Презентация по математике на тему "Числовые ряды" (2 курс СПО)

• 1 слайд

  Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
  

• 2 слайд

  Цель урока:
  Обеспечение усвоения понятия числового ряда, его суммы, сходящегося и расходящегося рядов.
  Формирование представлений о признаках сходимости ряда.
  Формирование умений исследования сходимости ряда.
  

• 3 слайд

  Числовым рядом называется сумма вида:
  где числа u1, u2, u3,…,un,... – члены ряда (бесконечная последовательность),
  un – общий член ряда.
  
  Частичные суммы ряда:
  S1=u1,
  S2=u1+u2,
  S3=u1+u2+u3,
  …………………..
  Sn=u1+u2+u3+…+un
  

• 4 слайд

  Если или ,
  
  то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда.
  Если частичная сумма Sn ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к +∞ или к -∞), то такой ряд называется расходящимся.
  

• 5 слайд

  Пример.
  Найти сумму членов ряда:
  Находим частичные суммы членов ряда:
  

• 6 слайд

  Запишем последовательность частичных сумм: …
  Общий член этой последовательности есть: n/(2n+1)
  Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/2.
  

• 7 слайд

  Необходимый признак сходимости ряда
  Ряд может сходиться только при условии, что его общий член un при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:
  
  
  
  Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.
  
  

• 8 слайд

  Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами
  а) Признак сравнения рядов с положительными членами.
  Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.
  б) Признак Даламбера.
  Если для ряда с положительными членами
  
  
  
  выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
  Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяют другие приемы.
  

• 9 слайд

  образован из членов геометрической прогрессии:
  Геометрический ряд
  сходится при |q|<1
  расходится при |q|≥1
  

• 10 слайд

  Обобщенный гармонический ряд
  сходится при p >1
  расходится при p ≤1
  

• 11 слайд

  Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:
  Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Для признака сравнения сравним данный ряд с геометрическим:
  который сходится, так как q=1/2<1.
  

• 12 слайд

  Сравнивая члены нашего ряда с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства:
  Т.е. члены данного ряда соответственно меньше членов геометрического ряда. Следовательно, данный ряд сходится.
  

• 13 слайд

  Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:
  Следовательно, данный ряд сходится.