Презентация по математике на тему: "Цилиндр. Конус. Шар"

• 1 слайд

  Выполнила ученица 11 «А» класса
  (____)Тихонова Юлия Леонидовна
  Г. Челябинск МОУ СОШ №30, 11 класс /Ул. Володарского 20, 263-14-54/
  Полезная модель: Электронное приложение к учебнику Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк. Геометрия 10-11. «Просвещение», 2008.
  Научный руководитель: Змаева Елена Адольфовна, учитель математики высшей категории МОУ СОШ №30 /д.т. 795-15-60, моб. [phone]/
  
  Адрес автора работы: 454080 г. Челябинск, ул. Энгельса, 39-70 /моб. [phone],/
  
  Паспорт:
  Серия 75 05 номер 716236
  Выдан УВД Калининского Района города Челябинска 21.12.2005
  

• 2 слайд

  Цилиндр, конус
  и сфера
  

• 3 слайд

  Содержание:
  Цилиндр
  Понятие цилиндра
  Сечения цилиндра
  Различные виды цилиндров
  Площадь поверхности цилиндра
  Конус
  Понятие конуса
  Площадь поверхности конуса
  Усеченный конус
  Сфера и шар
  Уравнение сферы
  Взаимное расположение сферы и плоскости
  Касательная плоскость к сфере.
  
  
  
  Площадь сферы
  
  

• 4 слайд

  Цилиндр
  

• 5 слайд

  Понятие цилиндра
  Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L с центром О радиуса r, расположенную в α.(Рис.1)
  А1
  А
  М1
  М
  L
  О
  r
  α
  β
  Образующие
  Цилиндрическая поверхность
  Через каждую точку окружности L проведём прямые ┴ α.
  Отрезки этих прямых, заключённые между α и β, образуют цилиндрическую поверхность. АА1 и ММ1 называются образующими цилиндрической поверхности.
  Рис. 1
  содержание
  

• 6 слайд

  А1
  А
  О1
  М1
  М
  L
  О
  r
  L1
  α
  β
  Основание цилиндра
  Образующие
  Ось цилиндра
  Основание цилиндра
  При параллельном переносе на вектор ОО1 окружность L перейдёт в равную ей окружность L1 радиуса r с центром в точке О1.(Рис 2)
  Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 , называется цилиндром.
  Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра.
  Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО1 – осью цилиндра.
  Цилиндрическая поверхность
  Рис. 2
  содержание
  

• 7 слайд

  Сечения цилиндра
  Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями.
  Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.
  (Рис. 3)
  
  α
  γ
  О
  О1
  ОО1 ┴ α
  ОО1 ┴ γ
  Рис. 3
  содержание
  

• 8 слайд

  Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник.
  Две стороны прямоугольника – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
  (Рис. 4)
  
  Рис. 4
  содержание
  

• 9 слайд

  Различные виды цилиндров
  На практике встречаются цилиндры, имеющие более сложную форму.
  На рисунке 5 изображён цилиндр, основания которого – круги, но образующие не перпендикулярны к плоскостям оснований. Такой цилиндр называется наклонным.
  
  Окружность
  Рис. 5
  содержание
  

• 10 слайд

  На рисунке 6 изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.
  парабола
  Рис. 6
  содержание
  

• 11 слайд

  Площадь поверхности цилиндра
  
  Прямоугольник АВВ'А' называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.(Рис. 8)
  h
  r
  A
  B
  h
  2πr
  A
  B
  α
  B'
  A'
  Рис. 7
  Рис. 8
  На рисунке 7 изображён цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули в плоскость α.
  
