Презентация по математике на тему: Геометрический метод решения задач на движение и работу

• 1 слайд

  
  
  
  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
  Применение геометрического МЕТОДА
  К РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ на движение и работу
  
  

• 2 слайд

  Актуальность темы связана с необходимостью выработки навыка быстрого решения текстовых задач в условиях ограниченного времени , например, тестирования.
  
  

• 3 слайд

  
  
  Цель:
  приобретение навыков
  решения задач на движение графическим способом.
  
  Гипотеза: Графический метод решения задач является более рациональным для выполнении тестовых заданий и имеет большое значение для повышения математической культуры учащихся.
  

• 4 слайд

  Задачи:
  1. Изучить литературу по использованию графического способа решения задач.
  2. Научиться использовать графический способ решения задач на движение
  3. Проанализировать тексты задач из сборников для подготовки к ЦТ
  4.Показать простоту и изящество графического способа решения задач.
  
  

• 5 слайд

  Объект исследования:
  задачи на движение.
  Предмет исследования:
  графический способ решения задач, включенных в сборники для подготовки к централизованному тестированию.
  Методы исследования:
  - теоретические: изучение литературных источников,
  анализ, синтез.
  - практический: решение задач.
  
  

• 6 слайд

  О
  S
  t
  Система координат для решения текстовых задач
  .
  

• 7 слайд

  
  Задача №1.
  По городскому скверу, длина которого 500 м, одновременно начали прогуливаться два пожилых человека. Один прогуливается со скоростью 50 м/мин, а другой доходит до конца аллеи за 6 мин и с той же скоростью возвращается назад. Определить, сколько раз эти два пожилых человека встретятся в течение 25 минут?
  
  S
  
  
  500
  0 6 10 12 18 20 24 30 t
  
  

• 8 слайд

  Решение: Движение первого пожилого человека изображено на чертеже жёлтым цветом, а второго -красным. Так как скорость первого 50 м /мин, то до конца сквера он доходит за 10 минут. По чертежу сразу видно, что графики пересекутся в трёх точках, значит пожилые люди встретятся 3 раза.
  .
  S
  
  500
  0 6 10 12 18 20 24 30 t
  
  .
  .
  .
  

• 9 слайд

  M
  s
  t
  O
  N
  Задача 4.
  Из пункта O в пункт N вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта N в пункт O выехал велосипедист, который встретил пешехода через 50 минут после своего выезда из N. Сколько времени понадобится пешеходу для того, чтобы пройти весь путь, если известно, что велосипедист проделал бы весть путь на 4 часа быстрее пешехода.
  
  K
  T
  L
  D
  C
  B
  4ч
  

• 10 слайд

  Решение: p(x) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени x,
  w(x) - зависимость пройденного велосипедистом пути от времени x.
  1) MBC~ MKN – по двум углам: MBC= MKN=90о, KMN= BMC – как вертикальные.
  Из подобия следует: NK:BC=KM:BM (1)
  2) MLK~ MBO – по двум углам: KLM= MOB – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, MBO= MKL=90о. Из подобия следует:
  KL:OB=KM:BM (2)
  3) Из равенств (1) и (2) получаем: NK:BC=KL:OB (3)
  Обозначим BC через x. Тогда NK=OB=5/6 ч, CD=4 ч, KT=x, KL=x+4.
  4) Подставим значения в (3) равенство : 5/6:x=(x+4):5/6 x=1/6
  5) Так как OD=(x+5/6+4) – время прохождения пути пешеходом, то он проделал его за 5 часов.
  
  
  t
  s
  O
  K
  T
  L
  D
  C
  B
  p(x)
  w(x)
  N
  4 ч
  М
  

• 11 слайд

  Задача 9.
  Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 25 дней. За сколько дней второй рабочий может выполнить все задание?
  
