Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике два замечательных предела

Презентация по математике два замечательных предела

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Два замечательных предела. Подготовил преподаватель Ускова С.В. «Красногорски...
Среди множества пределов, которые встречаются в математике и других дисципли...
Если воспользоваться для вычисления его теоремой о пределе частного, то полу...
Возьмём окружность радиуса ОА = R = 1 и некоторый угол Х с вершиной в центре...
 Т.к MP=sin x AN=tg x AM=x поэтому (6) принимает вид: sin x
 Итак:
Почему же этот предел удостоился названия замечательного? Воспользуемся понят...
b*x-,бесконечно малая функция 2го порядка; пренебрегая этим слагаемым, получ...
Оказывается достаточно большой, так если Х[0; 6), то с точностью до 4-го зн...
Если Х[6; 12), то sin x = x с точностью до 3-го знака. Пример: Х = 10;si...
Если Х[12; 20), то sin x = x с точностью до 2-го знака. Пример: Х = 18;s...
промежутке до 200. К примеру, в треугольнике (Рис.6) Тот факт, что синусы мал...
известны (гипотенуза) и , требуется найти h. Из соотношения Если угол неболь...
откуда следует, что для малых углов tg x≈x Углов точность понижается, другими...
1.Для нахождения синусов и тангенсов малых углов можно обойтись без таблиц и...
Для подтверждения теоретического вывода 1го “замечательного’ предела можно у...
Ко второму “Замечательному” пределу относится предел функции x→ В курсе выс...
Для пояснения сказанного составим следующую таблицу выражения (1+1/x)x при в...
Итак, = 2,71828….= е – x→ число Непера В прикладных дисциплинах это число н...
Возникает вопрос: почему этот предел называют “замечательным”? 	Во-первых, в...
Примеры: 1) 2) l рис. 6 рис. 7 1)Рисунок 6. Масса радиоактивного вещества со...
1 из 22

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Два замечательных предела. Подготовил преподаватель Ускова С.В. «Красногорски
Описание слайда:

Два замечательных предела. Подготовил преподаватель Ускова С.В. «Красногорский колледж»

№ слайда 2 Среди множества пределов, которые встречаются в математике и других дисципли
Описание слайда:

Среди множества пределов, которые встречаются в математике и других дисциплинах, особое место занимают по их значению два предела, которые называются замечательными. К первому замечательному пределу относится предел Х→0

№ слайда 3 Если воспользоваться для вычисления его теоремой о пределе частного, то полу
Описание слайда:

Если воспользоваться для вычисления его теоремой о пределе частного, то получим lim x=0 ;lim sinx=0, имеем предел вида ,ответ не определён, в этом случае надо попытаться преобразовать функцию, стоящую под знаком предела, но никаких видимых ориентиров для преобразования отношения нет. Что же делать? Математики нашли выход из этого положения, они прибегли к геометрическим соображениям, которые заключаются в следующем.

№ слайда 4 Возьмём окружность радиуса ОА = R = 1 и некоторый угол Х с вершиной в центре
Описание слайда:

Возьмём окружность радиуса ОА = R = 1 и некоторый угол Х с вершиной в центре окружности (рис. 4). Проведём далее хорду АМ и касательную AN, пересекающую продолжение радиуса ОМ в точке N. Из рисунка видно: SΔAOM <S кругового сектора АОМ< SΔAON (1) SΔAOM = ½ OA · MP (2) Sкр. сектора AOM= ½ OA·MA (3) SΔAOM = ½ OA ·AN (4) Представляя из (2) (3) и (4) в (1) получим: OA · MP/2< OA · MA/2 < OA ·AN/2 (5) Т.к. OA=R=1 после умножения на 2 получим: MP<AM<AN (6)

№ слайда 5  Т.к MP=sin x AN=tg x AM=x поэтому (6) принимает вид: sin x
Описание слайда:

