Презентация по математике на тему "Дифференциальные уравнения 1 порядка"

• 1 слайд

  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
  УРАВНЕНИЯ.
  
  
  
  Подготовила: Веретенникова Т.А, преподаватель ГБПОУ«КМК»
  

• 2 слайд

  
  Дифференциальным уравнением называется уравнение вида
  F(x,y,y’,…,y(n)) = 0.
  Решением дифференциального уравнения называют любую функцию y = y(x) , которая
  обращает данное уравнение в тождество.
  

• 3 слайд

  Функция y = y(x,C1,C2,…,Cn) называется общим решением
  дифференциального уравнения, если она обращает дифференциальное уравнение в тождество при
  любых значениях постоянных C1,C2,…,Cn.
  

• 4 слайд

  Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной,
  входящей в это уравнение. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. В общем случае оно имеет вид
  
  
  F(x, y, y’) = 0
  
  

• 5 слайд

  Если дифференциальное уравнение можно представить в виде
  
  f1(x)dx = f2(y)dy,
  
  то его называют уравнением с разделяющимися переменными. Для решения такого уравнения
  достаточно проинтегрировать его левую и правую части.
  
  

• 6 слайд

  Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется однородным, если f(x,y) является однородной функцией нулевой степени. Однородное дифференциальное уравнение
  первого порядка можно представить в виде
  P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
  Это уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными заменой
  y(x) = z(x)x.
  
  

• 7 слайд

  Уравнение вида
  
  y’ + P(x)y = Q(x)
  
  называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
  
  

• 8 слайд

  Линейные дифференциальные уравнения
  первого порядка
  Определение: Уравнение вида
  
  
  
  
  называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
  

• 9 слайд

  Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
  
  Y=uv, где u=u(x), v=v(x) – некоторые функции, зависящие от х.
  

• 10 слайд

  Алгоритм решения:
  Вводится подстановка у=uv, тогда y’=u’v+uv’
  Исходное уравнение принимает вид:
  u’v+uv’+P(x)uv=Q(x)
  3) Группируются слагаемые при u
  u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)
  
  

• 11 слайд

  4)выражение в скобках приравнивается к 0: 𝒅𝒗 𝒅𝒙 +P(x)v=0
  Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим
  v=v(x)
  5) Полученное значение v подставляется в выражение:
  v 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = Q(x)
  6) Общее решение уравнения запишется в виде: y=u(x,C)*v(x)