Презентация по математике на тему "«Функция y = x2 и её график »" (7 класс)

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

                «Средняя общеобразовательная школа  №1»

                                               Урок  алгебры             

                                в 7 классе

                                  на тему

     «Функция y = x² и её график »

                                           Разработала:   учитель математики

                                       Чугунова Татьяна Викторовна

                          2015 – 2016 учебный год

Тема урока: Функция y = x²  и её график.

Цели урока: ввести определение функции y = x²; изучить её свойства; научить строить и читать график этой функции; показать прикладной характер изучаемого

 материала; научить решать уравнения графическим способом;

 развивать навыки исследовательской работы; графическую культуру учащихся;

 воспитывать целенаправленное отношение к деятельности, аккуратность,

 наблюдательность, интерес к окружающим явлениям.

Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.      

Оборудование: компьютер, проектор, экран, компьютерные презентации; бланки

                              математического исследования; тексты самостоятельной работы.

                                  Ход урока.

1.Организация начала урока.

 2.Актуализация опорных знаний.

                                               Слайды 1-3

                                  Устные упражнения. 

    ● Назовите координаты точек, симметричных точкам (2; 6);  (-1; 4);  (0; 0);  (-3; -5)

       относительно оси y.

    ● Найдите значения функции  y = 5x + 4, если   х = - 1;  - 2;  3;  5.

    ● Укажите область определения функции:   y = 16 – 5x;    y =    y =    y =

Постройте графики функций: Слайд 4

Учитель развивает ситуацию успеха, предлагая учащимся самостоятельно построить графики функций (самостоятельная работа учащихся и последующая демонстрация своего решения у доски)

1 У=Х+3;

2).у=-2х-1

3).y = x²             

Учебная ситуация (задание ловушка)

Цель: вывести обучающихся в рефлексивную позицию:

- осознание невозможности применения построения графика по двум точкам

Парная форма деятельности учащихся.

_{Учащиеся выдвигают различные гипотезы, способы действия.}

_{Учитель координирует деятельность учащихся по порождению нового способа, фиксирует гипотезы, способы действия предлагаемые учащимися.}

Итак, мы построили кривую, которая является графиком функции y = x².                     

                          Слайд 5

_{Учитель организует рефлексию по фиксации нового способа.}

_{1). В чем заключалась основная трудность при построении графика?}

_{2).Как вы смогли её преодолеть?}

_{3). Учитель предлагает учащимся выделить основные этапы построения графика и зафиксировать эти этапы в виде алгоритма.}

_{Алгоритм.}

1.Заполнить таблицу значений Х и У.

2.Отметить в координатной  плоскости точки, координаты которых  указаны в таблице.

3.Соедините эти точки  плавной линией.

    ● График функции y = x² называют параболой. Откуда взялось это название и что оно означает?

                                     Историческая справка.  Слайды 7-9

     Древнегреческий математик Аполлоний Пергский где–то за 200 лет до нашей эры разрезав конус, линию среза назвал параболой, что в переводе с греческого означает «приложение», о чём математик и написал в восьмитомнике «Конические сечения». И долгое время параболой называли лишь линию среза конуса

●  Параболу часто можно встретить на практике.

                                          Знаете ли вы, что:

        Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного или баскетбольного мяча, артиллерийского снаряда является параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). То есть всё, что мы бросим под углом к горизонту, будет лететь по параболе.

                                     Невероятно, но факт!

    Например, перевал в горном районе (Саяны, Сибирь) напоминает по форме параболу. Он так и называется перевал Парабола.    

  Презентация «Функция y = x² и её график».                 Слайды 10-14

    ● Продолжим наше исследование. Наша задача выяснить, какими свойствами обладает функция  y = x² и как эти свойства отражаются на её графике.

Для этого выполните Задание №4.

     Опираясь на таблицу значений и график функции, учащиеся заполняют таблицу в бланке исследования, получая при этом свойства функции и отражение этих свойств на графике.

   Учитель контролирует работу и оказывает необходимую помощь.

     ● Обсудим свойства функции y = x².

   Учащиеся формулируют свойства, а учитель, с помощью  детей, комментирует их  и делает необходимые дополнения, используя слайды.

- Область определения функции D(f): любое число. Действительно, любое число х можно возвести во вторую степень.

-  Если х = 0,  то y = 0. График функции, следовательно, проходит через начало координат.