  Объём работы
  t,дни
  А
  В
  M
  С
  D
  O
  F
  E
  12
  26-Х
  х
  38-х
  

• 12 слайд

  Решение. АС и ВD—графики зависимости выполненного объёма работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.
  ВF=АE =12дней—время совместной работы; АМ—время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работу(второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Известно, что 25 дней требуется рабочим, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда АМ=2∙25=50 дней.
  Пусть ED=х, тогда DМ=50-12-х=38-х, FС=ВС-ВF=(38-х)-12=26-х.
  Треугольники BFO и OED подобны , тогда BF:ED=FO:OE; 12:x=FO:OE.
  Треугольники FOC и EOAподобны, тогда FC:AE=FO:OE; (26-x):12=FO:OE
  
  Объём работы
  t,дни
  А
  В
  M
  С
  D
  O
  F
  E
  12
  26-Х
  х
  38-х
  Таким образом, 12:x=(26-x)x=144; x*x-26x+144=0
  x=18
  x=8
  по смыслу задачи х=18
  Не подходит, так как 12+18=30>25,
  значит, х=8,
  тогда АD=12+8=20 дней; ВС=12+26-х=12+26-8=30 (дней) Ответ:30 дней.
  
  
  

• 13 слайд

  B
  A
  М
  В1
  С1
  Р
  F
  С
  III
  II
  I
  1ч
  1ч
  t
  S
  1,5x
  x
  2y
  y
  Задача 12. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий. Ещё через час расстояние между третьим и первым автомобилями уменьшилось в полтора раза, а между третьим и вторым—в два раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля больше скорости второго.(Известно, что третий автомобиль не обогнал первые два)
  
  Скорость первого автомобиля:
  Скорость второго автомобиля:
  

• 14 слайд

  Задача № 2.
  Расстояние между городами Н. и К. составляет примерно 60 км. Одновременно из этих городов, навстречу друг другу, выехали два автобуса. Первый автобус затратил на свой путь 1 час и 30 мин, а второй 1 час и 12 мин. На каком расстоянии от К. и через какое время с момента начала движения, автобусы встретятся?.
  
  
  К 0 72 90 t
  s
  Н.
  60
  
  

• 15 слайд

  Решение: После построения чертежа с графиками движения автобусов, можно заметить, что графики пересеклись в одной точке, координаты этой точки соответствует времени движения автобусов до встречи и расстоянию, которое автобусы проехали до места встречи. Таким образом расстояние от К. до места встречи автобусов равно 28 км;
  Автобусы встретились через 40 мин после начала движения.
  
  28
  К. 0 40 72 90 t
  s
  Н.
  60
  
  

• 16 слайд

  Задача 3.
  Грибник и рыболов находятся на расстоянии 220 метров от охотника. Когда охотник догнал грибника, рыболов отставал от них на 180 метров. На каком расстоянии от рыболова был грибник, когда охотник догнал рыболова?
  
  
  O
  x
  180
  A
  m
  n
  B
  C
  D
  E
  s
  t
  220
  

• 17 слайд

  1) OAC~ EBC – по двум углам: C – общий, AOC= BEC – как накрест лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:
  BE:AO=BC:AC x:220=n(n+m) (1)
  2) BAE~ CAD – по двум углам: A – общий, AEB= ADC – как накрест лежащие при параллельных прямых. Из подобия следует:
  BE:CD=AB:AC x:180=m(m+n) (2)
  3) Сложим уравнения (1) и (2), получим:
  x=220*180:400
  x=99
  
  
  O
  s
  t
  m
  n
  x
  180
  A
  B
  C
  D
  E
  220
  

• 18 слайд

  Из пункта M в N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч. Из пункта M выехал велосипедист, а ещё через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути от M к N. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 ч. Позже мотоциклиста?
  s
  t
  М
  N
  В
  B1
  M1
  O
  D
  С
  C1
  Задача 5.
  