Т.к MP=sin x AN=tg x AM=x поэтому (6) принимает вид: sin x<x< tg x или sin x<x<sin x/cos x (7) Т.к Х - острый угол, то sin x -величина положительная; Разделив неравенства (7) на sin x получим 1< < Или, взяв обратные отношения в этих неравенствах, будем иметь 1>sin x/x>cos x (8) (поясним на примере: 1<5/2<7/2 – очевидно; возьмем обратные отношения 1>2/5>2/7) Из тригонометрии известно, что если Х→0, то cos x→1. но т.к. отношение sin x/x согласно неравенству (8) заключено между единицей и cos x то оно и подавно стремится к единице. Это стремление отношения sin x/x к единице хорошо просматривается, если величины, содержащие в неравенстве (8) представить на координатной оси (рис.5)

№ слайда 6  Итак:
Описание слайда:

Итак:

№ слайда 7 Почему же этот предел удостоился названия замечательного? Воспользуемся понят
Описание слайда:

Почему же этот предел удостоился названия замечательного? Воспользуемся понятием предела функции: lim f (x)=a f (x)-a=b C учётом этого (*) можно переписать так: (9) Умножая (9) на x, получим:sinx-x=b*x или sinx=x+b*x (10) В правой части равенства (10) (по условию)-это бесконечно малая величина,

№ слайда 8 b*x-,бесконечно малая функция 2го порядка; пренебрегая этим слагаемым, получ
Описание слайда:

b*x-,бесконечно малая функция 2го порядка; пренебрегая этим слагаемым, получим: sinx x (*’) Получили из равенства (*`) -Синусы малых углов примерно равны величинами самих углов, а это значит, что для нахождения синусов малых углов достаточно воспользоваться (*`), разумеется, что угол здесь измерен в радианах. Возникает вопрос: каков диапазон углов, синусы которых можно находить по (*`)?

№ слайда 9 Оказывается достаточно большой, так если Х[0; 6), то с точностью до 4-го зн
Описание слайда:

Оказывается достаточно большой, так если Х[0; 6), то с точностью до 4-го знака после запятой работает равенство sin x = x. Пример: Х = 2; sin22(рад); тогда2—Х рад180— радХ = 2/180=/90=3,14/90=0,03488, получим, чтоsin2=0,03488, точное значение sin2=0,03489 (по МК)

№ слайда 10 Если Х[6; 12), то sin x = x с точностью до 3-го знака. Пример: Х = 10;si
Описание слайда:

Если Х[6; 12), то sin x = x с точностью до 3-го знака. Пример: Х = 10;sin1010(рад); тогда10—Х рад180— радХ = 10/180=/18=3,14/18=0,1744, получим, чтоsin10=0,1744; точное значение sin10=0,1744 (по МК)

№ слайда 11 Если Х[12; 20), то sin x = x с точностью до 2-го знака. Пример: Х = 18;s
Описание слайда:

Если Х[12; 20), то sin x = x с точностью до 2-го знака. Пример: Х = 18;sin1818(рад); тогда18—Х рад180— радХ = 18/180=/10=3,14/10=0,314, получим, чтоsin10=0,314; точное значение sin18=0,309 (по МК)

№ слайда 12 промежутке до 200. К примеру, в треугольнике (Рис.6) Тот факт, что синусы мал
Описание слайда:

промежутке до 200. К примеру, в треугольнике (Рис.6) Тот факт, что синусы малых углов можно заменить величинами самих углов, имеет непревзойдённое значение и при решении прямоугольных треугольников, когда острый угол заключён в

№ слайда 13 известны (гипотенуза) и , требуется найти h. Из соотношения Если угол неболь
Описание слайда:

известны (гипотенуза) и , требуется найти h. Из соотношения Если угол небольшой, то sina=a и тогда h=l*a Из расчётов “ушёл” синус, оперируем только углами. На сколько это важно – убедитесь при расчётах различных оптических систем, а также в механике при движении тел по наклонной плоскости с малыми углами наклона. Возможность (*) ещё и в том, что с его помощью можно доказать, что

№ слайда 14 откуда следует, что для малых углов tg x≈x Углов точность понижается, другими
Описание слайда:

откуда следует, что для малых углов tg x≈x Углов точность понижается, другими словами диапазон углов, для которых tg x, меньший, чем у синуса.