- Если х ≠ 0,  то y > 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, есть число положительное. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), лежат выше оси х, т. е. в I и II координатных четвертях.

- Исходя из того, что функция принимает только неотрицательные значения, т. е. y ≥ 0, можно сделать вывод, что область значений функции E(f): все значения y ≥ 0, . т. е. неотрицательные.

- Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (- х)² = х² при любом х. Например, (-3)² = 3² = 9. Таким образом, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y. Говорят, график функции симметричен относительно оси y.

Этот график ограничен чем-либо?

Ответ: Нет, он неограниченно продолжается вверх, справа и слева от оси y. Обратите внимание, ребята, на вид графика вблизи начала координат. Для значений х, близких к нулю, график практически сливается с прямой Ох. В таком случае говорят, что кривая касается оси абсцисс.                                              

4. Закрепление изученного материала.

                                               Слайды 15-18

    Выполняя упражнения, учащиеся должны опираться на свойства функции и  графика.

    ● Используя график функции y = x² , найдём:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному: 1,4; - 1,4;  - 2,6;  3,1; - 3,1;

  Учитывая симметрию графика относительно оси ординат достаточно определить значения y для неотрицательных значений х.

б) значения аргумента, при котором значение функции равно  4;  6;

   Достаточно найти одно из значений, а другое значение будет ему  противоположным.

     Вспомните, как устанавливается принадлежность точки графику заданной функции?

    ● Определим, принадлежит ли графику функции y = x² точка:

                а) P(-18; 324);         б) R(- 99; - 9081);         в) S(17; 279).

     а) Точка P лежит во II координатной четверти, поэтому она  может принадлежать графику. Подставляя координаты точки P в формулу, получим 324 = (-18)²;  324 = 324 – верное равенство. Точка P принадлежит графику функции.

    б) Точка R лежит в IV координатной четверти, значит, она не может принадлежать графику, поскольку все точки графика функции  y = x² лежат в верхней полуплоскости, т. е. в I и II координатных четвертях.

    в) Точка S лежит в I координатной четверти, она может принадлежать графику функции. Подставляя координаты точки в формулу, получим 279 = 17²; 279 = 289 – неверное равенство. Точка S не принадлежит графику.

    ● Определите, не выполняя вычислений, какие из точек не принадлежат графику функции      y = x². Ответ объясните. (Упражнение выполняется устно).

           (-1; 1);    (-2; -4);   (0; 8);   (3; -9);   (1,8; 3,24);    (16; 0).

    ● При каких значениях  a точка  P(a; 64)  принадлежит графику функции y = x².

    ● С помощью графиков функций можно найти приближённые значения корней некоторых уравнений, т. е. решить уравнение графическим способом. Разберём на примерах  данный способ решения. Решим графическим способом уравнения:

                     а) х² = 5;    б) х² = - 1;     в) х² = х + 1.

       ● Следовательно, алгоритм решения уравнения графическим способом состоит в следующем:

 1. Построить в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой части уравнения.

  2. Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут корни уравнения. Если точек пересечения нет, значит, уравнение не имеет корней.

5. Контрольные вопросы.

     ● Как называется график функции y = x²?

     ● Как на координатной плоскости расположен график функции  y = x²?

     ● Какова область определения функции y = x²?

6. Подведение итогов урока.

                                               Слайд 21 .

7. Домашнее задание.

  Изучить п. 37 стр143-149.

Выполнить упр.        № 37.12,        № 37.13,       № 37.28(а;б), 

      Подготовить сообщение «Многоликая парабола»

• 1 слайд

  Тема: Функция y = x2 и её график.
  

• 2 слайд

  Назовите координаты точек, симметричных данным точкам относительно оси y :
  (- 2; 6)
  (- 1; 4)
  (0; 0)
  (- 3; - 5)
  ( 2; 6)
  (1; 4)
  (0; 0)
  (3; - 5)
  y
  х
  

• 3 слайд

  Найдите значение функции
  y = 5x + 4, если:
  х = - 1
  х = - 2
  х = 3
  х = 5
  y = - 1
  y = 19
  y = - 6
  y = 29
  

• 4 слайд

  Укажите
  область определения функции:
  y = 16 – 5x
  
  
  х ≠ 0
  х ≠ 7
  х – любое число
  

• 5 слайд

  Постройте графики функций:
  1).У=2Х+3
  2).У=-2Х-1;
  3).
  

