Выдаём удостоверения и дипломы установленного образца

Получите 5% кэшбэк!

Запишитесь на один из 793 курсов и получите 5% кэшбэк стоимости курса на карту

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра ПрезентацииПрезентация по математике "Извлечение квадратного корня"

Презентация по математике "Извлечение квадратного корня"

Скачать материал
библиотека
материалов
  Извлечение квадратных корней без калькулятора учитель математики МБОУ «ООШ...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд   Извлечение квадратных корней без калькулятора учитель математики МБОУ «ООШ
Описание слайда:

  Извлечение квадратных корней без калькулятора учитель математики МБОУ «ООШ №22», Харламова Н.И. г. Ангарск 2018

2 слайд актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а так
Описание слайда:

актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора.

3 слайд
Описание слайда:

4 слайд Результаты экспресс - опроса учащихся, учителей и родителей (январь 2018г), в %
Описание слайда:

Результаты экспресс - опроса учащихся, учителей и родителей (январь 2018г), в %

5 слайд Цель работы: Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без
Описание слайда:

Цель работы: Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

6 слайд Задачи: Проанализировать путём соцопроса умение учащихся, преподавателей и р
Описание слайда:

Задачи: Проанализировать путём соцопроса умение учащихся, преподавателей и родителей извлекать квадратные корни без калькулятора. Изучить учебную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов, а также классифицировать их. Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и друзей и создать буклет – памятку по самым интересным алгоритмам.

7 слайд Гипотеза: Предположим, что существует не менее двух-трёх способов извлечения
Описание слайда:

Гипотеза: Предположим, что существует не менее двух-трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

8 слайд Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без к
Описание слайда:

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

9 слайд Анализ опроса по изучаемой теме. Поиск способов и алгоритмов. Сравнение найде
Описание слайда:

Анализ опроса по изучаемой теме. Поиск способов и алгоритмов. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач. Анализ полученных данных и разработка своего метода. Проведение научного экспериментального исследования.    

10 слайд однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «
Описание слайда:

однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.  

11 слайд
Описание слайда:

12 слайд 1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня м
Описание слайда:

1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 209764 = 2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = 2²∙229² = 458 7│7 7│7 3136 = 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 7056 = 2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84 Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

13 слайд 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть
Описание слайда:

2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть две последние цифры, 3 найти число, которое меньше подкоренного. 9 8649 Используется только для корней до 100, имеет точность только до десятых. Поможет на экзамене любому школьнику.

14 слайд 3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК р
Описание слайда:

3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК равен 5,2915026. Сложность состоит в том, что нужно знать полные квадраты больших чисел, уметь их быстро находить, а также много и правильно считать.

15 слайд 4. Через решение уравнения 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 +
Описание слайда:

4. Через решение уравнения 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 + Х) ² 17 = 16 + 8Х + Х ² Х = 0,125 Значит 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 . Такой способ интересный, но трудоёмкий. Больше применим к небольшим корням, где легко можно определить границы корня. 17 ≈ ?

16 слайд 5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а
Описание слайда:

5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а это только 5, так как 45 ∙ 5 = 225 5 – вторая цифра Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком. 6`25 = 25

17 слайд 6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 562
Описание слайда:

6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 5625 3844 = 3700 + 144 = 37 + 25! = 62. Извлечение корней после числа 752 = 5625 7225 = 7000 + 225 = 70 + 225 = 70 + 15 = 85. Этот способ плох, так как применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, и имеет 2 алгоритма

18 слайд 7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно
Описание слайда:

7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего Х ), тогда , а и т.д. Этот приближенный метод извлечения квадратного корня без использования калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков Древнего мира Герон Александрийский. Этот способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, но с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

19 слайд 8. Геометрический метод На примере 7 работаем в см. Начертим отрезок АС = АН
Описание слайда:

8. Геометрический метод На примере 7 работаем в см. Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см) Найдём середину АС – точку О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС. Отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см. и построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС. Измерим длину полученного отрезка ВН. Получили 2 см и 6 мм. Этот результат и будет примерно равен 1 см 7 см 7 ≈ 2,6 О ● Ограниченность пространством листа и из-за неточности в построении получение больших погрешностей. Теоремы: а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла . б) Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности.

20 слайд 9. Графический метод. 11 3,3 11 3,3 ● Решим графически уравнение 1 1= Х ². у
Описание слайда:

9. Графический метод. 11 3,3 11 3,3 ● Решим графически уравнение 1 1= Х ². у = 11 – прямая, параллельная оси абсцисс, у = Х ² - классическая парабола. Точка их пересечения на [0 ; +∞] имеет абсциссу ≈ 3,3, поэтому 11 ≈ 3,3 11 = ? Состоит в решении уравнения графически. Все недостатки схожи с геометрическим.

21 слайд 10. Метод вещественного анализа элементарной функции у = х 15 ≈ 3,9 у х Полн
Описание слайда:

10. Метод вещественного анализа элементарной функции у = х 15 ≈ 3,9 у х Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.

22 слайд 11. Канадский метод X = S + (X - S) / (2 S ), где, X – число, а S - число бл
Описание слайда:

11. Канадский метод X = S + (X - S) / (2 S ), где, X – число, а S - число ближайшего точного квадрата. Попробуем извлечь квадратный корень из 75 X = 75, S = 81. Это означает, что S = 9. Просчитаем по этой формуле 75: 75 = 9 + (75 - 81) / (2 ∙ 9) 75 = 9 + ( - 6/18 ) = 9 - 0,333 = 8,667 Здесь долгие и сложные вычисления.

