Презентация по математике "Извлечение квадратного корня"

• 1 слайд

   
  
  
  
  Извлечение квадратных
  корней без калькулятора
  
  
  учитель математики МБОУ «ООШ №22»,
  Харламова Н.И.
  
  г. Ангарск
  2018
  

• 2 слайд

  Актуальность исследования
  актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора.
  
  

• 3 слайд

  Контрольные работы часто содержат задания, в которых необходим навык приближенного вычисления квадратного корня. Проанализировав, задания ГИА (ОГЭ) я так же увидела необходимость в рассмотрении данного способа. Вот несколько таких заданий из ГИА (ОГЭ).
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Результаты экспресс - опроса учащихся, учителей и родителей
  (январь 2018г), в %
  

• 5 слайд

  Цель работы:
  Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.
  
  

• 6 слайд

  Задачи:
  Проанализировать путём соцопроса умение
  учащихся, преподавателей и родителей извлекать квадратные корни без калькулятора.
  Изучить учебную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей.
  Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.
  Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов, а также классифицировать их.
  Познакомить с результатами полученных исследований
  одноклассников и друзей и создать буклет – памятку
  по самым интересным
  алгоритмам.
  

• 7 слайд

  Гипотеза:
  Предположим, что существует не менее двух-трёх способов
  извлечения квадратных корней без
  калькулятора.
  
  

• 8 слайд

  Объект исследования: математические символы – квадратные корни.
  
  Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
  
  

• 9 слайд

  Методы исследования:
  
  Анализ опроса по изучаемой теме.
  Поиск способов и алгоритмов.
  Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.
  Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач.
  Анализ полученных данных и разработка своего метода.
  Проведение научного экспериментального исследования.
   
   
  
  

• 10 слайд

  однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.
   
  
  

• 11 слайд

  Способы извлечения
  квадратных
  корней
  
  Метод Ньютона
  (Герона)
  
  Метод отбрасывания полного квадрата
  Графический
  Метод подбора уточнением
  Метод использования таблицы квадратов
  Разложение на простые множители
  Через решение уравнения
  Делением на пары
  Метод вычетов нечётных чисел
  Древнего Вавилона
  Канадский
  способ
  Метод степенных рядов
  Метод составления таблицы
  Метод анализа функции
  Геометрический
  

• 12 слайд

  1. Способ разложения на
  простые множители
  Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые
  множители и извлечь квадратный корень из произведения.
  3136│2 7056│2 209764│2
  1568│2 3528│2 104882│2
  784│2 1764│2 52441│229
  392│2 882│2 229│229
  196│2 441│3
  98│2 147│3 209764 = 2∙2∙52441 =
  49│7 49│7 = 2²∙229² = 458
  7│7 7│7
  3136 = 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 7056 = 2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84
  
  Не всегда легко можно разложить,
  чаще до конца не извлекается,
  занимает много времени.
  

• 13 слайд

  2. Способ использования
  таблицы квадратов двузначных чисел
  87 ≈ 9,3 Закрыть две последние цифры,
  3 найти число, которое
  меньше подкоренного.
  9 8649
  Используется только для корней
  до 100, имеет точность только до
  десятых. Поможет на экзамене любому
  школьнику.
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  3. Формула Древнего Вавилона
  Результат извлечения корня
  из 28 с помощью МК равен
  5,2915026.
  Сложность состоит в том, что нужно знать полные квадраты больших чисел, уметь их быстро находить, а также много и правильно считать.
  

• 15 слайд

  4. Через решение уравнения
  
  16 < 17 < 25
  4 < 17 < 5
  4 + Х = 17
  ( 17 )² = (4 + Х) ²
  17 = 16 + 8Х + Х ²
  Х = 0,125
  Значит 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 .
  Такой способ интересный, но трудоёмкий. Больше применим к небольшим корням, где легко можно определить границы корня.
  17 ≈ ?
  

• 16 слайд

  5. Деление на пары
  
  
  2² = 4 2 – первая цифра
  225
  225
  0
  2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а
  это только 5, так как
  45 ∙ 5 = 225
  
  5 – вторая цифра
  
  Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.
  
  6`25 = 25
  

• 17 слайд

  6. Способ отбрасывания
  полного квадрата
  Извлечение корней до числа 752 = 5625
  
  3844 = 3700 + 144 = 37 + 25! = 62.
  Извлечение корней после числа 752 = 5625
  
  7225 = 7000 + 225 = 70 + 225 = 70 + 15 = 85.
  Этот способ плох, так как применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, и имеет 2 алгоритма
  

• 18 слайд

  7. Метод Ньютона 
  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего Х ), тогда
  
  , а и т.д.
  
  Этот приближенный метод
  извлечения квадратного корня без использования
  калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл
  его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков
  Древнего мира Герон Александрийский.
  Этот способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, но с существенным недостатком: громоздкость вычислений.
  