  

• 19 слайд

  Решение: 1 ч = 60 мин;
  2 ч = 120 мин.
  р(х) – зависимость пройденного пешеходом пути от времени х,
  w(x) - зависимость преодоленного велосипедистом пути от времени х,
  m(х) – мотоциклистом.
  B1
  m(x)
  y
  x
  М
  В
  p(x)
  w(x)
  С
  N
  C1
  M1
  D
  O
  Треугольники MOB и M1OC1 подобны (MOB= M1OC1 OMB= OM1C1).
  Тогда из подобия следует:
  MB:C1M1=BO:OC1 (1)
  Треугольники BOC и C1OB1 подобны
  (BOC =  C1OB1, OBC =  OC1B1).
  Из подобия следует следующее равенство:
  BC:B1C1=BO:OC1 (2)
  Из равенства (1), (2) получаем:
  MB:C1M1=BC:B1C1 (3)
  Пусть C1M1 = х , тогда: MB=120, BC=30,B1C1=60-х
  Подставляем значения в равенство (3):
  120:х=30:(60-х)
  х=120(60-х):30
  х=240-4х
  5х=240
  х=48(мин).
  
  

• 20 слайд

  Задача 6.
  Из пункта А в пункт В вышел первый спортсмен. Одновременно с ним из пункта В в пункт А вышел второй спортсмен. Они встретились в полдень (t). Первый спортсмен достиг противоположного пункта в 16 ч, второй — в 21 ч. Определить, в какое время они вышли из своих пунктов.
  s
  t
  B
  А1
  A
  В1
  M
  N
  O
  t
  t
  

• 21 слайд

  
  
  s
  t
  A
  B
  А1
  В1
  M
  N
  O
  t
  t
  4ч
  9ч
  Решение: Пусть АА1 –график движения первого спортсмена из А в В;
  ВВ1—график движения второго спортсмена из В в А.
  О—момент встречи (12ч).
  МА1=16 16ч-12ч=4ч; NB1=21ч-12ч=9ч; ВМ=АN=t ч—время,
  пройденное спортсменами до встречи.
  Треугольники AON и A1OM подобны ,
  тогда AN:A1M=ON:OM; t:4=ON:OM
  Треугольники B1ON и BOM подобны ,
  тогда B1N:BM = ON:OM; 9:t=ON:OM
  Таким образом, t:4=9:t; t*t=36, по смыслу задачи t=6ч.
  
  
  

• 22 слайд

  Задача 10.
  Двое рабочих, из которых второй начал работать на 1,5 дня позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7 дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена каждому отдельно, то первому рабочему для ее выполнения понадобилось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней второй рабочий выполнил бы эту работу?
  
  s
  t
  A
  M
  A1
  C
  D
  F
  E
  K
  B
  B1
  x
  5,5
  1,5
  X-1,5
  1,5
  

• 23 слайд

  Решение:АА1 и ВВ1—графики зависимости выполненного объёма работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно. МВ=1,5 дня; АD=7 дней; АЕ и КВ1—время выполнения всей работы каждым рабочим в отдельности.
  АЕ=КВ1+3; В1Е=АЕ-КВ1=АЕ-1,5-(АЕ-3)=1,5.
  Пусть СА1=х, тогда DВ1=х-1,5.Треугольники BCF и B1DF подобны , тогда BC:DB1=CF:FD; 5,5(x-1,5)=CF:FD
  Треугольники A1CF и ADF подобны , тогда A1C:AD=CF:FC; x:7=CF:FD
  
  
  s
  t
  A
  M
  A1
  C
  D
  F
  E
  K
  B
  B1
  x
  5,5
  1,5
  X-1,5
  1,5
  Таким образом 5,5(x-1,5)=x:7; x*x-1,5x=38,5; 2x*x-3x-77=0
  x=7
  x=-11/7
  по смыслу задачи х=7 дней.
  КВ1=АВ1-АК=7+х-1,5-1,5=11 дней
  
  Ответ:11 дней.
  
