Презентация по математике методы решения алгебраических уравнений

• 1 слайд

  презентация
  "Алгебраические
  уравнения"
  Выполнил преподаватель Ускова С. В
  «Красногоский колледж»
  
  по математике на тему:
  

• 2 слайд

  План:
  
  1. Краткая историческая справка
  2. Уравнения с одной переменной
  а) Уравнения 1-ой степени
  б) Квадратные уравнения
  в) Кубические уравнения
  г) Уравнения 4-ой степени
  д) Уравнения выше 4-ой степени
  е) Биквадратные уравнения
  ж) Двучленные кубические уравнения
  з) Иррациональные уравнения
  3. Линейные уравнения с 2-мя, 3-мя и т.д. переменными
  а) Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными
  б) Система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными
  в) Система 4-х, 5-ти и т.д. линейных уравнений с 4-мя, 5-тью и т.д. переменными
  4. Показательные уравнения
  5. Логарифмические уравнения
  

• 3 слайд

  Решение уравнений 1-й и 2-й степеней известно еще с древности(со времён Диофанта). К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) древнегреческие математики пришли, по-видимому, геометрическим путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних)не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). В 16 в. итальянскими математиками найдены решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
  Краткая историческая справка
  

• 4 слайд

  Для уравнения вида x3+ px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) впервые была применена формула Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом. Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что решения уравнений степени выше 4-й, вообще говоря, нельзя выразить через коэффициент уравнения при помощи алгебраических действий. К. Гауссом был предложен другой способ решения таких уравнений (который позднее был назван его именем ). Он установил (1799), что всякое алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (решений), действительных или мнимых.
  

• 5 слайд

  Алгебраические уравнения
  с 1-ой переменной
  Общий вид
  Где x – переменная величина; P (x), Q (x), F (x) и R (x) – выражения, содержащие переменную, причём Q (x) ≠ 0,
  R (x) ≠ 0. Для решения (*) воспользуемся главным свойством пропорции
  (*)
  (**)
  (**) после преобразований может стать одним из следующих:
  
  )
  (
  )
  (
  )
  (
  )
  (
  x
  F
  x
  Q
  x
  R
  x
  P
  ×
  =
  ×
  

• 6 слайд

  
  Решение:
  - квадратное уравнение.
  Решение:
  , где
  - дискриминант.
  Здесь возможны случаи:
  D>0, уравнение имеет два корня, выраженных действительными числами;
  D=0, уравнение имеет один корень;
  D<0, уравнение имеет два корня, представленных комплексными числами.
  и
  , где
  - кубическое уравнение.
  - уравнение 1-ой степени.
  

• 7 слайд

  Кубические и уравнения четвёртой степени решаются по сложным
  формулам, которые вывел итальянский математик Кордано (17в.)
  (смотри специальные справочники).
  - уравнение 4-ой степени.
  , где n=5,6,7,…,k.
  Общие формулы для нахождения корней уравнения выше 4- ой
  степени не существует. Такие уравнения решают с помощью
  компьютеров; в некоторых частных случаях они решаются с
  помощью искусственных приёмов.
  Отметим уравнения:
  Это частный случай уравнения 4,
  
  называется оно биквадратным.
  Решение:
  и тогда получаем
  где
  

• 8 слайд

  двучленное кубическое уравнение.
  Решение:
  Представляя далее
  получаем
  - уравнение 1- ой степени.
  квадратное
  уравнение.
  
  

• 9 слайд

  Примеры:
  1. Найти x из уравнения
  Решение: Ограничения: x ≠ -1, x ≠ 2.
  По свойству пропорции имеем
  (2x – 3) · (x – 2) = (x + 1) · (2x + 5) 
  2x2 – 4x – 3x + 6 = 2x2 + 5x + 2x + 5 
  -4 – 3x – 5x – 2x = 5 – 6  -14x = -1 x =
  2. Найти x из уравнения
  Решение: (kx – m) · 3 = n (nx + k ) 3kx – 3m = n2x + nk 
   3kx – n2x = nk + 3m  x (3k – n2) = nk + 3m 
   x = (nk + 3m)/(3k – n2) .
  

