Презентация по математике на тему "Функциональный метод решения уравнений и неравенств"(10 класс)

• 1 слайд

  Функциональный метод решения уравнений и неравенств.
  

• 2 слайд

  Функциональный метод
  решения уравнений и неравенств.
  1. Использование понятия области определения функции.
  4. Использование свойств чётности и нечётности.
  2. Использование понятия области значения функции.
  5. Использование свойства периодичности функции.
  3. Использование свойства монотонности функции.
  

• 3 слайд

  1. Использование понятия области определения функции.
  1. Решите уравнение:
  
  
  Решение.
  
  ОДЗ: , решений нет.
  
  Ответ:Ø.
  

• 4 слайд

  2. Решите уравнение:
  
  
  Решение.
  
  ОДЗ: ,
  
  решений нет.
  Ответ:Ø.
  1. Использование понятия области определения функции.
  

• 5 слайд

  1. Использование понятия области определения функции.
  3. Решите уравнение:
  
  Решение.
  
  ОДЗ: , , x=1
  
  Если x=1, то - верно
  
  Ответ: x=1.
  

• 6 слайд

  4. Решите неравенство:
  Решение.
  
  ОДЗ: , , x=5
  
  
  Проверка: - верно
  Ответ: 5.
  
  1. Использование понятия области определения функции.
  

• 7 слайд

  5. Решите неравенство:
  Решение.
  
  ОДЗ: , , x=1
  
  Проверка: , - верно
  Ответ: 1.
  
  1. Использование понятия области определения функции.
  

• 8 слайд

  2. Использование понятия области значения функции.
  1. Решите уравнение:
  Решение.
  
  ОДЗ: , ,
  
  ,
  уравнение не имеет корней.
  Ответ: Ø.
  
  

• 9 слайд

  2. Использование понятия области значения функции.
  2. Решите уравнение:
  Решение. Для допустимых значений x:
  
  
  
  Равенство достигается, если .
  
  Из первого уравнения x=0. При x=0 второе уравнение
  обращается в верное числовое равенство.
  Ответ: 0.
  

• 10 слайд

  2. Использование понятия области значения функции.
  3. Решите уравнение:
  Решение.
  
  
  ,
  
  ; x=4.
  
  Ответ: 4.
  

• 11 слайд

  2. Использование понятия области значения функции.
  4. Решите уравнение
  Решение.
  
  
  
  ,
  
  Следовательно,
  
  
  Решение 1 системы: ; 2 система решений не имеет.
  Ответ: .
  или
  

• 12 слайд

  2. Использование понятия области значения функции.
  5. Решите неравенство:
  Решение.
  ОДЗ:
  При любом x из области определения sin(x-1)>0,
  следовательно, .
  Так как , то
  
  
  на всей области определения.
  Ответ: .
  

• 13 слайд

  6.Решите неравенство:
  
  
  ОДЗ:
  
  
  На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а
  левая – положительная.
  Ответ: [5; +∞).
  2. Использование понятия области значения функции.
  

• 14 слайд

  3. Использование свойства
  монотонности функции.
  1. Решите уравнение:
  Решение.
  ОДЗ: .
  - возрастает на R,
  
  - убывает на R.
  Значит уравнение имеет не более одного корня.
  Подбором x=-3.
  Ответ: -3.
  

• 15 слайд

  3. Использование свойства
  монотонности функции.
  2. Решите уравнение:
  Решение.
  ОДЗ: .
  - возрастает на [-1;+∞),
  
  - убывает на [-1;+∞).
  Значит уравнение имеет не более одного корня.
  Подбором x=3.
  Ответ: 3.
  

• 16 слайд

  3. Использование свойства
  монотонности функции.
  3. Решите систему уравнений.
  
  
  
  Решение.
  Рассмотрим функцию , тогда
  
  Так как > 0 при любом t, то функция f-возрастающая, и
  поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении
  аргумента.
  Уравнение равносильно уравнению x=y.
  
  , x=y=3.
  
  Ответ: x=3; y=3.
  

• 17 слайд

  4. Использование свойств чётности и нечётности.
  1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение
  иметь пять корней .
  Решение.
  Число 0 не является корнем данного уравнения.
  Так как левая часть уравнения - чётная функция,
  то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение
  имеет противоположный корень, и следовательно,
  число его
  корней при любом а чётно. Поэтому пяти корней оно
  иметь не может.
  Ответ: не может.
  

• 18 слайд

  4. Использование свойств чётности и нечётности.
  2. Решите уравнение:
  Решение.
  ОДЗ: .
  Функция - чётная.
  Поэтому достаточно найти решение для .
  x=0 – не является корнем уравнения.
  
  , , x=3.
  
  Тогда x =-3 – также является корнем уравнения.
  Ответ: -3; 3.
  

• 19 слайд

  5. Использование свойства периодичности функции.
  1. Решите неравенство:
  Решение.
  
  Рассмотрим функцию ,
  Решение неравенства достаточно найти на промежутке, равном периоду функции.
  
  . . . За такой промежуток возьмём .
  
  
  - чётная, решение найдём на промежутке . Функция на данном
  промежутке имеет два корня: , - которые
  
  разбивают промежуток на два интервала
  знакопостоянства: , . Неравенство выполняется при всех .
  Но тогда оно будет выполняться и для всех .
  Учитывая периодичность:
  

• 20 слайд

  Решите уравнение.
  
  
  Пусть , тогда
  ; .
  
  .
  
  
  
  Ответ: .
  Метод функциональной подстановки.