Презентация по математике на тему "АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ" (10 класс)

• 1 слайд

  Алгебраические действия над комплексными числами
  

• 2 слайд

  "Комплексное число –
  это тонкое и поразительное средство божественного духа,
  почти амфибия между бытием и небытием".
  Г. Лейбниц
  
  

• 3 слайд

  Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14.11.1716) – немецкий математик, физик и философ.
  

• 4 слайд

  Многовековая история развития представления человека о числах –
  одна и самых ярких сторон развития человеческой культуры.
  
  

• 5 слайд

  Дроби появились очень рано – уже у египтян и вавилонян – в связи с переходом к более мелким единицам измерения. Их связь с делением натуральных чисел понималась более смутно и вторично.
  

• 6 слайд

  
  Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они себе уяснили существование иррациональных чисел.
  

• 7 слайд

  Отрицательные числа появились в 5-6 веках в индийской и арабской математике. Отрицательные числа рассматривали как «воображаемые» , ненастоящие числа.
  

• 8 слайд

  История возникновения комплексных чисел
  Первое упоминание в истории комплексных чисел , можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объём пирамиды, столкнулся с тем, что должен был вычислить квадратный корень из разности
  81-144.
  

• 9 слайд

  История возникновения комплексных чисел
  «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году , когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел
  

• 10 слайд

  История возникновения комплексных чисел
  

• 11 слайд

  История возникновения комплексных чисел
  Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году.
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  Действия над комплексными числами
  в алгебраической форме
  Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
  

• 14 слайд

  Действия над комплексными числами
  в алгебраической форме
  Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
  
  Пример. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
  а) z1 + z2;    б) z1 – z2;    в) z1z2.
  Решение.
  а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
  б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
  в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i2 =  10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
  (здесь учтено, что i2 = – 1).
  
  

• 15 слайд

  При выполнении умножения можно использовать формулу:
  (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,
  
  Пример. Выполнить действия:
  а) (2 + 3i)2;    б) (3 – 5i)2.
  
  Решение.
  а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 =
  = – 5 + 12i;
  
  б) (3 – 5i)2 = 9 – 2×3×5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 =
  = – 16 – 30i;
  
  так как i2 = – 1.
  
  

• 16 слайд

  Рассмотрим применение формулы:
  (a + b) (a - b) = a2 - b2 (*)
  Пример. Выполнить действия:
  (5 + 3i)(5 – 3i);
  (1 + i)(1 – i).
  Решение.
  a) (5 + 3i)(5 – 3i)=52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25+9=34;
  
  b) (1 + i)(1 – i)=12 – i2 =1 + 1=2.
  

• 17 слайд

  Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
  Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.
  Пример. Выполнить деление:
  
  Решение. Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
  (2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
  (5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
  Итак,
  
  
  
  

• 18 слайд

  Тест
  1)Чему равна сумма комплексных чисел (4+3i)+(6 – 2i)
  а) 1+i б) – 10+2i в) 10+i г) 9 – 3i
  2) Чему равна разность комплексных чисел (– 8+2i) – (– 5+i)
  а) 3 – i б) – 3+i в) – 3 +2i г) 3+i
  3) Чему равно произведение комплексных чисел (3 – i)(2+i)
  а) 7+i б) – 7+i в) 5 – 3i г) – 7 – i
  4) Вычислите (3+i)(3 – i)
  а) 9 б) – 10 в) 0 г) 10
  
  5) Чему равно частное комплексных чисел
  
  а) 2i б) i в) – i г) 3i
  

• 19 слайд

  Ответы к тесту
  

• 20 слайд

  Домашнее задание
  Выполнить алгебраические действия над комплексными числами:
  1) (3+5i) + (7 – 3i)
  2) (5 – 4i) – (8 + 2i)
  3) (6 + 8i)(2 – 3i)
  4) (2 – 3i)2
  5)
  
  
  

• 21 слайд

  «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных , иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью».
  Симон Стевин
  

• 22 слайд

  Симон Стевин (1548-1620) – нидерландский математик и инженер. Преподавал в Лейденском университете, служил инженером в армии принца Оранского. Как инженер Стевин сделал значительный вклад в механику. Важнейшие из его работ в области математики: «Десятина» (1585 г.) и «Математические комментарии», в 5-ти томах (1605-1608 гг.)
  

• 23 слайд