• 10 слайд

  Решение:
  4. Найти x из уравнения
  Решение:
  Возьмём в квадрат обе части полученного равенства, получим
  3. Найти H из уравнения
  

• 11 слайд

  5. Найти d из уравнения
  Решение:
  8. Иррациональные уравнения
  Иррациональные уравнения – это уравнения, содержащие переменную величину под знаком корня того или иного показателя.
  Примеры:
  

• 12 слайд

  Решение иррациональных уравнений сводится к освобождению их от корней.
  Примечание:
  Если в иррациональные уравнения входят корни
  чётной степени, то предполагается, что они
  имеют только арифметические значения, т.е.
  2. Иррациональные уравнения необходимо проверять, так как в процессе освобождения от корней могут появиться «лишние», посторонние решения.
  3. Значения переменной, выраженные комплексными числами, из решения исключаются.
  

• 13 слайд

  Примеры решений иррациональных уравнений:
  1. Решить уравнение
  Решение:
  Очевидно, что x2=13 не является решением данного уравнения.
  Ответ:
  
  2. Решить уравнение
  Решение:
  Перенося 3 в правую часть, получаем
  т.к. два положительных числа или нули в сумме не
  могут дать отрицательное значение.
  

• 14 слайд

  3. Решить уравнение
  Решение:
  Оставляя в левой части один из радикалов, получим
  Ответ: {-1}.
  
  4. Решить уравнение
  Решение:
  Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в квадрат привело бы к громоздким преобразованиям. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что данное уравнение легко сводится к квадратному, если обе его части умножить на 2.
  Действительно
  

• 15 слайд

  Пологая далее , получим
  
  
  Имеем и .
  Очевидно, что второе уравнение решений не имеет, остаётся решить . Возведя обе части в квадрат, получим
  
  Проверка покажет, что оба найденных значений x являются решениями данного уравнения.
  Ответ: {-2; 3,5}.
  
  5. Решить уравнение
  Решение: Возьмём обе части данного уравнения в квадрат и уединим затем оставшийся радикал:
  

• 16 слайд

  Проверка: Проверять найденные корни подстановкой в исходное уравнение затруднительно, да и оказывается нецелесообразным. Поступим следующим образом. Найдём область определения данного уравнения. Из системы неравенств:
  
  
  
  Находим, что этой областью является
  множество значений
  Выясним, принадлежат ли найденные корни этому промежутку.
  

• 17 слайд

  Имеем
  
  
  следовательно, x1>2, т. е. x  [2; ∞), и ,значит, может являться корнем заданного уравнения.
  Далее найдём разность x2 - 2 :
  
  
  
   x2 не принадлежит промежутку [2; ∞) и, значит, не является корнем данного уравнения.
  Вернёмся теперь к x1.
  Выясним знак разности, находящийся в правой части уравнения
  
  
  Имеем
  

• 18 слайд

  Таким образом, является корнем уравнения
  
  А так как это уравнение равносильно
  
  данному, то и будет его решением.
  
  6. Найти x из уравнения x2 – 3mx + 2m2 – mn – n2=0
  Решение:
  Здесь a=1, b=-3m, c=2m2 – mn – n2.
  

• 19 слайд

  7. Решить уравнение x3+2x2 –3 = 0.
  Решение:
  Представим 2x2=3x2 –x2, тогда получим x3+2x2 –x2 –3 = 0.
  Группируя 1 с 3-им членом и второй с 4-ым, получим
  

• 20 слайд

  Показательные уравнения
  Показательные уравнения – это уравнения, содержащие переменную величину в показатель правой или левой частях уравнения, или справа и слева одновременно.
  
  Например: и др.
  Наиболее распространены показательные уравнения:
  1.
  Здесь F(x) – выражение, содержащие x; a – основание, a > 0; a ≠ 1.
  Решение: Т.к , то имеем
  Получили одно из уравнений группы A.
  2.
  Здесь возможны два варианта:
  

• 21 слайд

  а) и тогда
  б) , т.е имеем которое решается путём логарифмирования - , отсюда находится x.
  