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16 1.Для нахождения синусов и тангенсов малых углов можно обойтись без таблиц и
Описание слайда:

1.Для нахождения синусов и тангенсов малых углов можно обойтись без таблиц и вычислительной техники, для этого достаточно данный угол выразить в радианной мере, 2.Тангенсы малых углов при расчётах можно заменить синусами. 3.Если угол небольшой, то при решении прямоугольных треугольников синусы можно заменить углами.

№ слайда 17 Для подтверждения теоретического вывода 1го “замечательного’ предела можно у
Описание слайда:

Для подтверждения теоретического вывода 1го “замечательного’ предела можно убедиться в его истинности, выполнив с помощью, разумеется вычислительных средств, следующие расчёты: взять ряд произвольных углов, например, перевести их в радианы, затем найти синусы заданных углов и взять отношение Это отношение всё меньше и меньше будет отличаться от единицы. Ниже приведена таблица с результатами расчётов.

№ слайда 18 Ко второму “Замечательному” пределу относится предел функции x→ В курсе выс
Описание слайда:

Ко второму “Замечательному” пределу относится предел функции x→ В курсе высшей математике доказывается, что предел (1+1/x)x при Х  существует (он больше 2, но меньше 3) и выражается иррациональным числом, т. е. 2< <3 Х→

№ слайда 19 Для пояснения сказанного составим следующую таблицу выражения (1+1/x)x при в
Описание слайда:

Для пояснения сказанного составим следующую таблицу выражения (1+1/x)x при возрастающих значениях Х: х 1 2 5 10 100 1000 (1+1/x)x 2 2,25 2,49 2,59 2,705 2,713 Из таблицы видно, что по мере возрастания Х выражение (1+1/x)x также возрастает, замедляясь в росте. Предел при Х , равный приближенно 2,718, принято обозначать буквой е, которое называется числом Непера. Джон Непер (1550 – 1617) шотландский математик, он был первым создателем таблиц логарифмов – натуральных, которые в математике называют НЕПЕРОВЫМИ.

№ слайда 20 Итак, = 2,71828….= е – x→ число Непера В прикладных дисциплинах это число н
Описание слайда:

Итак, = 2,71828….= е – x→ число Непера В прикладных дисциплинах это число называют экспонентой (exp) и записывают так: exp=2,71828….=е exp (5х)=е5х; exp (-2t)=e-2t. Можно доказать, что для любой бесконечно малой функции  выражение (1+)1/ , т. е. lim (1+)1/ →0

№ слайда 21 Возникает вопрос: почему этот предел называют “замечательным”? 	Во-первых, в
Описание слайда:

Возникает вопрос: почему этот предел называют “замечательным”? Во-первых, в математике число е имеет очень важное значение, которое можно сравнить со значением числа  = 3,14. Как было отмечено в теории логарифмов, число е принимают за основание натуральных чисел, или Неперовых логарифмов, имеющих большое применение в математическом анализе, так как с их помощью многие формулы можно представить в более простом виде, чем при пользовании десятичными логарифмами. Во – вторых, нет такой области в науке и технике, где можно было бы обойтись без числа е: многие параметры, которые характеризуют переменные процессы, изменяются по экспоненциальному закону, то есть по закону, связанному с числом Непера.

№ слайда 22 Примеры: 1) 2) l рис. 6 рис. 7 1)Рисунок 6. Масса радиоактивного вещества со
Описание слайда:

Примеры: 1) 2) l рис. 6 рис. 7 1)Рисунок 6. Масса радиоактивного вещества со временем изменяется (уменьшается) по закону , ,где m0 – начальное его количество, t – время, k – коэффициент распада, зависит от того вещества. 2)Рисунок 7. Интенсивность падающего на среду любого излучения также изменяется по экспоненциальному закону, т. е. 3)ЭДС источника тока со временем изменяется по закону экспоненты, т. е. 4)Объём растущего дерева также находится с помощью экспоненты:

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 15.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров288
Номер материала ДВ-344039
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх