Презентация по математике "Извлечение квадратного корня"

  Извлечение квадратных корней без калькулятора учитель математики МБОУ «ООШ №22», Харламова Н.И. г. Ангарск 2018

актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математического цикла в ситуациях недоступности калькулятора.

Результаты экспресс - опроса учащихся, учителей и родителей (январь 2018г), в %

Цель работы: Изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

Задачи: Проанализировать путём соцопроса умение учащихся, преподавателей и родителей извлекать квадратные корни без калькулятора. Изучить учебную литературу по данному вопросу, научные статьи, исторические справки и работы современных учёных и исследователей. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов, а также классифицировать их. Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и друзей и создать буклет – памятку по самым интересным алгоритмам.

Гипотеза: Предположим, что существует не менее двух-трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Анализ опроса по изучаемой теме. Поиск способов и алгоритмов. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков. Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач. Анализ полученных данных и разработка своего метода. Проведение научного экспериментального исследования.    

однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения «умной» техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.  

1. Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 209764 = 2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = 2²∙229² = 458 7│7 7│7 3136 = 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 7056 = 2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84 Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.

2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 87 ≈ 9,3 Закрыть две последние цифры, 3 найти число, которое меньше подкоренного. 9 8649 Используется только для корней до 100, имеет точность только до десятых. Поможет на экзамене любому школьнику.

3. Формула Древнего Вавилона Результат извлечения корня из 28 с помощью МК равен 5,2915026. Сложность состоит в том, что нужно знать полные квадраты больших чисел, уметь их быстро находить, а также много и правильно считать.

4. Через решение уравнения 16 < 17 < 25 4 < 17 < 5 4 + Х = 17 ( 17 )² = (4 + Х) ² 17 = 16 + 8Х + Х ² Х = 0,125 Значит 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 . Такой способ интересный, но трудоёмкий. Больше применим к небольшим корням, где легко можно определить границы корня. 17 ≈ ?

5. Деление на пары 2² = 4 2 – первая цифра 225 225 0 2+2 = 4 ? ∙ ? = 225, а это только 5, так как 45 ∙ 5 = 225 5 – вторая цифра Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком. 6`25 = 25

6. Способ отбрасывания полного квадрата Извлечение корней до числа 752 = 5625 3844 = 3700 + 144 = 37 + 25! = 62. Извлечение корней после числа 752 = 5625 7225 = 7000 + 225 = 70 + 225 = 70 + 15 = 85. Этот способ плох, так как применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, и имеет 2 алгоритма

7. Метод Ньютона  Пусть а1 — первое приближение числа Х (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего Х ), тогда , а и т.д. Этот приближенный метод извлечения квадратного корня без использования калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков Древнего мира Герон Александрийский. Этот способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, но с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

8. Геометрический метод На примере 7 работаем в см. Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см) Найдём середину АС – точку О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС. Отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см. и построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС. Измерим длину полученного отрезка ВН. Получили 2 см и 6 мм. Этот результат и будет примерно равен 1 см 7 см 7 ≈ 2,6 О ● Ограниченность пространством листа и из-за неточности в построении получение больших погрешностей. Теоремы: а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла . б) Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности.

9. Графический метод. 11 3,3 11 3,3 ● Решим графически уравнение 1 1= Х ². у = 11 – прямая, параллельная оси абсцисс, у = Х ² - классическая парабола. Точка их пересечения на [0 ; +∞] имеет абсциссу ≈ 3,3, поэтому 11 ≈ 3,3 11 = ? Состоит в решении уравнения графически. Все недостатки схожи с геометрическим.

10. Метод вещественного анализа элементарной функции у = х 15 ≈ 3,9 у х Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.

11. Канадский метод X = S + (X - S) / (2 S ), где, X – число, а S - число ближайшего точного квадрата. Попробуем извлечь квадратный корень из 75 X = 75, S = 81. Это означает, что S = 9. Просчитаем по этой формуле 75: 75 = 9 + (75 - 81) / (2 ∙ 9) 75 = 9 + ( - 6/18 ) = 9 - 0,333 = 8,667 Здесь долгие и сложные вычисления.

12. Метод подбора угадыванием Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75. Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними. Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе) Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая) Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7 Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало) Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее уточнением. Каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом. Он прост и сложен одновременно. Прост в понимании, но очень сложен в вычислениях.

13. Метод вычетов нечётного числа 36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9= 11 - 11 = 0 Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.