23 слайд 12. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный коре
Описание слайда:

12. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75. Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними. Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе) Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая) Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7 Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее уточнением. Каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он прост и сложен одновременно. Прост в понимании, но очень сложен в вычислениях.

24 слайд 13. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9
Описание слайда:

13. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9= 11 - 11 = 0 Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.

25 слайд 14. Метод степенных рядов высших степеней Привожу только пример применения ф
Описание слайда:

14. Метод степенных рядов высших степеней Привожу только пример применения формулы при нахождении х, где х – это число, полученное в результате нехитрой математической операции при извлечении корней на примере 29. Представим, что 29 = 25 + 4 =5²+ 4 = 5²(1+ 4/25) = 5²(1+ 0,16), тогда 29 = 5²( 1 + 0,16) и отсюда 0,16 = х. Осталось применить формулу степенного ряда: 1 + х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² + (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4+ (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5 или 1 - х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² - (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4 - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5   Необходимо помнить формулы, где долгие и сложные вычисления, в которых легко допустить ошибку.

26 слайд 15. Метод составления таблицы x | x² | x ² - (x -1)²| 1 | 1² = 1 | 1 – 0 = 1
Описание слайда:

15. Метод составления таблицы x | x² | x ² - (x -1)²| 1 | 1² = 1 | 1 – 0 = 1 | 2 | 2² = 4 | 4 – 1 = 3 | 3 | 3² = 9 | 9 – 4 = 5 | 4 | 4² = 16 | 16 – 9 = 7 | 5 | 5² = 25 | 25 –16 = 9 | 6 | 6² = 36 | 36 – 25 =11 | 7 | 7² = 49 | 49 – 36 =13 | 8 | 8² = 64 | 64 – 49 =15 | 9 | 9² = 81 | 81 - 64 = 17 | 10 | 10² = 100 | 100 – 81 =19 | Пример №1: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 Последнее слагаемое было 7, пишем (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4 Пример №3 : Нужно извлечь корень из 36 1+3+5+7+9 +11=36 Последнее слагаемое было 11 пишем (11+1):2=6 Корень из 36 равен 6 Пример №2 : Нужно извлечь корень из 25. 1+3+5+7+9=25 Последнее слагаемое было 9, пишем (9+1):2=5. Корень из 25 равен 5 Необходимо иметь такую таблицу и уметь с ней работать, кроме этого способ очень трудоёмкий.

27 слайд Логический метод с использованием теоремы Пифагора с² = а² + в² Ряд чисел от
Описание слайда:

Логический метод с использованием теоремы Пифагора с² = а² + в² Ряд чисел от 2 до 98: 2,5,8,10,13,17,18,20,26,29,34,37,40,41,45,50,52,53,58,61,65,72,74,85,98 3 см 2 см 13 ≈ 3,6 8 10 18 20 5 17 4 2 2 2 3 3 3 1 2 1 4 1 4 Способ работает только на те корни, где катеты – целые числа. Он требует хорошей логики и точных построений.

28 слайд №	Название способа	Для каких корней применим	Требует знания формул	Насколь- к
Описание слайда:

№ Название способа Для каких корней применим Требует знания формул Насколь- ко точный Требует логики Необходи- мое обору- дование Требует допол. знаний Интере-сен и матем . красив Моё мнение об этом способе Услов- ная оценка способу 1 Разложение на множители Только для точных нет До целых, иногда десятых немного Листок и ручка Знание простых чисел нет Не всегда выручит 3 2 Таблица квадратов Для всех до√100 нет До десятых с погрешностью Нет Таблица квадратов Нет да Подходит для школы 5 3 Древний Вавилон Для всех да До десятых Немного Листок и ручка Знать близкий квадрат да Хорош 4 4 Уравнением Для всех да До тысячных Почти нет Листок и ручка Решать уравнения Да Мне нравится 4 5 Деление на пары Для всех нет Любая точность Да, много Листок и ручка Решать ребусы Да Практичный 5 6 Отбрасывание квадрата Для точных четырехзнач. 2 алгоритма До целых Много Листок и ручка Знать квадраты до 29 Да Напрягают 2 алгоритма 3 7 Метод Ньютона Для всех да До любой точности нет Листок и ручка Делить десят. дроби Да Действенный 5 8 Геометрический Для всех до√40 да До дес. с погрешностью Нет циркуль, лин. клет. бумага Две теоремы геометрии Да На фоне других невыигрышный 3 9 Графический Для всех до√40 Нет До десятых Нет Клеточная бумага Граф. реш. уравнений Нет Можно применять 3 10 Функция у = √х Для всех до √32 Нет До десятых Нет Клеточная бумага Строить график Нет Не будут с ним работать 3 11 Канадский Для всех да До десятых Немного Листок и ручка Подбирать близкий квадр Да Хорош 4 12 Метод угадывания Для всех Нет До любой точности Да, немного Листок и ручка Возводить в квадрат нет Пригодится 3 13 Метод вычетов Для точных небольших Нет До целых Нет Листок и ручка Знать нечет. числа Нет Долгий и непрактичный 2 14 Степенные ряды Для всех Да До любой точности Нет Листок и ручка Нет Нет Безумно трудный 2 15 Составление таблицы Для целых небольших Да До целых Нет Листок и ручка Нет Нет Запутанный и непонятный 2 16 По теореме Пифагора Выборочно до √656 Да До целых Очень много Клет. бумага и линейка Нет Красив хорош 4

29 слайд Спасибо за внимание!!!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!!!

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.