Презентация по математике "Интегральное исчисление"

• 1 слайд

  интегральное исчисление
  Преподаватель ГАПОУ РО «РКРСТ «Сократ»
  Демина Римма Григорьевна
  

• 2 слайд

  Задачи урока:
  Рассмотреть неопределенный интеграл;
  Ознакомиться с основными формулами интегрирования;
  Разобрать основные способы интегрирования;
  Рассмотреть определенный интеграл.
  Цель урока:
  Изучить тему «интегральное исчисление».
  

• 3 слайд

  Неопределенный интеграл
  Очень часто возникает следующая задача математического анализа:
  По данной функции f(x) найти такую функцию F(x) производная которой равна функции f(x):
  F(x) = f(x)
  В этом случае функция F(x) называется первообразной для функции f(x).
  Совокупность всех первообразных функции F(x) + C, где С=const для функции f(x) называется неопределенным интегралом в функции f(x).
  𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶
  
  

• 4 слайд

  Примеры:
  1) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=
  2) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=
  3) 𝑥 2 𝑑𝑥=
  −𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶,
  т.к −𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ =𝑠𝑖𝑛𝑥
  𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶
  𝑥 3 3 +𝐶
  

• 5 слайд

  Свойство неопределенного интеграла
  Постоянный множитель можно вывести за знак интеграла:
  𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
  Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:
  𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
  

• 6 слайд

  𝑥 2 𝑑𝑥= 𝑥 𝑝+1 𝑝+1 +𝐶
  𝑑𝑥=𝑥+𝐶
  𝑑𝑥 𝑥 =𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  𝑎 𝑥 𝑑𝑥= 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 +𝐶, 0<𝑎 ≠1
  𝑒 𝑥 𝑑𝑥= 𝑒 𝑥 +𝐶
  𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶
  𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶
  𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 +𝑡𝑔𝑥+𝐶, 𝑥≠ 𝜋 2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
  𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 =−𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶
  𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶 −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥+𝐶
  𝑑𝑥 1+ 𝑥 2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶 −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶
  𝑑𝑥 𝑥 2 ±𝑎 =𝑙𝑛 𝑥+ 𝑥 2 ±𝑎 +𝐶
  
  Основные формулы интегрирования
  

• 7 слайд

  1. Метод непосредственного интегрирования.
  Применяется в случаях, когда с помощью формул интеграл можно свести к табличному интегралу.
  Примеры:
  
  
  
  
  3 𝑥 𝑑𝑥+
  1) 3 𝑥 +2𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
  3 1 𝑥 𝑑𝑥+
  3𝑙𝑛 𝑥 +
  =3𝑙𝑛 𝑥 −2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶
  Основные способы интегрирования
  Ответ: 3𝑙𝑛 𝑥 −2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶
  2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=
  2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=
  2 −𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝐶=
  

• 8 слайд

  
  
  Ответ: 𝑥 4 4 − 5 𝑥 3 3 +𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  
  
  
  
  
  
  
  2) 𝑥 4 −5 𝑥 3 +1 𝑥 𝑑𝑥=
  𝑥 4 𝑥 − 5𝑥 3 𝑥 + 1 𝑥 𝑑𝑥=
  𝑥 3 𝑑𝑥−
  𝑥 4 4 −
  3) 5 𝑒 𝑥 − 6 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5 𝑥+2 𝑑𝑥=
  5 𝑒 𝑥 𝑑𝑥−
  5𝑒 𝑥 −
  =5𝑒 𝑥 −6𝑡𝑔𝑥+
  5𝑒 𝑥 −6𝑡𝑔𝑥+
  Ответ: 5𝑒 𝑥 −6𝑡𝑔𝑥+ 25∙ 5 𝑥 𝑙𝑛5 +𝐶
  + 1 𝑥 𝑑𝑥=
  5 𝑥 2 𝑑𝑥
  𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  5 𝑥 3 3 +
  5 𝑥+2 𝑑𝑥=
  6 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥+
  5 𝑥 ∙ 5 2 𝑑𝑥=
  6𝑡𝑔𝑥+
  25 5 𝑥 𝑑𝑥=
  25∙ 5 𝑥 𝑙𝑛5 +𝐶
  

• 9 слайд

  2. Метод подстановки.
  Основан на замене после которой интеграл сводится к табличной.
  