14. Метод степенных рядов высших степеней Привожу только пример применения формулы при нахождении х, где х – это число, полученное в результате нехитрой математической операции при извлечении корней на примере 29. Представим, что 29 = 25 + 4 =5²+ 4 = 5²(1+ 4/25) = 5²(1+ 0,16), тогда 29 = 5²( 1 + 0,16) и отсюда 0,16 = х. Осталось применить формулу степенного ряда: 1 + х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² + (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4+ (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5 или 1 - х =1 + (1/2)х - (1/2) (1/4) х² - (1/2) (1/4) (3/6) х³ - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4 - (1/2) (1/4) (3/6) (5/8) (7/10)х5   Необходимо помнить формулы, где долгие и сложные вычисления, в которых легко допустить ошибку.

15. Метод составления таблицы x | x² | x ² - (x -1)²| 1 | 1² = 1 | 1 – 0 = 1 | 2 | 2² = 4 | 4 – 1 = 3 | 3 | 3² = 9 | 9 – 4 = 5 | 4 | 4² = 16 | 16 – 9 = 7 | 5 | 5² = 25 | 25 –16 = 9 | 6 | 6² = 36 | 36 – 25 =11 | 7 | 7² = 49 | 49 – 36 =13 | 8 | 8² = 64 | 64 – 49 =15 | 9 | 9² = 81 | 81 - 64 = 17 | 10 | 10² = 100 | 100 – 81 =19 | Пример №1: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 Последнее слагаемое было 7, пишем (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4 Пример №3 : Нужно извлечь корень из 36 1+3+5+7+9 +11=36 Последнее слагаемое было 11 пишем (11+1):2=6 Корень из 36 равен 6 Пример №2 : Нужно извлечь корень из 25. 1+3+5+7+9=25 Последнее слагаемое было 9, пишем (9+1):2=5. Корень из 25 равен 5 Необходимо иметь такую таблицу и уметь с ней работать, кроме этого способ очень трудоёмкий.

Логический метод с использованием теоремы Пифагора с² = а² + в² Ряд чисел от 2 до 98: 2,5,8,10,13,17,18,20,26,29,34,37,40,41,45,50,52,53,58,61,65,72,74,85,98 3 см 2 см 13 ≈ 3,6 8 10 18 20 5 17 4 2 2 2 3 3 3 1 2 1 4 1 4 Способ работает только на те корни, где катеты – целые числа. Он требует хорошей логики и точных построений.

№ Название способа Для каких корней применим Требует знания формул Насколь- ко точный Требует логики Необходи- мое обору- дование Требует допол. знаний Интере-сен и матем . красив Моё мнение об этом способе Услов- ная оценка способу 1 Разложение на множители Только для точных нет До целых, иногда десятых немного Листок и ручка Знание простых чисел нет Не всегда выручит 3 2 Таблица квадратов Для всех до√100 нет До десятых с погрешностью Нет Таблица квадратов Нет да Подходит для школы 5 3 Древний Вавилон Для всех да До десятых Немного Листок и ручка Знать близкий квадрат да Хорош 4 4 Уравнением Для всех да До тысячных Почти нет Листок и ручка Решать уравнения Да Мне нравится 4 5 Деление на пары Для всех нет Любая точность Да, много Листок и ручка Решать ребусы Да Практичный 5 6 Отбрасывание квадрата Для точных четырехзнач. 2 алгоритма До целых Много Листок и ручка Знать квадраты до 29 Да Напрягают 2 алгоритма 3 7 Метод Ньютона Для всех да До любой точности нет Листок и ручка Делить десят. дроби Да Действенный 5 8 Геометрический Для всех до√40 да До дес. с погрешностью Нет циркуль, лин. клет. бумага Две теоремы геометрии Да На фоне других невыигрышный 3 9 Графический Для всех до√40 Нет До десятых Нет Клеточная бумага Граф. реш. уравнений Нет Можно применять 3 10 Функция у = √х Для всех до √32 Нет До десятых Нет Клеточная бумага Строить график Нет Не будут с ним работать 3 11 Канадский Для всех да До десятых Немного Листок и ручка Подбирать близкий квадр Да Хорош 4 12 Метод угадывания Для всех Нет До любой точности Да, немного Листок и ручка Возводить в квадрат нет Пригодится 3 13 Метод вычетов Для точных небольших Нет До целых Нет Листок и ручка Знать нечет. числа Нет Долгий и непрактичный 2 14 Степенные ряды Для всех Да До любой точности Нет Листок и ручка Нет Нет Безумно трудный 2 15 Составление таблицы Для целых небольших Да До целых Нет Листок и ручка Нет Нет Запутанный и непонятный 2 16 По теореме Пифагора Выборочно до √656 Да До целых Очень много Клет. бумага и линейка Нет Красив хорош 4

Спасибо за внимание!!!