Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике: "ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Презентация по математике: "ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ"

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов
ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математи...
ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда о...
Доказательство
Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если тре...
Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, чт...
Доказательство.  
Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружност...
Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠C...
Задача 4   Доказательство.  
Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q —...
Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Иск...
Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α и...
Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3...
Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треуголь...
Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус...
Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, р...
Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC....
Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отре...
Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где A...
Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 –...
Задача 11  
а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C...
Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH...
Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SAB...
Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, оп...
https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
28 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математи
Описание слайда:

ЛЕММА О РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЯХ Работу выполнила: Костюкова Г.А. учитель математики 2016

№ слайда 2 ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда о
Описание слайда:

ЛЕММА Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника ABC. Тогда описанные окружности треугольников ABC, BHC, AHC и AHB равны между собой.

№ слайда 3 Доказательство
Описание слайда:

Доказательство

№ слайда 4 Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если тре
Описание слайда:

Задача 1 Бывает ли, что окружности ω и s совпадают? Решение. Бывает. Если треугольник ABC — прямоугольный (∠A = 90°), то вершина A является ортоцентром в треугольнике ABC, то есть точки A и H совпадают. В этом случае ω и s — одна и та же окружность.

№ слайда 5 Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, чт
Описание слайда:

Задача 2 Медиану АМ треугольника АВС удвоили и получили точку Т. Докажите, что Т ∈ s.

№ слайда 6 Доказательство.  
Описание слайда:

Доказательство.  

№ слайда 7 Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружност
Описание слайда:

Задача 3 Докажите, что в обозначениях задачи 2 отрезок HT — диаметр окружности s.

№ слайда 8 Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠C
Описание слайда:

Доказательство. Из треугольника BCH3 находим, что ∠1 = 90° – ∠CBH3. А ∠2 = ∠CBH3 (как внутренние накрест лежащие при прямых AB || CT и секущей BC). Тогда ∠HCT = ∠1 + ∠2 = 90° – ∠CBH3 + ∠CBH3 = 90°. Поскольку он является вписанным в окружность s, то HT — диаметр этой окружности.

№ слайда 9 Задача 4   Доказательство.  
Описание слайда:

Задача 4   Доказательство.  

№ слайда 10 Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q —
Описание слайда:

Задача 5 В треугольнике ABC BC = a и ∠A = α. Найдите расстояние от точки Q — центра окружности s — до стороны BC.

№ слайда 11 Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Иск
Описание слайда:

Решение. Очевидно, точка Q — середина отрезка TH — диаметра окружности s. Искомый отрезок QM найдем из треугольника CQM. Поскольку ∠BQC = 2 α (покажите!), то ∠  CQM = α, и Тогда Для задачи 6

№ слайда 12 Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α и
Описание слайда:

Следствие 1 Так как QM — средняя линия в треугольнике AHT, то AH = a ctg  α или, в общем случае, AH = a | ctg  α  |. Следствие 2 Так как то точки O (центр описанной окружности треугольника ABC) и Q симметричны относительно стороны BC.

№ слайда 13 Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3
Описание слайда:

Задача 7 BH2 и CH3 — высоты треугольника ABC. Найдите угол между прямыми H2H3 и QH.

№ слайда 14 Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треуголь
Описание слайда:

Решение. ∠AOB = 2∠C — центральный угол окружности ω, описанной около треугольника ABC. Тогда Пусть L = QH ∩ AB. Очевидно, ∠HLH3 = 90° – ∠C (QH || OA). В то же время ∠BH3H2 = 180° – ∠C, так как точки B, H3, H2, C лежат на одной окружности, в которой BC — диаметр (покажите!). Тогда смежный с ним ∠LH3H2 = ∠C, значит, прямые H2H3 и QH перпендикулярны.

№ слайда 15 Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус
Описание слайда:

Задача 8 Дан треугольник ABC, в котором проведена высота AH1. Известен радиус R окружности ω, описанной около треугольника ABC. Наименьшим числом линий постройте ортоцентр H треугольника ABC.