  содержание
  

• 12 слайд

  За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки.
  Т.к. площадь прямоугольника АВВ'А' равна АА' * АВ = 2πrh, то
  Sбок = 2πrh.
  
  
  h
  2πr
  A
  B
  α
  B'
  A'
  Рис. 8
  
  Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
  Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Т.к. Sосн = πr2, то
  Sцил = 2πrh + 2πr2 = 2πr*(r+h)
  
  содержание
  

• 13 слайд

  Конус
  содержание
  

• 14 слайд

  Понятие конуса
  Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности.(Рис 9)
  Рис. 9
  О
  r
  P
  Коническая поверхность
  Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг основанием конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Отрезок OP называется высотой конуса.
  r
  О
  P
  ось конуса
  вершина конуса
  образующие
  основание конуса
  боковая поверхность
  Рис. 10
  содержание
  

• 15 слайд

  Площадь поверхности конуса
  За площадь боковой поверхности конуса
  принимается площадь её развёртки.
  Выразим площадь Sбок боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания r.(Рис. 10)
  Площадь кругового сектора – развёртки боковой поверхности конуса – равна (πl 2/360)*α, где α – градусная мера дуги АВА', поэтому Sбок = (πl 2/360)*α.
  Выразим α через l и r. Так как длина дуги АВА' равна 2πr (длине окружности основания конуса), то 2πr= (πl /180)*α, откуда α=360r/l .
  Подставив это выражение в формулу, получим
  Sбок = πrl
  Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
  Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.
  Sкон= πr (l + r)
  содержание
  P
  A
  B
  A
  B
  A'
  P
  Рис. 10
  

• 16 слайд

  Усеченный конус
  Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усеченного конуса.
  (Рис. 11)
  Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью. А отрезки образующих, заключенные между основаниями называются образующими усеченного конуса.
  
  содержание
  О
  О1
  r
  P
  основание конуса
  основание конуса
  боковая поверхность
  образующая
  r1
  Рис. 11
  

• 17 слайд

  Выразим площадь Sбок боковой поверхности усеченного конуса через образующую l и радиусы r и r1 оснований.
  Пусть P – вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1 – одна из образующих, О и О1 – центры оснований, тогда Sбок = πr *PA- πr1*PA1= πr (PA1+AA1) - πr1*PA1. Отсюда, учитывая, что АА1=l, находим Sбок = πrl + π(r-r1)PA1.(Рис. 12)
  Выразим PA1 через l , r и r1. Прямоугольные треугольники PO1A1 и POA подобны, так как имеют общий угол P, поэтому PA1/PA=r1/r или PA1/PA+l =r1/r.
  Отсюда получаем PA1=l r1/r-r1.
  Итак, приходим к формуле Sбок = π(r+r1)l.
  Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.
  
  содержание
  О
  О1
  r
  P
  r1
  Рис. 12
  

• 18 слайд

  Сфера
  содержание
  

• 19 слайд

  Сфера и шар
  Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (Рис. 13)
  Данная точка называется центром сферы
  (точка О на рисунке 13), а данное расстояние радиусом сферы.
  Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий чрез её центр, называется диаметром сферы.
  Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.
  содержание
  R
  Рис. 13
  О
  

• 20 слайд

  Уравнение сферы
  Пусть задана прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F.
  Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С(x0;y0;z0) (Рис. 14). Расстояние от произвольной точки M (x;y;z;) до точки С вычисляется по формуле
  МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
  
  содержание
  R
  x
  y
  z
  Если точка М лежит на данной сфере, то МС=R или МС2=R2, т.е. координаты точки М равны (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2= R2. Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС2≠R2.
  Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x0;y0;z0), имеет вид
  (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2= R2
  
  С(x0;y0;z0)
  M(x;y;z;)
  Рис. 14
  

• 21 слайд

  Взаимное расположение сферы и плоскости
  Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от отношения между радиусом сферы и расстоянием от её центра до плоскости.
  Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от её центра до плоскости α – буквой d. Введём систему координат Oxyz.
  Возможны три случая.
  1) d<R. Тогда R2-d2>0 и уравнение сферы является уравнением окружности радиуса r=√R2-d2 с центром в точке О на плоскости Оxy.
  Итак, если расстояние то центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы есть окружность.(Рис. 15)
  содержание
  x
  y
  z
  С(0;0;d)
  R
  α
  Рис. 15
  d<R
  О
  

• 22 слайд

  2) d=R. Тогда R2-d2=0. Следовательно точка О (0;0;0) – единственная точка сферы и плоскости. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку. (Рис. 16)
  
  3) d>R. R2-d2<0, и уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. (Рис. 17)
  содержание
  x
  x
  y
  y
  z
  z
  О
  О
  С(0;0;d)
  С(0;0;d)
  α
  α
  Рис. 16
  Рис. 17
  d=R
  d>R
  

• 23 слайд

  Касательная плоскость к сфере.
  Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.(Рис. 18)
  Теорема № 1
  Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
  
  содержание
  α
  О
  А
  Рис. 18
  Доказательство
  Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А, расстояние от центра сферы до плоскости α =d Докажем, что радиус ОА┴α.
  Предположим, что это не так. Тогда ОА – наклонная к α, и, сл-но d<R. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Противоречие с условием теоремы, следовательно теорема доказана.
  