  
  
  ⇒𝑥=𝑦−1
  Замена 𝑥+1=𝑦
  𝑑𝑥=
  𝑑 𝑦−1 =
  𝑑𝑦−𝑑1=
  𝑑𝑦−0=
  𝑑𝑦
  𝑦−1 2 𝑦 3 𝑑𝑦=
  𝑥 2 𝑥+1 3 𝑑𝑥
  𝑦 2 −2𝑦+1 𝑦 3 𝑑𝑦=
  𝑦 2 𝑦 3 − 2𝑦 𝑦 3 + 1 𝑦 3 𝑑𝑦=
  1 𝑦 − 2 𝑦 2 + 1 𝑦 3 𝑑𝑦=
  1 𝑦 𝑑𝑦− 2 𝑦 2 𝑑𝑦+ 1 𝑦 3 𝑑𝑦=
  𝑙𝑛 𝑦 −
  𝑙𝑛 𝑦 −
  =𝑙𝑛 𝑦 −
  𝑙𝑛 𝑦 +
  𝑙𝑛 𝑥+1 +
  Ответ: 𝑙𝑛 𝑥+1 + 2 𝑥+1 − 1 2 𝑥+1 2 +𝐶
  =
  =
  1 𝑦 3 𝑑𝑦 =
  2 1 𝑦 2 𝑑𝑦+
  𝑦 −3 𝑑𝑦=
  2 𝑦 −2 𝑑𝑦+
  𝑦 −2 −2 +𝐶=
  2𝑦 −1 −1 +
  1 2𝑦 2 +𝐶=
  2 𝑦 −
  1 2 𝑥+1 2 +𝐶
  2 𝑥+1 −
  

• 10 слайд

  1) 𝑥 2 3+4𝑥 2 𝑑𝑥=
  𝑥 2 9+24𝑥+ 16𝑥 2 𝑑𝑥=
  9𝑥 2 + 24𝑥 3 + 16𝑥 4 𝑑𝑥=
  = 9𝑥 2 𝑑𝑥+ 24𝑥 3 𝑑𝑥+ 16𝑥 4 𝑑𝑥=
  9 𝑥 2 𝑑𝑥+
  9 𝑥 3 3 +
  = 9 𝑥 3 3 +
  3𝑥 3 +
  Ответ: 3𝑥 3 + 6𝑥 4 + 16𝑥 5 5 +𝐶
  2) 2𝑥 3 − 𝑥 5 +1 𝑥 𝑑𝑥=
  2𝑥 3 𝑥 − 𝑥 5 𝑥 + 1 𝑥 𝑑𝑥=
  2𝑥 2 𝑑𝑥−
  2 𝑥 2 𝑑𝑥−
  = 2𝑥 3 3 −
  Ответ: 2𝑥 3 3 − 𝑥 5 5 +𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  Примеры:
  
  16 𝑥 4 𝑑𝑥=
  24 𝑥 3 𝑑𝑥+
  16 𝑥 5 5 +𝐶=
  16 𝑥 5 5 +𝐶=
  24𝑥 4 4 +
  16𝑥 5 5 +𝐶
  6𝑥 4 +
  1 𝑥 𝑑𝑥=
  𝑥 4 𝑑𝑥+
  1 𝑥 𝑑𝑥=
  𝑥 4 𝑑𝑥+
  𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  𝑥 5 5 +
  24 𝑥 4 4 +
  

