Презентация по математике на тему "Гомотетия"

• 1 слайд

  ГОМОТЕТИЯ
  Работу выполнили: Соловьёва Алёна и Киселёва Яна, ученицы
  11 «М» класса МОУ СОШ №32
  
  Руководитель: Стаханова П.А.,
  учитель математики МОУ СОШ №32
  Исследовательская работа
  

• 2 слайд

  Цель работы:
  исследование гомотетии и её свойств, а также применение гомотетии при решении задач.
  
  Методы исследования:
  Изучение теории
  Доказательства некоторых свойств гомотетии
  Установление связи между гомотетией и решением задач
  Выполнение практической части
  
  

• 3 слайд

  Данная тема является дополнением и углублением
  изученных в курсе геометрии свойств гомотетии.
  2. Применение опыта решения планиметрических задач
  с использованием гомотетии помогает повысить
  уровень пространственного воображения
  и уровень логической культуры.
  3. Изучение данной темы поможет более глубоко
  подготовиться к вступительным экзаменам и успешному
  участию в математических конкурсах и олимпиадах.
  
  Актуальность
  

• 4 слайд

  Гомотетией с центром O и коэффициентом плоскости называется преобразование плоскости, которое каждую точку X отображает на такую точку ,
  что
  

• 5 слайд

  Частные примеры гомотетии
  k=1.
  т. совпадает с точкой Х. Тождественное преобразование плоскости.
  
  k= -1.
  Т. симметрична точке Х относительно центра гомотетии. Симметрия относительно точки О.
  
  
  
  т.к.
  Центр гомотетии является ее неподвижной точкой.
  

• 6 слайд

  Свойства гомотетии
  
  1. Отрезок, соединяющий две произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны.
  

• 7 слайд

  2. Всякая прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую.
  

• 8 слайд

  3. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.
  

• 9 слайд

  4. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.
  
  
  
  

• 10 слайд

  5. При гомотетии многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник.
  
  

• 11 слайд

  Гомотетичные окружности
  Всякая гомотетия отображает окружность на окружность, так как при гомотетии все расстояния умножаются на одно и то же число – модуль коэффициента гомотетии.
  

• 12 слайд

  Практическое применение гомотетии
  Пантограф - механизм, который даёт возможность вычертить фигуру, перспективно-подобную любой заданной фигуре, притом с любым положительным коэффициентом подобия. Впервые он был создан вначале XVII века.
  
  Гомотетия чаще всего используется в задачах на нахождение ГМТ
  С помощью гомотетии можно строить подобные фигуры
  С помощью гомотетии можно находить отношение отрезков, площадей, объемов
  

• 13 слайд

  Задача №1
  
  Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.
  

• 14 слайд

  Дано: ABCD - квадрат, P - произвольная точка; M, N, K, L - середины сторон квадрата АВСD соответственно.
  Построим Р1, Р2, Р3 и Р4 - точки симметричные т. Р относительно середин АВ, ВС, СD, DA.
  
  Докажем, что Р1Р2Р3Р4 – квадрат.
  

• 15 слайд

  Доказательство:
  т. к. Р1, Р2, Р3 и Р4 лежат на PM, PN, PK, PL соответственно, то Р1, Р2, Р3 и Р4 гомотетичны M, N, K, L относительно P с коэффициентом 2,
  т. к. РР1 = 2РМ, РР2 = 2РN, PP3 = 2PK, PP4 = 2PL
  и т. к. MNKL - квадрат, то Р1P2P3P4 - тоже квадрат.
  Что и требовалось доказать.
  

• 16 слайд

  Задача №2
  Объём треугольной пирамиды 1. Найдите объём пирамиды с вершинами в точках пересечения медиан данной пирамиды.
  

• 17 слайд

  Решение:
  Пусть A1 , B1 , C1 и D1 – точки пересечения медиан граней соответственно BCD , ACD , ABD и ABC треугольной пирамиды ABCD . Тогда отрезки AA1 , BB1 , CC1 и DD1 (медианы тетраэдра) пересекаются в одной точке (M) и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин пирамиды. Поэтому при гомотетии относительно точки M с
  коэффициентом 1/3 - точка A
  переходит в точку A1 , точка B – в точку B1 , C – в C1 , D – в D1 . Значит, тетраэдр A1B1C1D1 подобен тетраэдру ABCD с коэффициентом 1/3. Следовательно,
  VA1B1C1D1 =(1/3)3· VABCD = .
  

• 18 слайд

  Задача №3
  Доказать, что в неравностороннем треугольнике ABC центроид G, ортоцентр H и центр O описанной окружности лежат на одной прямой, причем .
  

• 19 слайд

  Дано: , т. G – центроид, т. Н – ортоцентр, т. О – центр описанной окружности; .
  Доказать: т. G, H, O лежат на одной прямой и
  

• 20 слайд

  Доказательство:
  гомотетичен
  при
  
  2. Соответственные стороны этих треугольников параллельны
  
  
  

• 21 слайд

  3. Прямые содержат высоты . Гомотетия сохраняет величину
  угла, высоты AH, BH, CH указанной гомотетией отображаются на высоты
  , т. H пересечения
  высот переходит в
  т. O пересечения высот
  . Поэтому точки H
  и O лежат на одной прямой с центром G гомотетии и
  .
  Что и требовалось доказать.
  

• 22 слайд

  1. Анализ теоретического материала по гомотетии позволил узнать свойства и область применения гомотетии, а также помог повысить наш уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
  2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные, можно решить с помощью гомотетии, сэкономив при этом и время, и силы.
  3. Мы узнали много нового и интересного, работая над данной темой. Это действительно занимательно и увлекательно. Надеемся, что эта тема пригодится нам в будущем при участии в математических олимпиадах и при ЕГЭ
  

• 23 слайд

  «Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться».
  Е. Т. Белл.
  Заключение