  3. , где A, B и C –действительные числа.
  Решение:
  
  Обозначая первую часть этого уравнения через b, получаем
  (см. пункт 2).
  4. где A, B и C –
  действительные числа.
  Решение: Примем , тогда получим уравнение
  , из которого находится z1 и z2 , а затем значения x.
  

• 22 слайд

  Примеры:
  1. Решить уравнение
  
  Так как, то получаем
  
  
  2. Решить уравнение
  Здесь , поэтому приходится вводить логарифм :
  
  
  
  3. Решить уравнение
  Принимая получаем
  не подходит, т.к. ( при любом x ), поэтому остаётся . Имеем
  

• 23 слайд

  4. Решить уравнение
  Так показатели складываются при умножении степеней, то данное уравнение перепишем так:
  
  5. Решить уравнение
  Так как и ,то получаем
  

• 24 слайд

  Логарифмические уравнения
  Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма или в его основании.
  Наиболее распространённые логарифмические уравнения:
  1.
  Решение: , отсюда находится x.
  2.
  Решение: Равным логарифмам соответствуют равные числа, т.е.
  3.
  Решение: Принимая , получим уравнение
  , отсюда находится z1 и z2 , а затем x1 и x2.
  

• 25 слайд

  4.
  Для решения этого уравнения необходимо все логарифмы привести к одному основанию: a или 10.
  Примечание: Все логарифмические уравнения обязательно проверяются!!!
  Примеры:
  1. Решить уравнение
  Решение:
  
  2. Решить уравнение
  Решение: На основании свойства №4 логарифма , отсюда данное уравнение можно записать так:
  
  Пусть , тогда
  

• 26 слайд

  Имеем
  
  
  
  
  Проверка:
  
  
  
  
  
  
  - истинно.
  
  
  
  
  - истинно.
  

• 27 слайд

  Ответ:
  
  
  3. Решить уравнение
  Решение: Так как по свойству 2 логарифмов сумма логарифмов двух чисел равна логарифму произведения этих чисел, получаем
  
  (равны логарифмы, одинаковые числа )
  
  из решения уходит, т.к. не существует.
  Ответ: {3}.
  4. Решить уравнение
  Решение: Перейдём к логарифмам с основанием 2.
  Получим
  

• 28 слайд

  Исходное уравнение преобразуется к виду
  
  
  
  5. Решить уравнение
  
  Решение:
  

• 29 слайд

  Решить самостоятельно следующие логарифмические уравнения:
  1). 0;5
  2). -4;0.
  3). 65.
  4). 4;6.
  5). 5.
  6). 2,5.
  7). 41.
  8). 2.
  9). .
  

• 30 слайд

  Решить самостоятельно следующие показательные уравнения.
  1). {0;4}
  2). {-2;4}
  3). {-4;5}
  4). {-2}
  5). {4}
  6). {2}
  7). {-1/2;2}
  8). {}
  9). {}
  10). {2;3}
  11). {0,5}
  12). {2}.
  13). {1}.
  14). {2/5}.
  

• 31 слайд

  Решить следующие уравнения.
  1). 2x-3/x+2=2x/x {-5/6}
  2). 3x+2/x-5=3x-4/x+1 {5/12}
  3). x/2x-4-x+5/2x+3=0 {20/3}
  4). 2x²-3x-2=0 {-1/2;2}
  5). x²-4x+20=0 {2-4j; 2+4j}
  6). ½(x-2)-1/3(3x-7)=1/x {28/11;3}
  7). {-1/2;-2;1/2;2}
  8). 2x³+16=0 {-2;1+3j; 1-3j}
  9). 1/x²+2x-1/(x+1)²=1/2 {0;-1;-2}
  10). x(x-2)(x-3)(x-5)=72 {2;3;5-73/2; 5+73/2}
  11). z²-3mz+2m²-mn-n²=0 {z1=m-n;z2=2m+n}
  12). mx+k/nx-p=5/3 {3k+5p/5n-3m}
  13). F = Q1Q2/K(R-x)² , x-?
  (R-Q1Q2/FK)