  

• 24 слайд

  Задача 7.
  Два пешехода одновременно выходят навстречу друг другу из пунктов А и В и встречаются через полчаса. Продолжая движение, первый прибывает в В на 11 мин раньше, чем второй в А. За какое время преодолел расстояние АВ каждый пешеход?
  s
  t
  A
  B
  С
  D
  N
  F
  E
  O
  m
  n
  

• 25 слайд

  Решение: p(x) – зависимость пройденного первым пешеходом пути от времени х,
  q(x) –вторым пешеходом.
  Время, за которое первый пешеход пройдет путь АВ равно длине отрезка AG=BC; а время, затраченное вторым пешеходом на этот же путь равно длине отрезка AD . Таким образом, нужно найти длину отрезков ВС и AD. Обозначим длину отрезка AE через x, AE = x = BF
  Треугольники COF и AOE подобны по двум углам. Из подобия следует следующее равенство AE:FC=m:n 30:x=m:n (1)
  Треугольники DOE и BOF подобны по двум углам. Из их подобия следует следующее равенство: DE:BF=m:n (11+x) :30=m:n
  30*30=x(x+11)
  x1=-36, x2=25
  AD=30+25+11=66(мин)
  BC =30+25=55(мин)
  Ответ: 55 мин. 66мин.
  
  s
  t
  A
  B
  С
  D
  F
  E
  O
  N
  m
  n
  p(x)
  q(x)
  

• 26 слайд

  Задача 8.
  Два пешехода вышли одновременно на­встречу друг другу и встретились через 3 ч. За какое время пройдет все расстояние первый, если он пришел в то место, из которого вышел второй, на 2,5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?
  
  s
  t
  А
  В
  С
  А1
  M
  3ч
  O
  В1
  N
  t
  3ч
  t
  2,5ч
  

• 27 слайд

  
  
  s
  t
  А
  В
  С
  А1
  M
  3ч
  O
  В1
  N
  t
  3ч
  t
  2,5ч
  Решение: АА1 –график движения первого спортсмена из А в В;
  ВВ1—график движения второго спортсмена из В в А. О—момент встречи. AN=BM=3ч ( время до встречи); CA1=2,5ч BA1—искомое время.
  Пусть МС= NB1=t.
  Треугольники ВОМ и B1ON подобны , тогда BM:B1N=OM:ON 3:t=OM:ON
  Треугольники ОМА1 и ОNА подобны , тогда MA1:AN=OM:ON (t+25):3=OM:ON
  Таким образом, 3:t=(t+2,5):3; t(t+2,5)=9; t*t+2,5t-9; по смыслу задачи t=2ч
  BA1=BM+MC+CA1=3+2+2,5=7,5(ч). Ответ: 7,5часа
  
  

• 28 слайд

  Задача 11 Юноша пошёл к железнодорожной станции, до которой от его дома было 10,5 км. Через полчаса из того же дома вслед за юношей по той же дороге вышел его брат, который, идя со скоростью 4 км/ч, догнал юношу, передал забытую им вещь, и тут же повернул обратно с прежней скоростью. С какой скоростью шёл юноша, если известно, что шёл он всю дорогу равномерно, а его брат вернулся в тот момент, когда юноша подошёл к станции.
  
  C
  А
  К
  0,5
  M
  L
  B
  N
  10,5
  x
  x
  t
  s
  

• 29 слайд

  C
  А
  К
  0,5
  M
  L
  B
  N
  10,5
  x
  x
  t
  s
  Решение: 1) Треугольник KLM – равнобедренный, KN=NM.
  2) Треугольники ACM и ALN подобны, значит
  CM:LN=AM:AN,
  10,5:LN=(2х+0,5):(х+0,5)
  LN=4х (так как скорость брата 4 км/ч)
  10,5:4х=(2х+0,5)(х+0,5) х=1,5
  3) v=10,5:3,5 v=3.
  Ответ: 3 км/ч.
  

• 30 слайд

  Вывод:
  Графический метод решения текстовых задач во многих случаях является наиболее рациональным, значительно упрощает решение, ведет к быстрому получению ответа.
  
  Практическая значимость определяется возможностью использования материалов исследования, компьютерной презентации при проведении уроков алгебры при подготовке к сдаче ЦТ.
  
  

• 31 слайд

  Спасибо
  за внимание!!!