Презентация по математике на тему "Геометрическая вероятность"

• 1 слайд

  Постановка задачи
  
  
  Задача о монете.
  На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет
  а) две линии б) три линии?
  

• 2 слайд

  Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости
  Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G, которая содержится в фигуре F?
  Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F, то есть
  𝑃 𝐴 = 𝑆 𝐺 𝑆 𝐹 , где
  A={точка попадет в область G}
  Такое определение вероятности называется геометрическим.
  Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому P (A)≤1.
  

• 3 слайд

  Решение задач
  Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем 14
  Решение:
  SF=1 (площадь исходного квадрата)
  Точка удалена от границы квадрата не более чем на 1 4 , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G.
  SG = SF – SABCD = 1 - 1 4 = 3 4 Если A = {расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем 1 4 }, то
  P(A) = 3 4 : 1 = 3 4
  Ответ: 3 4
  I Вариант
  В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.
  II Вариант
  В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.
  

• 4 слайд

  Вариант I
  Пусть сторона квадрата равна a, тогда r = 1 2 a
  Sкв = a2 ;
  Sкр = πr2 = 1 4 πa2
  SA – площадь заштрихованной области квадрата
   
  SA = Sкв - Sкр = a2 - 1 4 πa2 = a2 4−π 4
   
  P (A) = 4−π 4 Ответ: 4−π 4
  
  Пусть радиус круга равен a.
  Тогда Sкр = πa2
   
  AB = a 2
  Sкв = 2a2 A = {точка принадлежит квадрату}, тогда
   
  P (A) = 𝑆 кв 𝑆 кр = 2 𝜋
  Ответ: 2 𝜋
  Вариант II
  

• 5 слайд

  Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка
  P (A) = 𝐶𝐷 𝑀𝑁
  Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M.
  P (A) = 𝑂𝑁 𝑀𝑁 = 1 2
  .Найдите вероятность того, что точка M лежит на:
  а) меньшей дуге AB
  б) большей дуге AB
  а) P (A) = 1 4
   
  б) P (A) = 3 4
  

• 6 слайд

  P (a ≤ x ≤ b) = 𝑏−𝑎 𝑛−𝑚
  Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку [ 1 3 ; 1 2 ]
   
  Решение: P ( 1 3 ≤ x ≤ 1 2 ) = 1 2 − 1 3 1 = 1 6
  

• 7 слайд

  Решение задачи о монете
  Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x, то множество всех исходов соответствует 0 ≤ x ≤ 4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.
  Событие A = {монета пересекла две линии} соответствует 2 < x ≤ 4;
  Событие B = {монета пересекла три линии} соответствует 0 ≤ x ≤ 2.
  По формуле геометрической вероятности получим
  
  P (A) = 4−2 4−0 = 1 2 P (B) = 2−0 4−0 = 1 2 .
  
  Ответ: 1 2 ; 1 2
  

• 8 слайд

  Задача о встрече
  Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?
  Время прихода (после 17.00)
  Илья – X, Женя - Y
  Встреча, если
  |x-y|<30
  S=602 – 2 ▪ 1 2 ▪ 30 ▪ 30 = 3600 – 900 = 2700
  P= 2700 3600 = 3 4
   
  Ответ: 3 4