• 6 слайд

  Тема: Функция y = x2
  
  Математическое исследование
  
  

• 7 слайд

  Постройте
  график
  функции y = x2
  парабола
  

• 8 слайд

  Алгоритм построения параболы..
  
  1.Заполнить таблицу значений Х и У.
  2.Отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице.
  3.Соедините эти точки плавной линией.
  
  

• 9 слайд

  Древнегреческий математик
  Аполлоний Пергский
  (  Перге, 262 до н.э. — 190 до н.э.) 
  разрезав конус, линию среза назвал параболой, что в переводе с греческого означает «приложение» или «притча», о чём математик и написал в восьмитомнике «Конические сечения».
  
  Историческая
  справка
  
  

• 10 слайд

  Перевал Парабола
  Невероятно,
  но факт!
  

• 11 слайд

  Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, будет лететь по параболе.
  Знаете ли вы?
  
  

• 12 слайд

  
  
  Свойства функции
  y = x2
  
  
  

• 13 слайд

  Область определения функции D(f):
  х – любое число.
  
  Область значений функции E(f):
  все значения у ≥ 0.
  

• 14 слайд

  Если х = 0, то у = 0.
  
  График функции проходит через начало координат.
  
  

• 15 слайд

  Если х ≠ 0,
  то у > 0.
  
  Все точки графика
  функции, кроме точки
  (0; 0), расположены
  выше оси х.
  I
  II
  

• 16 слайд

  Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у.
  График функции симметричен относительно оси ординат.
  

• 17 слайд

  Геометрические свойства параболы
  Обладает симметрией
  Ось разрезает параболу на две части: ветви параболы
  Точка (0; 0) – вершина параболы
  Парабола касается оси абсцисс
  Ось симметрии
  

• 18 слайд

  «Знание – орудие,
  а не цель»
  
  Л. Н. Толстой
  Найдите у, если:
  
  
  
  х ≈ -2,5
  х = - 2
  у ≈ 1,9
  у ≈ 6,7
  у ≈ 9,6
  
  х = 1,4
  
  х = - 2,6
  х = 3,1
  
  
  у = 6
  у = 4
  
  
  Найдите х, если:
  
  
  
  - 1,4
  
  
  
  
  - 3,1
  
  
  
  х ≈ 2,5
  х = 2
  

• 19 слайд

  постройте в одной системе координат графики двух функций
  
  1. Случай : у=х2
  У=х+1
  
  
  2. случай:
  У=х2
  у = - 1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 20 слайд

  Найдите
  несколько значений х, при которых значения функции :
  меньше 4
  больше 4
  
  

• 21 слайд

  При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х2.
  
  
  
  
  
  
  Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:
  
  
  
  
  
  
  Не выполняя вычислений, определите, какие из точек не принадлежат графику функции у = х2:
  
  
  
  
  
  
  P(-18; 324)
  
  
  
  
  
  
  R(-99; -9081)
  
  
  
  
  
  
  S(17; 279)
  
  
  
  
  
  
  (-1; 1)
  
  
  
  
  
  
  (0; 8)
  
  
  
  
  
  
  (-2; 4)
  
  
  
  
  
  
  (3; -9)
  
  
  
  
  
  
  (1,8; 3,24)
  
  
  
  
  
  
  (16; 0)
  
  
  
  
  
  
  а = 8; а = - 8
  
  
  
  
  
  
  принадлежит
  
  
  
  
  
  
  не принадлежит
  
  
  
  
  
  
  не принадлежит
  
  
  
  
  
  
  

• 22 слайд

  Решите графически уравнение:
  
  х2 = 5
  
  
  х2 = - 1
  
  
  x2 = х +1
  
  
  y = - 1
  
  
  y = x + 1
  
  
  y = х2
  
  y = 5
  
  нет решений
  х ≈ - 2,2; х ≈ 2,2
  х ≈ - 0,6; х ≈ 1,6
  

• 23 слайд

  Алгоритм решения уравнения графическим способом
  1. Построить в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой части уравнения.
  2. Найти абсциссы точек пересечения графиков. Это и будут корни уравнения.
  3. Если точек пересечения нет, значит, уравнение не имеет корней
  

• 24 слайд

  Домашнее задание
  Изучить п. 37 стр143-149.
  Выполнить упр.
  № 37.12,
  № 37.13,
  № 37.28(а;б),
  
  Подготовить сообщение «Многоликая парабола»
  

• 25 слайд

  Удачи вам!