• 24 слайд

  Теорема № 2
  Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий в сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
  Доказательство
  Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана. (Рис. 19)
  
  
  содержание
  α
  О
  А
  Рис. 19
  

• 25 слайд

  Площадь сферы
  Для сферы непригоден способ определения площади поверхности с помощью развёртки. Для определения её площади воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. (Рис.20)
  За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.
  Формула для вычисления площади сферы радиуса R: S=4πR2
  содержание
  Рис. 20
  

• 26 слайд

  содержание
  Решение
  задач
  

• 27 слайд

  Задача №1
  Найдите градусную меру угла φ кругового сектора, который является развёрткой поверхности конуса высотой 12 м и с радиусом основания 5 см.
  Решение:
  1) ∆AOP – прямоугольный
  AP2=OA2+OP2 – по т. Пифагора
  АP2 = 52+ 122=169
  AP=13 (м)
  2) Sбок =πrl=π*5*13=65π (м2)
  Развёртка боковой поверхности представляет собой сектор – часть круга, центральный угол которого φ
  3) Найдём φ : (πl2/360)*φ= πrl
  φ=360r/l=360*5/13=138º28‘
  Ответ: φ=138º28‘
  
  
  P
  А
  О
  P
  А
  А'
  13
  13
  φ
  12
  5
  

• 28 слайд

  Задача № 2
  (Для самостоятельного решения)
  Высота конуса PO разделена точками деления на три части PA=AB=BO, где P – вершина конуса, О – центр круга основания. Через точки А и В проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите площади оснований, если S – площадь основания круга.
  P
  О
  А
  В
  

• 29 слайд

  Задача №3
  Найдите площадь сечения шара радиусом 22 см, если плоскость сечения находится на расстоянии 18 см от центра.
  Решение:
  1) ∆ ОАО1 - прямоугольный
  x – радиус сечения
  x2= 222 – 182= 160 (cм2)
  2) Площадь сечения:
  S=πx2= π160 (cм2)
  Ответ: 160 π см2
  О
  х
  22
  18
  

• 30 слайд

  Задача № 4
  (Для самостоятельного решения)
  Через точку касания проведена плоскость под углом 30º к касательной плоскости в этой же точке. Найдите площадь сечения, если площадь сечения шара диаметральной плоскостью равна 5.
  О
  α
  О1
  30º
  

• 31 слайд

  Список использованных источников.
  
  Геометрия 10-11: Учеб. Для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселёва, и др.- 12-е изд.- М.: «Просвещение», 2003.-206 с.: ил.
  Решение задач по математике. Справочник школьника / Сост. Г. М. Якушева, при участии О. А. Смирнова. Под ред. А. С. Барашкова.-М.: Филологич. Общество «Слово», компания «Ключ-С», АСТ, Центр гуманитар. Наук при фак-те журналистики МГУ им. М. В. Ломоносова, 1996.-640 с.
  Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав. ред. М.Д. Аксенова.- М.: Аванта+, 1998.-688 с.: ил.
  
  

Краткое описание документа:

Презентация выполнена в рамках проектной деятельности:"Электронное приложение к учебнику Л. С. Атанасян Геометрия 10-11" учащихся при изучении геометрии в десятом классе. Содержание:цилиндр,понятие цилиндра, виды цилиндров, сечения цилиндров.Вывод формулы площади поверхности цилиндра.Определение конуса, виды конусов. Вывод площадей боковой и полной поверхности конуса и усеченного конуса. Определение сферы и шара. Вывод уравнения сферы и шара, взаимное расположение сферы и плоскости. Доказательство теоремы о свойстве касательной плоскости к сфере.Вывод формулы площади сферы. Решение задач.