Презентация по математике на тему "Комбинаторные задачи"

• 1 слайд

  Математика
  Комбинаторные задачи
  

• 2 слайд

  Комбинаторика
  - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
  
  

• 3 слайд

  Комбинаторные задачи.
  Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.
  
  В разделе комбинаторики представлены
  задачи на размещение, сочетание, перестановки с
  повторением и без повторения элементов.
  
  Используется естественный, доступный детям
  всех возрастов метод решения
  комбинаторных задач с
  помощью непосредственного
  перебора возможных
  вариантов (комбинаций).
  

• 4 слайд

  Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов
  Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
  Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
  11;14;17; (начали с 1)
  41;44;47; (начали с 4)
  71;74;77; (начали с 7)
  Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
  Ответ: 9 чисел.
  

• 5 слайд

  Реши задачи:
  Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
  В школе проводятся соревнования по хоккею . В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
  В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
  

• 6 слайд

  Решение задач с помощью дерева возможных вариантов
  Существует более общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.
  

• 7 слайд

  Задача 2. Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7.
  Для её решения построим схему- дерево возможных вариантов.
  
  Ответ: числа 147;174;417;471;714;741
  Число
  1
  7
  4
  4
  1
  4
  1
  7
  7
  1
  7
  1
  4
  4
  1
  

• 8 слайд

  Задача 3. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?
  

• 9 слайд

  Задача 4. Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап – на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути – пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьников?
  Решение. Построим дерево возможных вариантов, введя обозначения: П, А, Б, В, Х, К
  

• 10 слайд

  Задача 5. Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком. или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты?
  Решение. Построим дерево возможных вариантов, введя обозначения: М, А, Р, И, Ф.
  

• 11 слайд

  Задача 6. Саша ходит в школу в брюках или в джинсах и к ним одевает рубашки синего, голубого, зеленого или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
  А) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
  Б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
  В) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и в джинсах?
  Решение. Построим дерево возможных вариантов, введя обозначения: Б, Д, С, Г, З, Р, Т, К.
  

• 12 слайд

  Ответ: 16 дней; 8 дней; 2 дня.
  
  
  
  Домашнее задание:
  Составьте свои задачи о
  расписании (мальчики);
  школьной одежде(девочки);
  решите 2 задачи из списка.
  

• 13 слайд

  Решите задачи с использованием дерева возможных вариантов.
  В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
  
  Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана, 2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по два каких-нибудь плода?
  
  Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
  

• 14 слайд

  Решение задач с использованием дерева возможных вариантов.
  Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
  
  Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?
  

• 15 слайд

  Задача №1. Составить двузначные числа из цифр 2,5 и 9.
  
  *
  первая цифра 2 5 9
  вторая цифра 2 5 9 2 5 9 2 5 9
  
  Полученные числа: 2,25,29,52,55,59,92,95,99.
  
  Подсчитаем количество решений
  Ответ: 9
  

• 16 слайд

  Задача №2.
  Школьники из Волгограда во время каникул собирались поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. В справочном бюро они получили сведения: из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе (т) или на поезде (п), а из Нижнего Новгорода в Москву - на самолёте (с), теплоходе, поезде или на автобусе (а). Какими различными способами учащиеся могут осуществить своё путешествие?
  
  

• 17 слайд

  Волгоград
  Нижний Новгород т п
  Москва с т п а с т п а
  
  Варианты путешествия:
  тс, тт, тп, та, пс, пт, пп, па.
  
  Таким образом, имеется 8 возможных способов добраться из Волгограда в Нижний Новгород, а затем в Москву.
  
  Из них можно выбрать подходящий по времени и стоимости.
  

• 18 слайд

  Задача №3. В палатке имеется три сорта мороженого: рожок (р), брикет (б), эскимо (э). Маша и Саша решили купить по одной порции. Сколько вариантов такой покупки существует?
  
  Выбор Маши б р э
  Выбор Саши б р э б р э б р э
  
  Варианты покупки:
  бб, бр, бэ, рб, рр, рэ, эб, эр, ээ.
  
  Таким образом, имеется 9 вариантов покупки.
  

• 19 слайд

  
  Варианты покупки: бб, бр, бэ, рб, рр, рэ, эб, эр, ээ.
  Таким образом, имеется 9 вариантов покупки.
  Решить самостоятельно.
  
  В-1. Пусть Маша хочет купить себе две порции мороженого.
  В-2. Пусть Маша хочет купить две порции разного сорта мороженого.
  
  (В решении варианты бр и рб, бэ и эб, рэ и эр одиноковы. Остаётся 6 вариантов)
  В решении варианты бб, рр, ээ не подходят.
  Остаётся 3 варианта)
  

• 20 слайд

  
  Задача №4.
  Данила, Андрей и Наташа собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать мяч. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом?
  
  Первый Н Д А
  Второй Д А Н А Н Д
  Третий А Д А Н Д Н
  
  Варианты очереди: НДА, НАД, ДНА, ДАН, АНД, АДН.
  
  Таким образом, у ребят имеется 6 различных вариантов очереди.
  

• 21 слайд

  Задача №5. Наташа сшила кукле десять различных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов- у куклы или у мишки?
  
  ф1 ф2 ф3 ф4
  ш1 ш2 ш3 ш1 ш2 ш3 ш1 ш2 ш3 ш1 ш 2 ш3
  
  есть варианты нарядов для мишки:
  ф1ш1, ф1ш2, ф1ш3, ф2ш1, ф2ш2, ф2ш3, ф3ш1, ф3ш2, ф3ш3,ф4ш1, ф4ш2, ф4ш3.
  Всего 12 вариантов.
  Получается, что у мишки больше нарядов.
  

• 22 слайд

  Задача №6. Составить дерево вариантов для решения задачи.
  В коридоре три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?
  
  Первая лампочка
  + -
  Вторая Вторая
  + - + -
  Третья Третья Третья Третья
  +++ ++- +-+ +-- -++ -+- --+ ---
  
  
  Всего 8 способов.
  
  

• 23 слайд

  Задача №7. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
  
  Решить задачу с помощью правила умножения.
  
  (Всего 15 чисел. 5x3=15)
  

• 24 слайд

  Правило умножения в комбинаторных задачах.
  Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.
  Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:
  На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?
  Суп 2 Вторые блюда 3 Сок 4
  Решение: 2 x 3 x 4= 24
  Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов
  

• 25 слайд

  Сформулируем правило умножения:
  Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытаний А и число всех исходов испытаний В.
  

• 26 слайд

  Комбинаторные задачи
  Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?
  В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту кружка и его заместителя?
  Концерт состоит из 5 номеров. Сколько имеется вариантов программы этого концерта?
  В буфете есть 4 сорта пирожков. Сколькими способами ученик может купить себе 2 пирожка?
  Трое ребят должны дежурить по классу три дня подряд по одному дню каждый. Сколькими способами можно составить расписание их дежурств?
  

• 27 слайд

  Перестановки в комбинаторных задачах.
  В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.
  Задача.
  В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
  Решение. Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.
  Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4•3•2•1=24.
  
  Ответ: 24 способами.
  
  
  

• 28 слайд

  Решите задачу на перестановки
  Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?
  
  Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, т.е.имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом 6 возможностей.
  Ответ: 6 способов.
  
  

• 29 слайд

  Ответьте на вопросы
  Что такое комбинаторика?
  Что значит решить комбинаторную задачу?
  Какие методы решения комбинаторных задач мы рассмотрели на уроке?
  
  

• 30 слайд

  Существует много видов
  комбинаторных задач, это лишь некоторые из них.
  Спасибо за внимание!