• 19 слайд

  8. Геометрический метод
  На примере 7 работаем в см.
  Начертим отрезок АС = АН + НС,
  то есть АС = 1+ 7 = 8(см)
  Найдём середину АС – точку О
  (АО = ОС) и при помощи циркуля
  построим окружность с центром
  О и радиусом ОС. Отметим точку Н
  на отрезке АС так, что АН = 1 см. и
  построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС.
  Измерим длину полученного отрезка ВН. Получили 2 см и 6 мм.
  Этот результат и будет примерно равен
  
  1 см
  7 см
  7 ≈ 2,6
  О
  ●
  Ограниченность пространством листа и из-за неточности в построении получение больших погрешностей.
  Теоремы:
  а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла .
  б) Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности.
  

• 20 слайд

  9. Графический метод.
  11
  3,3
  11
  3,3
  ●
  Решим графически уравнение 1 1= Х ².
  у = 11 – прямая, параллельная
  оси абсцисс,
  у = Х ² - классическая парабола.
  
  Точка их пересечения на [0 ; +∞]
  имеет абсциссу ≈ 3,3, поэтому 11 ≈ 3,3
  
  
  
  
  
  11 = ?
  Состоит в решении уравнения графически.
  Все недостатки схожи с геометрическим.
  

• 21 слайд

  10. Метод вещественного анализа элементарной функции у = х
  15 ≈ 3,9
  у
  х
  Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.
  

• 22 слайд

  11. Канадский метод
  
  X = S + (X - S) / (2 S ),
  где, X – число, а S - число
  ближайшего точного квадрата.
  Попробуем извлечь квадратный корень из 75
  X = 75, S = 81. Это означает, что S = 9.
  Просчитаем по этой формуле 75:
  75 = 9 + (75 - 81) / (2 ∙ 9)
  75 = 9 + ( - 6/18 ) = 9 - 0,333 = 8,667
  
  Здесь долгие и сложные вычисления.
  

• 23 слайд

  12. Метод подбора
  угадыванием
  Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.
  Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.
  Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало)
  Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)
  Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая)
  Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7
  Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало)
  Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее уточнением.
  Каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он прост и сложен одновременно. Прост в понимании, но очень сложен в вычислениях.
  

• 24 слайд

  13. Метод вычетов нечётного числа
  36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9= 11 - 11 = 0
  Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.
  121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0
  Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11.
  5963364 = ???
  
  Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.
  

• 25 слайд

  14. Метод степенных рядов
  высших степеней
  Привожу только пример применения формулы при нахождении х, где х – это число, полученное в результате нехитрой математической операции при извлечении корней на примере 29.
  Представим, что 29 = 25 + 4 =5²+ 4 = 5²(1+ 4/25) = 5²(1+ 0,16), тогда
  29 = 5²( 1 + 0,16) и отсюда 0,16 = х.
  Осталось применить формулу степенного ряда:
  1 + х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² + (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4+ (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5 или
  1 - х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² - (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4 - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5
   
  Необходимо помнить формулы, где долгие и сложные вычисления, в которых легко допустить ошибку.
  

• 26 слайд

  15. Метод составления таблицы
  
  x | x² | x ² - (x -1)²|
  1 | 1² = 1 | 1 – 0 = 1 |
  2 | 2² = 4 | 4 – 1 = 3 |
  3 | 3² = 9 | 9 – 4 = 5 |
  4 | 4² = 16 | 16 – 9 = 7 |
  5 | 5² = 25 | 25 –16 = 9 |
  6 | 6² = 36 | 36 – 25 =11 |
  7 | 7² = 49 | 49 – 36 =13 |
  8 | 8² = 64 | 64 – 49 =15 |
  9 | 9² = 81 | 81 - 64 = 17 |
  10 | 10² = 100 | 100 – 81 =19 |
  Пример №1: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 Последнее слагаемое было 7, пишем (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4
  Пример №3 : Нужно извлечь корень из 36 1+3+5+7+9 +11=36 Последнее слагаемое было 11 пишем (11+1):2=6 Корень из 36 равен 6
  Пример №2 : Нужно извлечь корень из 25. 1+3+5+7+9=25 Последнее слагаемое было 9, пишем (9+1):2=5. Корень из 25 равен 5
  Необходимо иметь такую таблицу и уметь с ней работать, кроме этого способ очень трудоёмкий.
  

• 27 слайд

  Логический метод с использованием
  теоремы Пифагора с² = а² + в²
  
  
  
  
  
  Ряд чисел от 2 до 98:
  2,5,8,10,13,17,18,20,26,29,34,37,40,41,45,50,52,53,58,61,65,72,74,85,98
  
  3 см
  2 см
  13 ≈ 3,6
  8
  10
  18
  20
  5
  17
  4
  2
  2
  2
  3
  3
  3
  1
  2
  1
  4
  1
  4
  Способ работает только на те корни, где катеты – целые числа. Он требует хорошей логики и точных построений.
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  Спасибо за внимание!!!
  
  

Краткое описание документа:

В данной презентации представлены 15 способов извлечения арифметического квадратного корня: разложение на множители, с помощью таблицы квадратов, способ Древнего Вавилона, уравнением, деление на пары, отбрасывание квадрата, метод Ньютона, геометрический, графический, канадский, метод угадывания, метод вычетов, степенные ряды, составление таблицы. Так как на ГИА использование калькуляторов запрещено, то изучение данных способов будет полезно не только учащимся, но и педагогам.