Презентация по информатике "Вычислительные методы"

Приближенные вычислительные методы.

Тема.:Метод половинного деления

Цели:

Образовательная:

• дать представление о приближенных методах вычисления с помощью компьютера,
• закрепить умения и навыки по работе с операторами цикла с предусловием и постусловием.

Развивающая:

• развитие абстрактного и логического мышления.

Воспитательная:

• формирование нравственного отношения учащихся к программным средствам вычислительной техники,
• ответственное отношение к труду, аккуратность.

Метод. Объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

Межпредметная связь. Математика. Решение нелинейных уравнений.

Ход урока

1. Оргмомент. 2 мин.

Цель. Подготовка учащихся к восприятию нового материала.

2. Актуализация опорных знаний. 5 мин.

Цель. Актуализировать знания учащихся по теме “Решение нелинейных уравнений”.

Вопросы для фронтального опроса.

• Какие уравнения вы знаете?

Ответ: Алгебраические( тригонометрические, показательные)

• Какие способы решения вы используете?

Ответ: По формулам, замена переменных.

3. Объяснение нового материала. 15 мин.

Для решения  разных типов уравнений применяются разные методы. Все они дают точные решения и все относятся к аналитическим методам. Например линейные, квадратные, биквадратные уравнения. Уравнения 3-ей степени тоже можно решить аналитическим способом, если оно раскладывается на множители. А что делать с уравнением 5-ой степени, если его нельзя разложить на множители? Когда в задаче возникают такие проблемы, их решают численными методами. Численные методы позволяют получить не точное, а приближенное решение уравнения, но с заданной точностью.

Решение нелинейных уравнений с одной переменной представляют одну из важных задач прикладного анализа. Необходимость,  в которой возникает в многочисленных и разнообразных разделах физики, механики, техники и др. областях.

Общий вид нелинейного уравнения:  F(X)=0, где функция F(X) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале[a,b]. Нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Уравнение вида  F(x)=0 является алгебраическим, если функция – алгебраическая. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме: P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n=0, где a_0,a_1,…,a_n–коэффициенты уравнения, х- неизвестное, n- степень алгебраического уравнения.  Если функция F(x)  не является алгебраической, то уравнение называют трансцендентным.

Например: x-10sinx=0; 2^x-2cosx=0;lg(x+5)=cosx.  В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений. Поскольку большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решаются аналитическим методом на практике их решают численными методами. Решить такое уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти их значение с заданной точностью.

Задача численного нахождения действительных и комплексных корней состоит из двух этапов:

1.      Отделение корней;

2.      Уточнение корней.

Наиболее распространенными численными методами решения трансцендентных уравнений являются следующие методы:

·         Метод половинного деления;

·         Метод хорд;

·         Метод касательных(Ньютона);

·         Метод простой итерации.

Отделение корней.

Установление промежутков, содержащих только один корень.Отделение корней можно выполнить двумя способами:

1.      графический;

2.      численный.

Графический метод.

А.

·      построить график функции  f;

·      абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс и есть корни уравнения.

В.

·      Уравнение f(x)=0 преобразовывают к виду :f₁=f₂;

·      Абсциссы точек пересечения графиков будут корнями уравнения.

Отделить графически корни уравнения:x³-3x-0,4=0;

x³=3x+0,4.

Построение графика осуществить с помощью Excel

Выделяем промежутки: с₁Î[-2;1], c₂Î[-1;0], c₃Î[1;2],

Численный метод

1.      Если непрерывная на отрезке[a,b] функция f(x) принимает на его концах значения разных знаков(f(a)*f(b)<0), то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;

2.      Если функция f(x)  к тому же строго монотонна, то корень на отрезке [a,b] -  единственный.

Для отделения корней можно эффективно использовать ПК.

Пусть имеется уравнениеf(x)=0. Причем все интересующие корни находятся на отрезке [a,b], в котором f(x) – определена, непрерывна и f(a)*f(b)<0.  Требуется отделить все корни, т.е. указать все отрезки, содержащие по одному корню.

h-  достаточно малый шаг.

f(x₁)*f(x₂)<0 – то на отрезке [x₁,x₂] – существуют корни.

h –достаточно - малое значение.

Блок - схема

 

Уточнение корней методом половинного деления

1.      Выделить все отрезки,  на котором  есть корень. На концах данного отрезка значения разных знаков

     1. делим отрезок пополам

2.       Выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков

Если f(a)*f(c)<0,  то b:=c

Если f(b)*f(c)<0,  то a:=c

3.       Длину отрезка [a,b] сравниваем с заданной точностью  e,  т.е. |b-a|>2*e

И так продолжаем до тех пор, пока |b-a|<2*e

 

4.      Решить следующее уравнение, используя при отделении корней  - графический метод

6x+3x²-x³=0

5.      Самостоятельная работа : отделить корни(использовать ЭТ - Excel)

1 вариант

x²-cosπx=0;    x³+3x-6=0;    

2 вариант

x -cosπx=0; 

x³-x-2=0;       

6.         Подведение итогов

7.      Д/з Составить программы отделения  и уточнения корней численным методом.