349935
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезентация по математике: "ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ"

Презентация по математике: "ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математи...
ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда о...
Доказательство
Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если тре...
Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, чт...
Доказательство.  
Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружност...
Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠C...
Задача 4   Доказательство.  
Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q —...
Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Иск...
Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α и...
Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3...
Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треуголь...
Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус...
Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, р...
Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC....
Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отре...
Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где A...
Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 –...
Задача 11  
а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C...
Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH...
Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SAB...
Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, оп...
https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математи
Описание слайда:

ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математики 2016

2 слайд ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда о
Описание слайда:

ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда описанные окружности треугольников ABC, BHC, AHC и AHB равны между собой.

3 слайд Доказательство
Описание слайда:

Доказательство

4 слайд Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если тре
Описание слайда:

Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если треугольник ABC — прямоугольный (∠A = 90°), то вершина A является ортоцентром в треугольнике ABC, то есть точки A и H совпадают. В этом случае ω и s — одна и та же окружность.

5 слайд Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, чт
Описание слайда:

Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, что Т ∈ s.

6 слайд Доказательство.  
Описание слайда:

Доказательство.  

7 слайд Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружност
Описание слайда:

Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружности s.

8 слайд Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠C
Описание слайда:

Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠CBH3 (как внутренние накрест лежащие при прямых AB || CT и секущей BC). Тогда ∠HCT = ∠1 + ∠2 = 90° – ∠CBH3 + ∠CBH3 = 90°. Поскольку он является вписанным в окружность s, то HT — диаметр этой окружности.

9 слайд Задача 4   Доказательство.  
Описание слайда:

Задача 4   Доказательство.  

10 слайд Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q —
Описание слайда:

Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q — центра окружности s — до стороны BC.

11 слайд Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Иск
Описание слайда:

Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Искомый отрезок QM найдем из треугольника CQM. Поскольку ∠BQC = 2 α (покажите!), то ∠  CQM = α, и Тогда Для задачи 6

12 слайд Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α и
Описание слайда:

Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α или, в общем случае, AH = a | ctg  α  |. Следствие 2 Так как то точки O (центр описанной окружности треугольника ABC) и Q симметричны относительно стороны BC.

13 слайд Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3
Описание слайда:

Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3 и QH.

14 слайд Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треуголь
Описание слайда:

Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треугольника ABC. Тогда Пусть L = QH ∩ AB. Очевидно, ∠HLH3 = 90° – ∠C (QH || OA). В то же время ∠BH3H2 = 180° – ∠C, так как точки B, H3, H2, C лежат на одной окружности, в которой BC — диаметр (покажите!). Тогда смежный с ним ∠LH3H2 = ∠C, значит, прямые H2H3 и QH перпендикулярны.

15 слайд Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус
Описание слайда:

Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус R окружности ω, описанной около треугольника ABC. Наименьшим числом линий постройте ортоцентр H треугольника ABC.

16 слайд Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, р
Описание слайда:

Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, равным R, в пересечении дадут точку Q — центр окружности s. На это «потрачено» две линии. Третья линия — окружность s с центром в точке Q радиуса R. Она пересекает высоту AH1 в искомой точке H.

17 слайд Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC.
Описание слайда:

Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC. Доказательство. Действительно, вершина A является ортоцентром в треугольнике BHC. Точка Q — центр описанной окружности s этого треугольника. Так как прямая Эйлера проходит через центр описанной окружности треугольника и его ортоцентр, то AQ — именно такая прямая для треугольника BHC.

18 слайд Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отре
Описание слайда:

Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отрезка AQ может быть вычислена по формуле AQ2 = R2 + b2 + c2 – a2.

19 слайд Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где A
Описание слайда:

Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где AH2 = 4R2 – a2 и HT2 = (2R)2 = 4R2. Имеем: Воспользовавшись для треугольника ABC еще раз формулой медианы получим: AQ2 = R2 + b2 + c2 – a2.

20 слайд Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 –
Описание слайда:

Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2). Для треугольника BHC отрезок AQ — аналог отрезка OH. Тогда Поскольку Rs = R согласно лемме о равных окружностях и BH2 = 4R2 – b2, CH2 = 4R2 – c2, получим: AQ2 = 9R2 – (a2 + 4R2 – b2 + 4R2 – c2) = R2 + b2 + c2 – a2, что и требовалось доказать.

21 слайд Задача 11  
Описание слайда:

Задача 11  

22 слайд а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C
Описание слайда:

а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C принадлежат окружности s. б) Известно, что В нашем случае ∠BIC = 90° + 30° = 120°. Значит, инцентр I также лежит на окружности s.  

23 слайд Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH
Описание слайда:

Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH = z, где H — ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что abc = ayz + bxz + cxy.

24 слайд Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SAB
Описание слайда:

Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SABC = SBHC + SAHC + SAHB. Нам требуется доказать, что 4SR = 4SBHC · R + 4SAHC · R + 4RAHB · R или S = SBHC + SAHC + SAHB, что верно.

25 слайд Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, оп
Описание слайда:

Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, описанных около треугольников BHC, AHC, AHB. Докажите, что AQ1, BQ2 и CQ3 пересекаются в одной точке. Доказательство. Мы уже показали, что OQHA — параллелограмм (см. задачу 6). Тогда AQ и OH пересекаются, например, в точке E, где E — середина OH. Итак, AQ (в нашей задаче AQ1) проходит через точку E. Аналогично, каждый из отрезков BQ2 и CQ3 делит OH пополам. Таким образом, все они проходят через точку E — середину OH.

26 слайд https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80
Описание слайда:

https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 http://revolt33.narod.ru/matem/Bereg_site/bereg_3.html http://methmath.ru/krokr.html СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

27 слайд  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

28 слайд
Описание слайда:

Общая информация

Номер материала: ДБ-078190

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.