• 11 слайд

  3) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥+1 𝑑𝑥
  Замена:3𝑥+1=𝑦⇒
  1 3 𝑑𝑦
  𝑠𝑖𝑛𝑦∙ 1 3 𝑑𝑦=
  1 3 𝑠𝑖𝑛𝑦𝑑𝑦=
  1 3 ∙ −𝑐𝑜𝑠𝑦 +𝐶=
  − 𝑐𝑜𝑠𝑦 3 +𝐶=
  − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥+1 3 +𝐶
  Ответ: − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥+1 3 +𝐶
  4) 𝑑𝑥 5−2𝑥
  Замена 5−2𝑥=𝑦
  ⇒𝑥= 5−𝑦 2
  𝑑𝑥=𝑑 5−𝑦 2 =
  1 2 𝑑5−𝑑𝑦 =
  1 2 0−𝑑𝑦 =
  − 1 2 𝑑𝑦
  − 1 2 𝑑𝑦 𝑦 =
  − 1 2 𝑑𝑦 𝑦 =
  − 1 2 𝑙𝑛 𝑦 +𝐶=
  − 1 2 𝑙𝑛 5−2𝑥 +𝐶
  Ответ: − 1 2 𝑙𝑛 5−2𝑥 +𝐶
  𝑑𝑥=𝑑 𝑦−1 3 =
  1 3 𝑑 𝑦−1 =
  1 3 𝑑𝑦−𝑑1 =
  =
  =
  =
  =
  𝑥= 𝑦−1 3
  

• 12 слайд

  5) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2
  Замена 𝑥 2 =𝑦
  ⇒𝑥=2𝑦
  𝑑𝑥=𝑑 2𝑦
  =2𝑑𝑦
  𝑐𝑜𝑠𝑦∙2𝑑𝑦=
  2 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦=
  2𝑠𝑖𝑛𝑦+𝐶=
  2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 +𝐶
  Ответ: 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 +𝐶
  6) 𝑒 7−𝑥 𝑑𝑥
  Замена 7−𝑥=𝑦
  ⇒𝑥=𝑦−7
  𝑑𝑥=𝑑 7−𝑦 =
  𝑑7−𝑑𝑦=
  0−𝑑𝑦=
  −𝑑𝑦
  𝑒 𝑦 −𝑑𝑦 =
  − 𝑒 𝑦 𝑑𝑦=
  − 𝑒 𝑦 +𝐶=
  − 𝑒 7−𝑥 +𝐶
  Ответ: − 𝑒 7−𝑥 +𝐶
  =
  =
  =
  =
  

• 13 слайд

  7) 2𝑥+1 5 𝑑𝑥
  Замена 2𝑥+1=𝑦
  ⇒𝑥= 𝑦−1 2
  𝑑𝑥=𝑑 𝑦−1 2 =
  1 2 𝑑 𝑦−1 =
  1 2 𝑑𝑦−𝑑1 =
  1 2 𝑑𝑦
  𝑦 5 ∙ 1 2 𝑑𝑦=
  1 2 𝑦 5 𝑑𝑦=
  1 2 ∙ 𝑦 6 6 +𝐶=
  1∙ 𝑦 6 2∙6 +𝐶=
  2𝑥+1 6 12 +𝐶
  Ответ: 2𝑥+1 6 12 +𝐶
  =
  =
  

• 14 слайд

  Определенный интеграл
  Определенный интеграл – это интеграл вида 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , где a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования.
  Если результат неопределенного интеграла – функция, то результат определенного интеграла – число.
  С помощью определенного интеграла находится площадь криволинейной трапеции:
  y
  x
  a
  b
  y=f(x)
  

• 15 слайд

  Вычисление определенного интеграла Формула Ньютона Лейбница
  
  𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 =𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎)
  Формула Ньютона Лейбница
  
  Примеры:
  1) 2 3 3𝑥 2 𝑑𝑥=
  
  
  
  3 3 − 2 3 =
  27−8=
  19
  3 2 3 𝑥 2 𝑑𝑥=
  2) 1 5 7𝑑𝑥 𝑥 =
  7 1 5 𝑑𝑥 𝑥 =
  7𝑙𝑛5−7𝑙𝑛1=
  7 𝑙𝑛5−𝑙𝑛1 =
  7𝑙𝑛 5 1 =
  7𝑙𝑛5
  Ответ: 7𝑙𝑛5
  7𝑙𝑛 𝑥 =
  5
  1
  Ответ: 19
  𝑎
  𝑏
  3 𝑥 3 3 =
  3
  2
  𝑥 3 =
  3
  2
  

