрии треугольника — в частности, работой (Лейпциг, 1836), в которой впервые описана срединная точка треугольника, в дальнейшем получившая название точки Нагеля. §4. Точка Нагеля.

№ слайда 34 Определение. Точка Нагеля — это точка пересечения отрезков, соединяющих верш
Описание слайда:

Определение. Точка Нагеля — это точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями. Обычно обозначается N. Иллюстрация:

№ слайда 35 Теорема . «Если точки таковы, что каждый из отрезков ATА, BTВ и CTС делит пе
Описание слайда:

Теорема . «Если точки таковы, что каждый из отрезков ATА, BTВ и CTС делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля».   Иллюстрация: Свойство точки Нагеля.

№ слайда 36 Определение. В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон,
Описание слайда:

Определение. В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек данного треугольника (или окружностью Эйлера).   Окружность Эйлера.

№ слайда 37 Теорема 1. «Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а O — цен
Описание слайда:

Теорема 1. «Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а O — центр его описанной окружности, то центром окружности девяти точек является середина отрезка OH».   Иллюстрация: Свойства окружности Эйлера.

№ слайда 38 Теорема 2. «Точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющим ортоцентр
Описание слайда:

Теорема 2. «Точка пересечения медиан лежит на отрезке, соединяющим ортоцентр с центром описанной окружности, и делит его в отношении 1:2 считая от центра описанной окружности».   Иллюстрация: Свойства окружности Эйлера.

№ слайда 39 Теорема 3. «Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружн
Описание слайда:

Теорема 3. «Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности, а центр окружности Эйлера является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности».   Иллюстрация: Свойства окружности Эйлера.

№ слайда 40 Теорема 4. « Точки симметричные ортоцентру относительно оснований высот и се
Описание слайда:

Теорема 4. « Точки симметричные ортоцентру относительно оснований высот и середин сторон лежат на описанной окружности».   Иллюстрация: Свойства окружности Эйлера.

№ слайда 41 Прямая линия Эйлера – это линия, проходящая через центр описанной окружности
Описание слайда:

Прямая линия Эйлера – это линия, проходящая через центр описанной окружности, точку пересечения медиан, центр окружности Эйлера и ортоцентр.   Иллюстрация: Важное замечание для окружности Эйлера.

№ слайда 42  Связь между описанной и вписанной окружностями.
Описание слайда:

Связь между описанной и вписанной окружностями.

№ слайда 43 Теорема 1: « Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают т
Описание слайда:

Теорема 1: « Центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный (равносторонний)». О Е А В ∆АВЕ -правильный

№ слайда 44 «Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозн
Описание слайда:

«Пусть для произвольного треугольника ABC числа r, R и d соответственно обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Тогда d² = R²-2Rr О О1 А В С d R r Теорема 2:

№ слайда 45 Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус вп
Описание слайда:

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус вписанной в треугольник окружности: Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности: О Е А В

№ слайда 46 Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус оп
Описание слайда:

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей. Радиус описанной около треугольника окружности: Радиус описанной около правильного многоугольника окружности: О Е В А

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров180
Номер материала ДВ-515717
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх