Презентация по математике на тему "Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной" (1 курс ССУЗ)

• 1 слайд

  Исследование функции на экстремум с помощью первой и второй производной
  Автор: преподаватель ГАПОУ «ЛНТ» Шаммасова А.А.
  

• 2 слайд

  Цель урока:
  Обеспечение усвоения понятий экстремумов функции и критических точек.
  Формирование представлений о правилах нахождения экстремумов функции с помощью первой и второй производных.
  Формирование умений определять экстремумы функции с помощью первой и второй производных.
  

• 3 слайд

  Точки минимума и максимума функции.
  Точка x0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума (точкой максимума) этой функции, если существует такая δ-окрестность (x0–δ, x0+δ) точки x0, что для всех x≠x0 из этой окрестности выполнятся неравенство f(x)≥f(x0) (f(x)≤f(x0)).
  Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками (или точками экстремума) данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами функции).
  

• 4 слайд

  Точками экстремума могут служить только критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная функции f′(x)=0 или терпит разрыв.
  Если при переходе через критическую точку x0 производная f′(x) меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x0 экстремум:
  минимум – если f′(x) меняет знак с «–» на «+»,
  максимум – если f′(x) меняет знак с «+» на «–».
  Если же при переходе через критическую точку x0 производная f′(x) не меняет знака, то функция f(x) в точке x0 не имеет экстремума.
  

• 5 слайд

  Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной:
  I. Найти производную f′(x).
  II. Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f′(x)=0 или терпит разрыв.
  III. Исследовать знак производной f′(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x).
  При этом критическая точка x0 – точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f′(x)<0, от промежутка, в котором f′(x)>0, и точка максимума – в противном случае.
  

• 6 слайд

  Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет.
  IV. Вычислить значения функции в точках экстремума.
  

• 7 слайд

  Примеры.
  Исследовать на экстремум следующие функции:
  f(x)=x² - 4x
  f′(x)=2x – 4
  f′(x)=0 2x – 4=0 x=2
  Составим таблицу:
  Точка минимума (2;-4) – вершина параболы.
  

• 8 слайд

  2. f(x)= - x² + 5x + 6
  f′(x)= - 2x + 5
  f′(x)=0 -2x + 5=0 x=5/2
  Составим таблицу:
  Примеры.
  Исследовать на экстремум следующие функции:
  График функции – парабола.
  

• 9 слайд

  3. f(x)= x³ - 3x²
  f′(x)= 3x² - 6x
  f′(x)=0 3x² - 6x =0 x=0, x=2
  Составим таблицу:
  Примеры.
  Исследовать на экстремум следующие функции:
  

• 10 слайд

  Примеры.
  Исследовать на экстремум следующие функции:
  4.
  Критическими являются точки x=0 (в ней производная терпит разрыв) и x=2 (в ней производная обращается в нуль).
  

• 11 слайд

  Вторая производная.
  Если y′ есть производная от функции y=f(x), то производная от y′ по x (если она существует) называется второй производной (или производной второго порядка):
  
  y′′
  
  
  f′′(x)
  

• 12 слайд

  Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной:
  I. Найти производную f′(x).
  II. Найти критические точки данной функции, в которых f′(x)=0.
  III. Найти вторую производную f′′(x).
  IV. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом f′′(x)<0, то функция в такой точке имеет максимум, а если f′′(x)>0, то – минимум. Если же f′′(x)=0, экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  V. Вычислить значения функции в точках экстремума.
  

• 13 слайд

  Примеры.
  Исследовать на экстремум с помощью второй производной следующие функции:
  1.f(x)=x² - 2x – 3
  f′(x)=2x – 2
  f′(x)=0 2x – 2=0 x=1 – критическая точка
  f′′(x)=2>0, тогда при x=1 fmin=f(1)= - 4
  2. f(x)=x³ - 9x² + 24x – 12
  f′(x)=3x² - 18x +24
  f′(x)=0 3x² - 18x +24=0
  x² - 6x +8 =0
  x=2, x=4 – критические точки
  f′′(x)=6x – 18
  f′′(2)=6·2 – 18<0, значит при x=2 fmax=f(2)=8
  f′′(4)=6·4 – 18>0, значит при x=2 fmin=f(4)=4