• 16 слайд

  3) −2 4 8+ 2𝑥 2 𝑑𝑥=
  −2 4 8𝑑𝑥+ −2 4 2𝑥 2 𝑑𝑥
  1. −2 4 8𝑑𝑥=
  8 −2 4 𝑑𝑥=
  8∙4−8∙ −2 =
  32+16=
  48
  2. −2 4 2𝑥 2 𝑑𝑥=
  2 −2 4 𝑥 2 𝑑𝑥 =
  2∙ 4 3 3 −2∙ −2 3 3 =
  2∙64 3 − 2∙ −8 3 =
  128 3 + 16 3 =
  144 3 =
  48
  3. 48+48=
  96
  Ответ: 96
  4) 0 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 4 +16 =
  0 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 2 +16
  Замена 𝑥 2 =𝑦
  ⇒𝑥= 𝑦
  𝑑𝑥=
  𝑑 𝑦 =
  𝑑 𝑦 1 2 =
  1 2 𝑦 − 1 2 𝑑𝑦=
  1𝑑𝑦 2 𝑦 1 2 =
  𝑑𝑦 2 𝑦
  Новые границы:
  8𝑥 =
  4
  −2
  2∙ 𝑥 3 3 =
  −2
  4
  =
  

• 17 слайд

  𝑦= 𝑥 2
  𝑦 ниж =
  0 2 =
  0
  𝑦 верх =
  3 2 =
  3
  0 3 𝑦 ∙ 𝑑𝑦 2 𝑦 𝑦 2 +16 =
  1 2 0 3 𝑑𝑦 𝑦 2 +16 =
  1 2 𝑙𝑛8− 1 2 𝑙𝑛4=
  1 2 𝑙𝑛 8 4 =
  Ответ: 1 2 𝑙𝑛 8 4 = 1 2 𝑙𝑛2
  В определенных интегралах обратной замены производить не нужно.
  1 2 𝑙𝑛 𝑦+ 𝑦 2 +16 =
  3
  0
  =
  1 2 𝑙𝑛2
  

• 18 слайд

  5) 0 2 2+ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥=
  0 2 2𝑑𝑥+ 0 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
  1. 0 2 2𝑑𝑥 =
  2 0 2 𝑑𝑥 =
  2∙2−2∙0=
  4−0=
  4
  2. 0 2 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥
  Замена:3𝑥=𝑦
  ⇒𝑥= 𝑦 3
  𝑑𝑥=
  𝑑 𝑦 3 =
  1 3 𝑑𝑦
  Новые границы:
  𝑦=3𝑥
  𝑦 ниж =
  3∙0=
  0
  𝑦 верх =
  3∙2=
  6
  0 6 𝑒 𝑦 1 3 𝑑𝑦 =
  1 3 0 6 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 =
  1 3 𝑒 6 − 1 3 𝑒 0 =
  1 3 𝑒 6 − 1 3 =
  1 3 𝑒 6 −1
  Ответ: 1 3 𝑒 6 −1
  2𝑥=
  2
  0
  1 3 𝑒 𝑦 =
  6
  0
  =
  =
  

• 19 слайд

  Самостоятельная работа
  1) 𝑥 5 + 2𝑥 4 −3 𝑥 𝑑𝑥
  2) 5 𝑥 2 − 3 𝑥 𝑑𝑥
  3) 𝑥 𝑥+2 2 𝑑𝑥
  4) cos 2𝑥−5 𝑑𝑥
  5) −2 2 10−3 𝑥 4 𝑑𝑥
  6) −1 7 𝑑𝑥 3𝑥+4
  

• 20 слайд

  Ответы
  1) 𝑥 5 5 + 𝑥 4 2 −3𝑙𝑛 𝑥 +𝐶
  2)− 5 𝑥 −6 𝑥 +𝐶
  3)𝑙𝑛 𝑥+2 + 2 𝑥+2 +𝐶
  4) 1 2 sin 2𝑥−5 +𝐶
  5)1,6
  6)2 2 3
  

• 21 слайд

  Спасибо за внимание!
  

Краткое описание документа:

В данной презентации раскрыт материал раздела высшей математики "Интегральное исчисление", а именно "Определенный интеграл" и "неопределенный интеграл". Описана теория вычисления определенного и неопределенного интеграла и показаны примеры к данной теории.