№ слайда 16 Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, р
Описание слайда:

Решение. Так как Rs = Rω = R, то засечки из вершин B и C раствором циркуля, равным R, в пересечении дадут точку Q — центр окружности s. На это «потрачено» две линии. Третья линия — окружность s с центром в точке Q радиуса R. Она пересекает высоту AH1 в искомой точке H.

№ слайда 17 Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC.
Описание слайда:

Задача 9 Докажите, что прямая AQ является прямой Эйлера для треугольника BHC. Доказательство. Действительно, вершина A является ортоцентром в треугольнике BHC. Точка Q — центр описанной окружности s этого треугольника. Так как прямая Эйлера проходит через центр описанной окружности треугольника и его ортоцентр, то AQ — именно такая прямая для треугольника BHC.

№ слайда 18 Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отре
Описание слайда:

Задача 10 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Докажите, что длина отрезка AQ может быть вычислена по формуле AQ2 = R2 + b2 + c2 – a2.

№ слайда 19 Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где A
Описание слайда:

Доказательство. Способ I По формуле медианы для треугольника AHT имеем: где AH2 = 4R2 – a2 и HT2 = (2R)2 = 4R2. Имеем: Воспользовавшись для треугольника ABC еще раз формулой медианы получим: AQ2 = R2 + b2 + c2 – a2.

№ слайда 20 Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 –
Описание слайда:

Доказательство. Способ II Для треугольника ABC известна формула: OH2 = 9R2 – (a2 + b2 + c2). Для треугольника BHC отрезок AQ — аналог отрезка OH. Тогда Поскольку Rs = R согласно лемме о равных окружностях и BH2 = 4R2 – b2, CH2 = 4R2 – c2, получим: AQ2 = 9R2 – (a2 + 4R2 – b2 + 4R2 – c2) = R2 + b2 + c2 – a2, что и требовалось доказать.

№ слайда 21 Задача 11  
Описание слайда:

Задача 11  

№ слайда 22 а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C
Описание слайда:

а) Так как ∠BOC = 2 ∠A = 120° и ∠BHC = 180° – ∠A = 120°, то точки B, H, O, C принадлежат окружности s. б) Известно, что В нашем случае ∠BIC = 90° + 30° = 120°. Значит, инцентр I также лежит на окружности s.  

№ слайда 23 Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH
Описание слайда:

Задача 12 В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = c. Пусть AH = x, BH = y, CH = z, где H — ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что abc = ayz + bxz + cxy.

№ слайда 24 Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SAB
Описание слайда:

Доказательство. Воспользуемся леммой Rω = Rs = R, формулой и тем, что S = SABC = SBHC + SAHC + SAHB. Нам требуется доказать, что 4SR = 4SBHC · R + 4SAHC · R + 4RAHB · R или S = SBHC + SAHC + SAHB, что верно.

№ слайда 25 Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, оп
Описание слайда:

Задача 13 Пусть Q1, Q2, Q3 — соответственно центры окружностей s1, s2, s3, описанных около треугольников BHC, AHC, AHB. Докажите, что AQ1, BQ2 и CQ3 пересекаются в одной точке. Доказательство. Мы уже показали, что OQHA — параллелограмм (см. задачу 6). Тогда AQ и OH пересекаются, например, в точке E, где E — середина OH. Итак, AQ (в нашей задаче AQ1) проходит через точку E. Аналогично, каждый из отрезков BQ2 и CQ3 делит OH пополам. Таким образом, все они проходят через точку E — середину OH.

№ слайда 26 https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80
Описание слайда:

https://yandex.ru/images/search?p=4&text=%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 http://revolt33.narod.ru/matem/Bereg_site/bereg_3.html http://methmath.ru/krokr.html СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

№ слайда 27  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

№ слайда 28
Описание слайда:

Общая информация

Номер материала: ДБ-078190

Похожие материалы